Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

CALCULATION OF THE ANISOTROPY AND FEATURES OF THE TEMPERATURE BEHAVIOR OF THE ELECTRIC CONDUCTIVITY OF COMPOUNDS A4B6

Altukhov V.I. 1 Dyaduk M.N. 1 Kazarov B.A. 2 Harish N.P. 1 Cheboksarov A.B. 1
1 Branch «North Caucasian Federal University»
2 Kavminvodsky Institute (branch) «South-Russian State Technical University (NPI) of M.I. Platov»
В работе рассмотрено аномальное температурное поведение проводимости GeТе и SnTe, которое экспериментально довольно хорошо изучено и является весьма распространенным методом определения температуры структурного фазового перехода Tc [7, 10–12]. С учётом реального многодолинного электронного спектра соединений А4В6 рассчитана обнаруженная в низкотемпературных α- и g-фазах монокристаллов GeTe анизотропия удельного электросопротивления rαβ(Т). Показано, что анизотропия rαβ(Т) связана с междолинным расщеплением электронного спектра, а поведение проводимости SnTe вблизи Тc существенно определяется аномальным рассеянием носителей на оптических и акустических фононах. Рассеяние электронов на мягких ТО-фононах является формирующим каналом рассеяния при температурах, близких к Tc. Показано, что аномальное вблизи Tc поведение электрического сопротивления может иметь вид излома, острого пика (SnTe) или вид плавного, но симметричного максимума при T = Tc (как в GeТе). Предложена и реализована схема последовательного определения параметров теории. Получены значения эффективной массы носителей и приведённого химического потенциала для разных концентраций носителей, рассчитаны зависимости подвижности и проводимости для GeТе от концентрации носителей при различных температурах. Для GeТе рассчитан коэффициент анизотропии в широкой области температур.
The paper considers the anomalous temperature behavior of the conductivity of the GeТе and SnTe, which is experimentally quite well studied and is a very common method of determining the temperature of the structural phase transition Tc [7, 10–12]. Taking into account the real multivalley electronic spectrum of compounds А4В6 calculated detected in the low-temperature α- and g- the phases of GeTe crystals anisotropy of resistivity is rαβ(Т). It is shown that the anisotropy is rαβ(Т) associated with the intervalley splitting of the electron spectrum, and the behavior of the conductivity SnTe near Tc is substantially determined by the anomalous scattering media by optical and acoustic phonons. Electron scattering by a soft-phonon States is forming a channel scattering at temperatures close to Tc. It is shown that anomalous near Tc the behavior of the electrical resistance can be in the form of a break, a sharp peak (SnTe) or look smooth, but the symmetric maximum at T = Tc (as in GeTe). Proposed and implemented sequential determination of parameters of the theory. The obtained values of the effective mass of the carriers and chemical potential for different concentrations of carriers, calculated according to the mobility and conductivity for the GeТе from the carrier concentration at different temperatures. For GeТе calculated the coefficient of anisotropy in a wide range of temperatures.
anisotropy
intervalley splitting
ferroelectric semiconductors
anomalous resistivity
the Fermi integral
soft mode
1. Altuhov V.I., Kazarov B.A., Kas’janenko I.S., Sankin A.V., Fillipova S.V. Raschet anomal’nogo povedenija kojefficientov teploprovodnosti i teplovogo rasshirenija segnetokeramiki na osnove tverdyh rastvorov cirkonata-titanata svinca. Fundamental’nye issledovanija. ID «Akademija estestvoznanija», 2014. no. 9. Ch. 5. pp. 1008–1013.
2. Askerov B.M. Kineticheskie jeffekty v poluprovodnikah. L.: Nauka, 1970. 302 p.
3. Askerov B.M. Jelektronnye javlenija perenosa v poluprovodnikah. M.: Nauka, 1985. 318 p.
4. Bir G.L., Pikus G.E. Simmetrija i deformacionnye jeffekty v poluprovodnikah. M.: Nauka, 1972. 584 p.
5. Bursian Je.V., Girshberg Ja.G., Starov Je.N. Temperaturnaja zavisimost’ podvizhnosti nositelej v titanate barija. FTT, 1972. T. 14, no. 4. pp. 1019–1022.
6. Vineckij V.L., Ickovskij M.A., Kukushkin L.S. Vzaimodejstvie jelektrona provodimosti s poperechnymi opticheskimi kolebanijami v ionnyh kristallah. FTT, 1971. T. 13, no. 1. pp. 76–86.
7. Gruzinov B.F., Konstantinov P.P., Mojzhes B.Ja., Ravich Ju.I., Sysoeva L.M. Kineticheskie jeffekty v kubicheskoj i rombojedricheskoj fazah GeTe. FTP, 1976. T. 10, Vyp. 3. pp. 497–503.
8. Kazarov B.A., Altuhov V.I., Djadjuk M.N., Mitjugova O.A. Model’ temperaturnogo povedenija teplovogo soprotivlenija segnetojelektricheskih kristallov triglicinsul’fata. Fundamental’nye issledovanija. ID «Akademija estestvoznanija», 2014. no. 9. Ch. 4. pp. 728–733.
9. Kozhin P.I. Temperaturnye zavisimosti shiriny zapreshhennoj zo-ny i jelektronnyh spektrov segnetojelektrikov-poluprovodnikov tipa A4V6. FTT. T. 24, no. 5. pp. 1321–1327.
10. Korzhuev M.A., Shelimova L.E., Abrikosov N.H. Anizotropija jelektricheskih svojstv GeTe. FTP, 1977. T. II, Vyp. 2. pp. 296–300.
11. Korzhuev M.A., Arakcheeva L.V. Anizotropija jelektricheskih svojstv GeTe. FTP, 1978. T. 12, Vyp. II. pp. 2192–2196.
12. Novikova S.I., Shelimova L.E., Abrikosov N.H., Avilov A.S., Korzhuev M.A. Anizotropija jelektrosoprotivlenija tellurida germanija. FTT, 1973. T. 15, Vyp. II. pp. 3407–3409.
13. Katayama S., Mills D.L. Theory of anomalous resistivity associated with structural phase transitions In IV-VI sompounds. Phys. Rev., 1980. Vol. 22, no. 1. pp. 336–352.
14. Katayama S. Anomalous resistivity in structural phase transition of IV–VI compound: p-SnTe. Sol. State Commun., 1976. Vol. 19, no. 4. pp. 381–383.
15. Minemura G., Morita A. Electrical Resistivity Anomaly in the Vicinity of Structural Phase Transition of p-SnTe. Sol. State Sommun., 1978. Vol. 28, no. 3. P. 273–275.

