Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

Таблица 5

Факторные нагрузки индикаторов табл. 4

Примененный метод главных компонент является обобщением корреляционно-регрессионного анализа на случай системы многих индикаторов, среди которых не все являются линейно независимыми друг относительно друга. Если существуют зависимые между собой (коррелированные) величины, то их можно исключить переходом к новым «главным» и «некоррелированным» переменным величинам (факторам Fk). На простейшем примере системы двух случайных величин зависимость между переменными можно обнаружить с помощью диаграммы рассеяния. Полученная путем подгонки линия регрессии дает графическое представление зависимости. Если определить новую переменную на основе линии регрессии, изображенной на этой диаграмме, то такая переменная будет включать в себя наиболее существенные черты обеих переменных. Фактически, происходит сокращение числа переменных и замена двух одной. Отметим, что новая переменная (фактор) в действительности является линейной комбинацией двух исходных переменных. Пример, в котором две коррелированные переменные объединены в один фактор, показывает главную идею анализа главных компонент. Если пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе. В том случае, когда имеются три коррелированные переменные, можно построить 3-х мерную диаграмму рассеяния точно так же, как в случае двух переменных плоскую диаграмму рассеяния. Снова можно построить прямую регрессии, но уже в трехмерном пространстве. Для случая более трех переменных становится невозможным представить точки на диаграмме рассеяния, однако логика вращения осей с целью максимизации дисперсии нового фактора остается прежней. После того, как вы нашли линию, для которой дисперсия максимальна, вокруг нее остается некоторый разброс данных, на основании которого повторяется процедура выделения направления максимальной остаточной дисперсии. В анализе главных компонент именно так и делается: после того, как первый фактор выделен, то есть после того, как первая линия проведена, определяется следующая линия, максимизирующая остаточную вариацию (разброс данных вокруг первой прямой), и т.д. Таким образом, последовательно выделяются факторы, один за другим. Так как каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, то факторы оказываются независимыми друг от друга, то есть некоррелированными или ортогональными. Результатом будет новый факторный набор переменных (главных компонент Fk), которые являются не коррелирующими и линейными комбинациями первоначальных индикаторов. В основном процедура выделения главных компонент подобна вращению, максимизирующему дисперсию (варимакс) исходного пространства индикаторов. Например, на диаграмме рассеяния можно рассматривать прямую регрессии как новую (факторную) ось. Этот тип вращения называется вращением, максимизирующим дисперсию, так как цель вращения заключается в максимизации дисперсии (изменчивости) новой переменной (фактора) и минимизации разброса вокруг нее. Новый набор факторных осей, проходящих через центр облака точек исходного пространства, получен в пространстве меньшей размерности. Геометрически цель состоит в том, чтобы получить набор ортогональных факторных векторов, где каждый вектор образует прямую линию в векторном пространстве исходных переменных. Эти векторы называются осями факторов и в дальнейшем используются для вычисления факторных координат точек наблюдений, что позволяет классифицировать наблюдения по категориям.

Факторный анализ является естественным обобщением и развитием метода главных компонент. Если объект описывается с помощью системы индикаторов, то в результате действия метода получается математическая модель, зависящая от меньшего числа переменных (факторов). При этом предполагается, что на исходные измеряемые данные оказывает влияние небольшое число латентных (скрытых) признаков (факторов). Цель факторного анализа заключается в выявлении этих скрытых характеристик (факторов) и оценивании их числа. Факторный анализ преследует две главные цели: сокращение числа индикаторов (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между индикаторами, т.е. классификация индикаторов. Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных или как метод классификации. Факторный анализ как метод редукции данных основан на использовании зависимости между индикаторами: вводится новая переменная (фактор) на основе регрессии, то есть включающая в себя наиболее существенные черты исходных индикаторов, так что ее использование (замена нескольких старых коррелированных индикаторов одной новой переменной (фактором)) приводит к сокращению числа переменных. При этом новый фактор представляется линейной комбинацией исходных индикаторов. Принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором демонстрирует главную идею факторного анализа или, более точно, анализа главных компонент. После выделения первого фактора, то есть построения первой линии регрессии, для которой дисперсия максимальна, определяется следующая линия, максимизирующая остаточную вариацию (разброс данных вокруг первой прямой), то есть выделяется второй фактор, и т.д. Факторы выделяются один за другим так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, то есть оказываются независимыми друг от друга. Другими словами, некоррелированными или ортогональными. Отметим, что в процессе последовательного выделения факторов они включают в себя все меньше и меньше изменчивости. Решение о том, когда следует остановить процедуру выделения факторов, главным образом зависит от точки зрения на то, что считать малой «случайной» изменчивостью. Это решение достаточно произвольно, однако имеются некоторые общие рекомендации, позволяющие рационально выбрать число факторов: критерий накопленной или кумулятивной дисперсии, критерий Кайзера, критерий каменистой осыпи, содержательная интерпретация полученного решения. Поэтому обычно исследуется несколько решений с большим или меньшим числом факторов (факторных моделей), и затем выбирается одно наиболее «осмысленное». Факторный анализ как метод классификации основан на оценках корреляций (факторных нагрузок) между исходными индикаторами и факторами (или «новыми» переменными) в рамках выбранной факторной модели и позволяет узнать значимость факторов, то есть можно ли интерпретировать их разумным образом и как это сделать. Факторные нагрузки можно изобразить в виде диаграммы рассеяния, на которой каждая исходная переменная (индикатор) представлена точкой в координатах «факторные нагрузки». Можно повернуть оси в любом направлении без изменения относительного положения точек; однако действительные координаты точек, то есть факторные нагрузки, должны, без сомнения, меняться. Одним из типичных методов вращения является варимакс, описанный выше. Целью вращения является получение понятной (интерпретируемой) матрицы нагрузок, то есть факторов, которые ясно отмечены высокими нагрузками для некоторых переменных и низкими – для других, что и позволяет провести классификацию переменных.

