Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

КВАЗИСТАЦИОНАРНOЕ ТЕМПЕРАТУРНOЕ ПОЛE В ТОНКОМ ПРОНИЦАЕМОМ АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ В НУЛЕВОМ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Филиппов А.И. 1 Зеленова М.А. 1
1 Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
На примере задачи о температурном поле в тонком слое с источником рассмотрено квазистационарное приближение задачи о распространении тепла в однородном анизотропном пласте, состоящем из тонкого теплопроводящего слоя, окруженного анизотропной средой. При постановке задачи принята трансляционная симметрия в фиксированном горизонтальном направлении. На границах раздела сред заданы равенства температур и тепловых потоков. На основе модификации «в среднем точного» асимптотического метода найдены аналитические формулы для нулевого асимптотического приближения температурных полей в нефтегазовых пластах, возникающих при тепловом воздействии. Показано, что температура тонкого слоя в нулевом приближении не зависит от вертикальной координаты и описывает асимптотически осредненные по толщине слоя значения температуры.
температурное поле
нефтеносный пласт
асимптотический метод
1. Айдакина Н.А., Гущин М.Е., Зудин И.Ю., Коробков С., Костров А.В., Стриковский А.В. Квазистационарное магнитное поле, возбуждаемое в плазме радиоимпульсом свистового диа пазона частот // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 2011. – Т. 93. – № 9. С. 555–560.
2. Ахметова О.В., Кабиров И.Ф., Филиппов А.И. Задача о квазистационарном температурном поле в анизотропном слое с источниками при наличии конвекции // Научно-технический вестник Поволжья. – 2011. – № 5. – С. 9–21.
3. Гордеев Ю.Н., Бабаева Д.О., Сандаков Е.Б. Точное квазистационарное решение задачи о гидравлическом разрыве проницаемого пласта // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54. – № 6(322). – С. 87–94.
4. Горюнова М.А. Теоретическое исследование температурных полей в стволе действующей скважины: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Башкирский гос. университет. – Стерлитамак, 2009.
5. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 466 с.
6. Егоров А.Г., Захарова О.С. Оптимальное квазистационарное движение виброробота в вязкой жидкости // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 2. – С. 57–64.
7. Резник А.Н., Юрасова Н.В. Квазистационарное поле теплового излучения и ближнепольная радиотермометрия // Известия Российской академии наук. Серия физическая. – 2003. – Т. 67. – № 12. – С. 1770–1777.
8. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В., Горюнова М.А. Построение «в среднем точного» асимптотического решения задачи о радиальном распределении температурного поля в скважине // Теплофизика высоких температур. – 2008. – Т. 46. – № 3. – С. 449–456.
9. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Температурное поле в действующей скважине // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2004. – Т. VII. – № 1. – С. 135–144.
10. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В., Горюнова М.А. Анализ температурного поля цилиндрического потока на основе «в среднем точного» решения // Прикладная механика и техническая физика. – 2010. – Т. 51. – № 3 (301). – С. 84–93.
11. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Родионов А.С., Горюнова М.А. Исследование температурных полей в трубах переменного радиуса // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2010. – Т. 6. – № 10. – С. 171–178.
12. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Кабиров И.Ф. Температурное поле источников тепла при закачке жидкости в анизотропный неоднородный пласт // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54. – № 6 (322). – С. 95–111.
13. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Кабиров И.Ф. Задача о температурном поле в анизотропном слое с источниками при наличии конвекции. Инженерно-физический журнал. – 2012. – Т. 85. – № 4. – С. 738–752.
14. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Зеленова М.А., Крупинов А.Г. Исследование температурных полей потока газа в скважине // Инженерно – физический журнал. – 2011. – Т. 85. – № 5. – С. 1052–1064.
15. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Зеленова М.А., Крупинов А.Г Расчеты температурного поля в газовой скважине // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». – Уфа 2011. – № 6. – URL http // www.ogbus.ru / authors / FilippovAI / FilippovAI_1.pdf.
16. Филиппов К.А. Квазистационарное температурное поле в стволе действующей скважины // Инженерно – физический журнал. – 2004. – Т. 77. – № 6. – С. 13–19.
17. Filippov A.I., Akhmetova O.V., Zelenova M.A., Asylbaev M.A. Temperature field in inhomogeneous strongly anisotropic medium with sources // Journal of engineering thermophysics. – 2014. – Vol. 23, № 2. – Р. 158–170.
18. Filippov A.I., Achmetova О.V., Zelenova M.A., Krupinov A.G.. Investigation of the temperature fields of a gas flow in a well // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – 2011. – Vol. 84, № 5. – Р. 1132–1147
19. Filippov A.I., Achmetova О.V., Zelenova M.A., Rodionov A.S.. Thermologging problem with a given radial oil-velocity profile in the well shaft // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – January 2013. – Vol. 86, Issue 1. – Р. 183–204.