Тензор проводимости многодолинного полупроводника с учетом деформации решетки и структурного фазового перехода. Отметим, что даже в случае такого типичного полупроводника, каким является GeТе, до сих пор нет последовательной количественной теории проводимости, а вопрос о причине ее аномального поведения около Тc остается дискуссионным [5–6]. В общем случае проводимость σαβ(Т) полупроводника типа GeTe определяется суммой вкладов σiαβ отдельных долин i = 1, 2, 3, 4, расположенных [2] соответственно на осях [III], [IIĪ], [IĪI] и [ĪII]. Тензор проводимости i-й долины в предположении изотропной связи между кинетической энергией носителей ε и приведенным квазиимпульсом qi имеет вид [3–4]

kaz01.wmf, (1)

kaz02.wmf, kaz03.wmf, (2)

где kaz04.wmf, kaz05.wmf, kaz06.wmf, kaz07.wmf, kaz08.wmf, ζ и kaz09.wmf – химический потенциал и импульс Ферми, q(e) и Mαi – плотность состояний и эффективная масса плотности состояний, Dei – сдвиг дна зоны проводимости, обусловленный в данном случае спонтанной деформацией и поляризацией. Спектр носителей находится путем диагонализации основной части исходного гамильтониана [9, 13]. Перенормированные вершины динамического межзонного kaz10.wmf и внутризонного kaz11.wmf электрон-фононного взаимодействия, определяющие скорость релаксации носителей в случае квазиупругого рассеяния (kaz12.wmf – импульс Ферми), не зависят от малого переданного импульса kaz13.wmf. Диагональное в главных осях i-го экстремума обратное время релаксации носителей можно при этом представить в виде

kaz14.wmf (3)

kaz15.wmf kaz16.wmf kaz17.wmf

где j = LA, TA, LO, CLA и СLA – аномально зависящие от температуры эффективные упругие постоянные LA и TA фононов, r – плотность, a – постоянная решетки. Интеграл столкновений IC, обусловленный рассеянием носителей на мягкой моде (ТО-фононах), имеет вид [13]

kaz18.wmf (4)

где kaz19.wmf – параметр интеграла столкновений Ic; kaz20.wmf, kaz21.wmf в приближении среднего поля r = 2 при Т < Тc, r = 1 при Т > Тc.