Факторные индикаторы, построенные по индикаторам табл. 4, проинтерпретированы в табл. 6.

В результате проведения факторного анализа из 32 исходных индикаторов сформировано 7 значимых факторов.

Для оценки тесноты связи между стандартизированными значениями индикатора образования № 68ст и факторными индикаторами построим множественную регрессию:

№ 68cт =

Оценки частных коэффициентов корреляции (bk) № 68ст и факторными индикаторами, а также значимости (pk) их отличия от ноля приведены в табл. 7.

Согласно табл. 7, № 68 ст связано высоко значимо (на уровне 0,00050 > p) только с 5 из 7 факторных индикаторов (F1, F2, F5, F6, F7) и незначимо (на уровне p > 0,10) – с 2-мя (F3, F4). Причем рассмотрение регрессии в стандартизированной шкале позволяет ранжировать факторы по силе их связи с образованием: F6 > F7 > F5 > F2 > F1.

Представляет интерес сравнительный анализ по показателю образования пенсионеров Томской области разных баз данных: выше рассмотренной Томск – 400 2015 г. (T15) и «Комплексное обследование условий жизни» по Томской области (К14) в рамках Федерального комплексного статистического наблюдение октября 2014 г. условий жизни населения Томской области, в котором участвовали 354 респондента старше 55 лет [2].

Таблица 6

Значимые взвешенные факторы, построенные по индикаторам табл. 4

Таблица 7

Multiple Regression Results№ 68сt and Fk (k = 1, 2, …,7)

Таблица 8

Структура анкетных данных социологического опроса на примере показателя образования базы данных К14

Так как опросы проводят разные научные группы и с разными целями, то различия в формулировках и ранжировании ответов в подобных случаях – обычное дело. Тем не менее, несмотря на указанные различия, а также годовую разницу проведения опросов, сделана попытка сравнить данные выборки по показателю образования. При этом шкала ответов на вопрос I07.01 (К14) приведена в соответствии с № 68 (T15) посредством объединения ответов 2-го + 3-го, 4-го + 5-го + 6-го и 8-го + 9-го (табл. 8).

Заметим, что, согласно теории измерительных шкал, оценочная шкала уровней образования относится к типу порядковых шкал, позволяющих ранжировать (упорядочить) объекты, оценить качественнорезультаты на уровне отношений «<», « > « и «=», но не допускающих возможности введения эталонной единицы измерений образования для количественного измерения различий объектов, то есть оценочная шкала не является числовой измерительной шкалой. Поэтому в оценочной шкале использование операции среднего арифметического (и прочих конкретных математических формул) для сравнения является некорректным. В оценочной шкале обоснованным является использование медианы в качестве средней оценки. В связи с этим для сравнения рассматриваемых выборок предлагается использовать ранговые (непараметрические) критерии, основанные на рангах, а не на средних значениях.Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из-за их привычности и распространенности. Поэтому представляется рациональным использовать одновременно оба метода – и метод средних арифметических рангов (баллов), и метод медианных рангов. Такая рекомендация находится в согласии с общенаучной концепцией устойчивости, рекомендующей применять различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при разных методах. Поэтому в данной работе проводится сопоставление результатов исследования непараметрическими и параметрическими критериями.

В данном случае различия между № 68 и I07.01 оцениваются незначимыми как по ранговому критерию Манна – Уитни (на уровне p ≈ 0,46 > 0,10), так и по параметрическому t-критерию Стьюдента (на уровне p ≈ 0,29 > 0,10).

Выводы

Проведен многомерный статистический анализ влияния уровня образования на благополучие старшего поколения Томской области. На основе непараметрических (ранговых) критериев дисперсионного анализа оценено различие образования по полу как незначимое, по месту проживания и по работе – как статистически значимое.Корреляционный анализ выявил значимые связи уровня образования пожилых людей с 32 прочими ранговыми индикаторами благополучия старшего поколения Томской области. С помощью факторного анализа методом главных компонентов построена 7-факторная модель индикаторов, имеющих значимую корреляционную связь с индикатором образования. Регрессионный анализ оценил как высоко значимую связь между значениями индикатора уровня образования и пятью факторными индикаторами, ранжированными по силе их связи с образованием: F6 (Умение использовать компьютер) > F7 (Чувство оптимизма) > F5 (Социальная активность) > F2 (Финансовые возможности) > F1 (Уровень навыка в использовании компьютерными технологиями). Проведен сравнительный анализ по показателю образования пенсионеров Томской областии сходной базы данных с базой Федерального комплексного статистического наблюдения октября 2014 г. условий жизни населения Томской области (354 респондента старше 55 лет) и получена оценка их незначимого различия (на уровне p > 0,10) как по ранговому критерию Манна – Уитни, так и по параметрическом уt-критерию.

Эта работа была выполнена авторами в сотрудничестве с Томским политехническим университетом в рамках проекта по оценке и повышению социального, экономического и эмоционального благополучия пожилых людей в соответствии с Соглашением № 14.Z50.31.0029.