В многих случаях при проектировании механизмов, в которых используется движение по заданной кривой среди теоретически точных направляющих механизмов или вовсе не оказывается механизмов, воспроизводящих заданную кривую, или же имеющийся механизм не удовлетворяет условиям проектирования с точки зрения уменьшения числа звеньев, получения более благоприятных углов давления и т.д. Поэтому возникает задача о приближенном воспроизведении заданной кривой при помощи простейших механизмов. С этой целью чаще всего используются свойства шатунных кривых шарнирного четырехзвенника, т.е. кривых, которые являются траекториями точек, принадлежащих шатуну шарнирного четырехзвенника. Вид и размеры шатунной кривой, описываемой, например, точкой М шарнирного четырехзвенника, зависят от шести параметров, в которые входят длины звеньев, расстояние от центра шарнира до чертящей точки и угол ω. Благодаря тому, что в уравнение шатунной кривой входят шесть независимых параметров, которые при проектировании можно выбирать, можно во многих случаях найти шатунную кривую, мало отличающуюся от заданной кривой на отдельном участке или на всем своем протяжении.
Синтез приближенных направляющих механизмов сводится к отысканию среди семейства шатунных кривых шарнирного четырехзвенника (или других простейших механизмов) такой кривой, которая мало отличается от заданной.
Траектория шатунной точки M (x,y) представляется в виде алгебраических кривых шестой степени.
Робертсом для вывода этой кривой использовались следующие уравнения:
U2 +V 2 = W 2
U =a[(x-l0)∙cosγ + y∙sinγ](x2 + y 2 + b 2 - l12) - b∙x[(x-l0)2 + y 2 + a 2 - l32 ]
V = a[(x-l0)∙sinγ + y∙cosγ](x2 + y 2 + b 2 - l12) + b∙y[(x-l0)2 + y 2 + a 2 -l32 ]
W = 2∙a∙b∙sinγ[x(x-l0) + y 2 - l0∙ y∙ctgγ]
где l0, l1, l2, l3 - длины AD, AB, BC, CD четырехзвенника; a- длина MC, b - длина BM, γ - 
BMC.
Выполнив указанные преобразования получим следующее уравнение.
A6 (x2 + y2)3 + (A51 x + A51 y) (x2 + y2)2 + (A41x2 + A42y2 + A43xy) (x2 + y2) + A30x2 + A21x2y+ A12xy2 + A03 y 3 + A20x2 + A11xy + A02y2 + A10x + A01y + A00= 0.
Если рассматривать произвольное расположение четырехзвенника на плоскости относительно фиксированной системы координат, то необходимо использовать следующие уравнения преобразования координат:
x = x1 cos α - y1 sin α - x0 ; y = x1 sin α - y1 cos α - y0.
В работах Чебышева и его последователей, вместо параметров a, b, γ рассматриваются параметры b = k; ω = MBC; l2 . Переход к ним осуществляется исходя из следующих соотношений:
sin ω = a sin γ / l ; b = k;
Во всех этих случаях показано, что траектория шатунной точки представляется в виде алгебраической кривой (АК) шестой степени. АК пересекает прямую не более чем в шести точках, поэтому чтобы шатунная кривая (ШК) описывала приближенную прямую необходимо задать не более 6 точек. П.Ф. Чебышев и его последователи (Артоболевский И.И., Блох З.Ш., и др.) рассматривали приближенный синтез, в основном, симметричных механизмов (по 3 точкам). Если шесть точек бесконечно близки, то кривая имеет касание с прямой 5-го порядка. И здесь рассматривается методология синтеза Бурместера.
Шесть параметров: l0, l1,l2, l3, k, γ(ω) определяют форму и размер шатунной кривой. Если используется пять параметров: l0 / l3, l1/ l3, l2/ l3, k/ l3, γ(ω), то определяется только форма. Если учитывать положение ШК на плоскости, то необходимо ввести три параметра x0, y0, α. Тогда можно задавать максимум 9 точек.
Если шатунная точка M лежит на прямой BC между B и C, то надо положить γ=180°; a +b =l2 . Если точка M лежит на прямой BC, но вне отрезка BC, то надо положить γ=0 и b - a = ±l2.
ШК имеет три двойные точки - точки пересечения ветвей АК. Из трех двойных точек две могут быть комплексными сопряженными; они могут совпасть также в точку самоприкосновения шатунной кривой. Каждая точка пересечения шатунной кривой с кругом, проходящим через фокусы, является двойной точкой шатунной кривой.
Синтез с помощью АК заключается в определении ее значений коэффициентов по найденным двойным точкам. В свою очередь двойные точки определяются по заданной (синтезируемой) кривой (отрезку прямой). Коэффициенты (их 15) являются функциями от 9 параметров (4 - длины звеньев, 2 - координаты шатунной точки, 3 - расположение системы координат) синтезируемого механизма. Определение параметров осуществляется итеративным методом. Вначале методом перебора комбинаций устанавливается начальное приближение для градиентного метода, который и уточняет параметры. Степень уточнения оценивается функцией качества, которая зависит от величин модификации 15 коэффициентов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Артоболевский И.И., Добровольский В.В., Блох З.Ш. Синтез механизмов. М.: Гостехиздат, 1944, С.260.
- Блох З.Ш. Задача о наилучшем приближении шатунной кривой к заданной. М.: Изд-во АН СССР, Сб. статей «Исследования в области машиноведения», 1944, с.3-8.
- Павлов Б.И. Синтез четырехзвенных шарнирных направляющих механизмов. VIII Международная научно-техническая конференция по динамике технологических систем (ДТС-2007). Ростов-на-Дону, октябрь 2007.