Анизотропия проводимости в отдельной долине целиком определяется временем релаксации ταi и массами носителей kaz22.wmf, тогда как анизотропия полной проводимости при заданных ταi и kaz23.wmf существенно связана со сдвигом (по энергии) kaz24.wmf экстремумов спектра, обусловленными спонтанной деформацией и поляризацией.

Анизотропия электрического сопротивления и аномальная температурная зависимость σαβ(Т) около Тс. В ромбоэдрической (α) фазе kaz25.wmf kaz26.wmf kaz27.wmfkaz28.wmf и в системе с осью z, направленной по [III], компоненты полной проводимости

kaz29.wmf (5)

kaz30.wmf

определяются значениями

kaz31.wmf (6)

kaz32.wmf

причем

kaz33.wmf kaz34.wmf (7)

В ромбической (g) фазе x2 = y2 ≠ 0, z2 = 0, kaz37.wmf kaz38.wmf kaz39.wmf kaz40.wmf согласно kaz41.wmf kaz42.wmf

kaz43.wmf (8)

и в системе осей 1–[100], 2–[110], 3–[001] получаем:

kaz44.wmf kaz45.wmf kaz46.wmf, (9)

kaz47.wmf (10)

kaz48.wmf (11)

Интегралы столкновений Ic и Ij в (3–4) слабо зависят от kaz49.wmf, а также от номера долины i. В итоге выражение для проводимости можно свести к двухпараметрическому интегралу Ферми [3]. Тогда с учетом (1)–(11), например, для анизотропии и продольной компоненты сопротивления kaz50.wmf в ромбоэдрической фазе, получаем

kaz51.wmf, (12)

kaz52.wmf, (13)

где

kaz53.wmf,

kaz54.wmf,

kaz55.wmf, kaz56.wmf, kaz57.wmf,

kaz58.wmf, kaz59.wmf,

kaz60.wmf, kaz61.wmf,

kaz62.wmf, kaz63.wmf.

Это обобщенный интеграл Ферми, m – масса свободного электрона.

Анизотропия сопротивления dr3 в ромбической фазе, в частности, относительно оси 3–[001] составляет

kaz64.wmf. (14)

В случае сильно вырожденного полупроводника (например, SnTe) полученные выше формулы существенно упрощаются:

kaz65.wmf, (15)

kaz66.wmf, kaz67.wmf, (16)

где

kaz68.wmf kaz69.wmf, (17)

kaz70.wmf, kaz71.wmf, kaz72.wmf, kaz73.wmf.

При условии полного вырождения (z ≥ 5),например, для a-фазы имеем z = 1, N1 = N и при kaz74.wmf kaz75.wmf

Ниже при определении параметров теории будут также использоваться данные о подвижности носителей kaz76.wmf в поликристаллических образцах, поэтому приведем соответствующее выражение для kaz77.wmf. В предположении слабого рассеяния носителей на границах отдельных монокристаллов [7] для a- и b-фаз получаем:

kaz78.wmf, (18)

kaz79.wmf,

где z – доля носителей, находящихся в первой долине kaz80.wmf, kaz81.wmf – приведенное время релаксации:

kaz82.wmf,

kaz83.wmf, (19)

kaz84.wmf (V0 = 1 эВ, r0 = I г/см3, v0 = 105 см/сек, N0 = 1020 см–3, а индекс n = N/N0 в (12)–(18) отражает зависимость r// и dr от концентрации носителей N.

Численный анализ параметров теории и анизотропии электрической проводимости. Исходя из имеющихся в наличии данных по GeTe и SnТе в работе была предложена последовательная схема определения параметров теории.