Изучение природы температурных процессов в нефтяном пласте и построение аналитических зависимостей между доступными для прямых измерений величинами позволяет определить расчетными способами важнейшие физические параметры залежи и определить оптимальные режимы теплового воздействия. Аналитические решения задач обладают особой ценностью [8, 9], поскольку позволяют исследовать взаимосвязь полей и определяющих физических параметров в максимально широком диапазоне их изменения. Получение простых аналитических зависимостей представляет ценность как для инженерных расчетов [4], так и для качественной проверки (тестирования) более сложных моделей, особенно основанных на использовании конечно-разностных методов.

Применение квазистационарных моделей позволяет существенно расширить круг задач, обладающих аналитическими решениями, и поэтому они широко используется в теплофизике [16, 7], гидродинамике [3, 6], электродинамике [1] и других разделах науки.

В данной статье для исследования квазистационарного температурного поля в тонком слое, окруженном анизотропной средой, использован развитый авторами асимптотический метод решения задач сопряжения [10, 11].

Рассмотрим распределение температурного поля в пласте (θ, θ1 – температурное поле флюида и окружающей среды соответственно), представленном тремя областями с плоскими границами раздела zd = ±h. Центральный слой с теплопроводностью filippov01.wmf толщиной 2h является хорошо проницаемым и в горизонтальном и в вертикальном направлениях. Полагаем, что окружающие породы являются сильно анизотропными, и в них преобладает вертикальная теплопроводность filippov02.wmf в сравнении с горизонтальной filippov03.wmf настолько, что можно пренебречь членами со второй производной по горизонтальным координатам в уравнениях для окружающей среды [17, 12]. Предположим также, что свойства покрывающих и подстилающих пород идентичны. На границе xd = 0 находится источник тепла с заданной температурой θ01 – Γzd, где θ01 – естественная невозмущенная температура Земли на границе zd = 0, Γ – геотермический градиент флюида.

На рисунке представлена геометрия задачи в прямоугольной системе координат, ось zd которой перпендикулярна к границам раздела сред. Задача обладает трансляционной симметрией в горизонтальном направлении (по оси yd). Средний слой считается тонким, и в его пределах установление температуры происходит за короткий промежуток времени, вследствие чего частной производной по времени по сравнению со вторыми производными по пространственным переменным можно пренебречь filippov04.wmf. Однако время входит в полученное таким образом стационарное уравнение в виде параметра (квазистационарное приближение).

pic_102.tif

Геометрия задачи

Запишем постановку задачи в размерном виде [2]

filippov05.wmf filippov06.wmf (1)

filippov07.wmf filippov08.wmf (2)

filippov09.wmf (3)

filippov10.wmf

filippov11.wmf (4)

filippov12.wmf filippov13.wmf (5)

С использованием соотношений

filippov14.wmf filippov15.wmf filippov16.wmf

filippov17.wmf filippov18.wmf filippov19.wmf

filippov20.wmf

filippov21.wmf (6)

задача (1)–(5) приведена к безразмерному виду. В дальнейшем для простоты положим все коэффициенты в уравнениях равными единице (γ = 1, Λ = 1). Для использования асимптотических методов в задаче добавлен параметр асимптотического разложения путем умножения на 1/e первой и второй производных по z как в уравнениях, так и в граничных условиях.

Математическая постановка параметризованной температурной задачи в таких предположениях имеет вид

filippov22.wmf filippov23.wmf (7)

filippov24.wmf filippov25.wmf filippov26.wmf (8)

filippov27.wmf (9)

filippov28.wmf filippov29.wmf (10)

filippov30.wmf filippov31.wmf (11)

Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, обращается в нуль. Отметим, что решение исходной задачи может быть получено из решения параметризованной задачи при ε = 1.