Эффективная масса плотности состояний. В случае kaz85.wmf с учетом данных [7], получены значения эффективной массы kaz86.wmf и приведенного химического потенциала zn(T) для различных N. Эти данные использовались для расчета зависимости подвижности kaz87.wmf и проводимости kaz88.wmf от концентрации носителей N при Т = 100 и 800 К (рис. 1). Перераспределение носителей между долинами спектра ведет к аномальной при Т << ТC зависимости подвижности kaz89.wmf от концентрации носителей (кривая 2 на рис. 1) и к появлению при T < TC анизотропии проводимости.

kazar1.tif

Рис. 1. Рассчитанная зависимость подвижности (1, 2) и проводимости (3, 4) поликристаллов GeТе от концентрации носителей при 800 К – (1,3) и 100 К – (2,4), точки (kaz90.wmf) и квадратики (kaz91.wmf)экспериментальные данные [7]

 

Анизотропия сопротивления. По формуле для dr и данным [7, 10, 12] при N = 8,5.1020см–3 для GeTe определен коэффициент анизотропии K(T) и рассчитана зависимость dr от N. Оказалось, что в интервале 300–600 К анизотропия drn заметно увеличивается с уменьшением концентрации носителей. Для Т << Тc dn ≈ 3(K – 1)/(K – 2), kaz92.wmf и с учетом данных [7, 10, 12] имеем K ≈ 2.

Аномальная зависимость сопротивления от температуры. Численный анализ показывает, что поведение сопротивления dr//(T) вблизи Тc существенно зависит от эффективной скорости релаксации носителей на ТО-фононах.

При скоростях релаксации kaz93.wmf зависимость r(T) вблизи Tc имеет вид излома или даже характер логарифмической особенности, как в SnТе [1, 8, 13]. При kaz94.wmf и относительно больших D0(T) (~ 0,3 эВ при Т → 0) аномалия сопротивления около Тc имеет вид плавного несимметричного максимума (GеТе). Рассчитанная для GеТе зависимость r//(T) при γ = 300 К хорошо согласуется с экспериментом (рис. 2). При расчете сопротивления GeTe и SnTe соответственно использовались данные Тc = 665 и 97,5 К; r = 6,19 и 6,45 г/см3, а = 6,01 и 6,33 A.

Характер аномалии r(T) около Тc существенно зависит от g (рис. 2) и тем самым, согласно (2), от параметров и вида дисперсии мягкой моды.

kazar2.tif

Рис. 2. Температурная зависимость электросопротивления монокристалла α – GeTe: а) точки и крестики – экспериментальные значения kaz96.wmf – 1(2) 3; б) штрихпунктирная линия – рассчитанное kaz97.wmf – 1(2), представляющее собой суммy остаточного, нормального kaz98.wmf и аномальных kaz99.wmf и kaz100.wmf сопротивлений; сплошная линия – kaz101.wmf – 1(2) с учетом аномального kaz102.wmf сопротивления при γ = 300; пунктир и точки – ρ// при γ = 200 и 100 (γ – параметр интеграла cтолкновений IC)

 

Выводы

Таким образом, показано, что в зависимости от величины эффективной скорости релаксации носителей на мягких ТО-фононах (kaz103.wmf) и междолинного расщепления D0(T) аномалия проводимости вблизи Тc в соединениях A4B6 может иметь вид излома или вид плавного несимметричного максимума. Рассчитаны аномальная зависимость подвижности от концентрации носителей и анизотропия проводимости в a- и b-фазах GеТе. В итоге:

1. Рассчитана проводимость сегнетоэлектриков-полупроводников GeTe и SnTe с использованием их реальных многодолинных электронных спектров. Учитывается рассеяние носителей на LA, ТА и мягких ТО-фононах.

2. Показано, что аномальное вблизи Тc сопротивление может иметь вид излома (SnТе) или плавного несимметричного максимума (GеТe).

3. Рассчитаны обусловленные междолинным расщеплением спектра, анизотропия сопротивления и аномальная зависимость подвижности от концентрации носителей.

4. Предложена и для GeTe реализована схема последовательного определения параметров теории.

Рецензенты:

Янукян Э.Г., д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры физико-математических дисциплин, декан инженерного факультета филиала СКФУ, г. Пятигорск;

Чернобабов А.И., д.ф.-м.н., профессор, пофессор кафедры физико-математических дисциплин Института сервиса, туризма и дизайна филиала СКФУ, г. Пятигорск.

Работа поступила в редакцию 19.02.2015.