Решение представляется функцией температуры T каждой из областей в виде асимптотической формулы по параметру ε [15, 18]

filippov32.wmf

filippov33.wmf (12)

Подставив выражения (12) в (7)–(11) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения ε, получим

filippov34.wmf

filippov35.wmf (13)

filippov36.wmf (14)

filippov37.wmf (15)

filippov38.wmf

filippov39.wmf (16)

filippov40.wmf

filippov41.wmf (17)

Уравнение (14) содержит соседние коэффициенты разложения, т.е. является «зацепленным». «Расцепление» уравнения (14) осуществлено с использованием разработанной ранее процедуры [13, 14, 19]. Устремив ε к нулю в уравнении (14), получим filippov42.wmf. Результат интегрирования, с учетом граничных условий (17), позволяет установить, что в нулевом приближении температура является функцией только от х и параметра Fo T(0) = T(0)(x, Fo). Следовательно, в нулевом приближении температура одинакова в каждой точке любого сечения, параллельного оси z.

Поскольку filippov43.wmf, то, поделив (14) на e и устремив его к нулю, получим

filippov44.wmf (18)

Так как T(0)(x, Fo) не зависит от переменной z, вспомогательная функция E(x, Fo), составленная из слагаемых уравнения (18), содержащих T(0), также не зависит от z. Тогда (18) можно представить как

filippov45.wmf (19)

Проинтегрировав (19) по переменной z, найдем выражение для первой производной от первого коэффициента T(1):

filippov46.wmf

Из граничных условий (17) и (15) при сомножителе ε в первой степени имеем соответственно

filippov47.wmf

filippov48.wmf (20)

Из (20) и (19) найдем уравнение для определения нулевого приближения температурного поля в слое

filippov49.wmf filippov50.wmf (21)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнение в окружающей породе

filippov51.wmf (22)

а также соответствующие граничные и начальные условия

filippov52.wmf filippov53.wmf (23)

filippov54.wmf (24)

Выражения (21)–(24) представляют краевую задачу для нулевого коэффициента разложения T(0) или нулевого приближения.

Для решения задачи воспользуемся интегральным преобразованием Лапласа – Карсона по переменной Fo:

filippov55.wmf.

Математическая постановка искомой задачи в нулевом приближении (21)–(24) в пространстве изображений Лапласа – Карсона по переменной Fo запишется как

filippov56.wmf (25)

filippov57.wmf filippov58.wmf filippov59.wmf (26)

filippov60.wmf filippov61.wmf (27)

Из уравнения (25) с учетом граничного условия (27) и ограниченности на бесконечности получим выражения для filippov62.wmf и его производной при z = 1

filippov63.wmf

filippov64.wmf (28)

С учетом (28) из уравнения (26) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения T(0)u

filippov65.wmf (29)

откуда, используя условие ограниченности на бесконечности и условие (27), окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Лапласа – Карсона:

filippov66.wmf

filippov67.wmf (30)

Применяя обратное преобразование Лапласа – Карсона, с использованием соотношений [5]

filippov68.wmf

filippov69.wmf

filippov70.wmf (31)

получим следующие выражения для точного решения задачи в нулевом приближении:

filippov71.wmf

filippov72.wmf (32)

В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в указанную задачу. Как видно из (32), температура в слое не зависит от вертикальной координаты z и описывает асимптотически осредненные по толщине пласта значения температуры. Найденные выражения (32) определяют пространственно-временные зависимости асимптотически средней температуры пласта в квазистационарном приближении с учетом пространственной анизотропии и нестационарного теплообмена между слоями и могут быть широко использованы для практических расчетов.

Рецензенты:

Мустафина С.А., д.ф.-м.н., профессор, декан физико-математического факультета, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак;

Михайлов П.Н., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и методики обучения математике, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак.


Библиографическая ссылка

Филиппов А.И., Зеленова М.А. КВАЗИСТАЦИОНАРНOЕ ТЕМПЕРАТУРНOЕ ПОЛE В ТОНКОМ ПРОНИЦАЕМОМ АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ В НУЛЕВОМ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 5-3. – С. 553-557;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38299 (дата обращения: 13.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074