Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Макжанова Я.В. 1 Швед Е.В. 1

---

1 ФГБОУ ВО «Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова»

Одним из первичных методов обработки групп данных является проверка на однородность, что осуществляется с помощью специального метода математической статистики – дисперсионного анализа. В статье дано краткое описание многомерного дисперсионного анализа (MANOVA) и используемых в нем критериев. Рассматривается применение многомерного дисперсионного анализа для исследования влияния территориального фактора на уровень потребления всех основных продуктов питания в совокупности в регионах Российской Федерации в 2014 году и на изменение уровня потребления каждого из основных продуктов за 2004–2014 г. Расчеты показывают: 1) территориальный фактор оказывает существенное влияние на уровень потребления основных продуктов питания, поэтому рассматриваемые группы данных (по округам) нельзя объединять в одну многомерную генеральную совокупность; 2) территориальный фактор не оказывает влияние на изменение уровня потребления мясных продуктов, сахара и растительного масла с течением времени и оказывает существенное влияние на изменение уровня потребления остальных продуктов.

Статья в формате PDF

0 KB

многомерный дисперсионный анализ

MANOVA

потребление

основные продукты питания

территориальный фактор

1. Айзинова И.М. Потребление продуктов питания в регионах России // Проблемы прогнозирования. – 2014. – № 6 (147). – С. 44–59.

2. Аренс Х., Лейтер Ю. Многомерный дисперсионный анализ/ пер. с нем. и предисл. В.М. Ивановой и Ю. Н. Тюрина. – Москва: Финансы и статистика, 1985. – 230 с.

3. Баканач О.В., Проскурина Н.В. Статистический анализ территориальной дифференциации уровня потребления основных продуктов питания в регионах РФ // Вестник Самарского государственного экономического университета. – 2012. – № 10(96). – С. 29–33.

4. Грешонков А.М., Меркулова Е.Ю. Анализ потребления основных продуктов питания по регионам РФ // Социально-экономические явления и процессы. – 2014. – Т. 9. – № 11. – С. 54–62.

5. Жук Т.С., Маслак А.А. Сравнительный анализ округов Российской Федерации по потреблению продуктов питания // Теория и практика измерения и мониторинга компетенций и других латентных переменных в образовании. XXI и XXII Всероссийские научно-практические конференции: сборник научных трудов. под. ред.: А.А. Маслака; Филиал Кубанского гос. ун-та в г. Славянске-на-Кубани. 2014. – С. 227–232.

6. Зарецкая А.С. Статистическая оценка обеспеченности населения региона продуктами питания в системе продовольственной безопасности страны // Вестник Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. – 2014. – № 82. – С. 91–95.

7. Игнатьев В.М., Середа М.В. Статистический анализ потребления продуктов питания населением регионов [Электронный ресурс] // Экономические исследования: электронный журнал. – 2015. – № 2. – Режим доступа: http://elibrary.ru/download/63770882.pdf.

8. Исаенко А.В. Потребление продуктов питания в домашних хозяйствах России // Вестник Белгородского университета кооперации, экономики и права. – 2005. – № 1. – С. 243–252.

9. Кудрявцева Л.Н. Региональные особенности платежеспособного спроса населения в контексте реализации принципов здорового питания // Никоновские чтения. – 2014. – № 19. – С. 248–250.

10. Макжанова Я.В. Потребление основных продуктов питания в федеральных округах Российской Федерации за период 1996–2002 гг. // Экономический анализ: теория и практика. – 2004. – № 8. – С. 65–68.

11. Математика для экономистов. Практикум: учеб пособие для академического бакалавриата / под общ. ред. О.В. Татарникова. – Москва: Издательство Юрайт, 2014. – 285 с.

12. Rencher A.C., Christensen W.F. Methods of Multivariate Analysis. – 3rd ed. – John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2012. – 758 p.

Большинство анализируемых экономических данных представляют собой многомерные генеральные совокупности со взаимосвязанными компонентами. Причем связь между компонентами чаще всего не функциональная, а стохастическая. Поэтому представляется логичным использование многомерных методов статистического анализа для их исследования.

Одной из проблем, решаемых математической статистикой, является проблема проверки однородности данных, т.е. принадлежности различных групп данных к одной генеральной совокупности, одномерной или многомерной, с целью их дальнейшего объединения в одну генеральную совокупность и последующей статистической обработки всего массива данных целиком. Если сравниваются две группы данных, то задача сводится к проверке статистической гипотезы о равенстве средних, если групп данных более двух, то к дисперсионному анализу.

В данной статье многомерный дисперсионный анализ (MANOVA) используется для проверки однородности многомерных экономических данных – уровня потребления основных продуктов питания. Прежде чем приступить непосредственно к применению дисперсионного анализа, напомним читателю его основные положения.

Однофакторный одномерный дисперсионный анализ (One-way ANOVA)

В дисперсионном анализе изучается влияние одного или нескольких факторов (независимых категориальных переменных) на результаты наблюдений (значения зависимой переменной X) [11].

Рассмотрим влияние на зависимую переменную Х одного фактора А, принимающего m значений – уровней – . На i-том уровне фактора имеется выборка объема ni, i = 1, 2, …,m. В общем случае объемы выборок могут быть неравными. Общее число наблюдений равно n = n1 + n2 + … + nm. Исходные данные обычно представляют в виде таблицы (табл. 1).

Предполагается, что все выборки, их еще называют группами, независимы и извлечены из нормально распределенных совокупностей с равными дисперсиями: N(μ1, s2), N(μ2, s2), …, N(μm,s2).. В однофакторном дисперсионном анализе проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий этих генеральных совокупностей: , т.е. о несущественном влиянии фактора А на результаты наблюдений. Альтернативная гипотеза утверждает, что не все mi равны между собой.

Для описания результатов наблюдений используется линейная модель:

,

где εij – неизвестные одинаково распределенные случайные величины, характеризующие случайную ошибку, вызванную влиянием неконтролируемых факторов.

В качестве статистического критерия принимается F-критерий:

,

в случае справедливости нулевой гипотезы имеющий распределения Фишера F(m – 1, n – m),

где – межгрупповая (факторная) дисперсия (Mean Square between groups),

– внутригрупповая (остаточная) дисперсия (Mean Square within groups),

– общая средняя,

– межгрупповая сумма квадратов отклонений (Hypothesis Sum of Squares),

– внутригрупповая сумма квадратов отклонений (Error Sum of Squares).

MSB и MSW являются статистическими оценками генеральной дисперсии σ2, характеризующими разброс данных между выборками и внутри выборок соответственно. Если математические ожидания mi не равны между собой, то разброс данных внутри групп относительно групповых средних должен быть меньше, чем разброс групповых средних относительно общей средней, и тогда значение F-критерия будет большим. Нулевая гипотеза отвергается, если F > Fкр. На этом основана идея одномерного дисперсионного анализа.

Однофакторный многомерный дисперсионный анализ (One-way MANOVA)

Естественным обобщением ANOVA на многомерный случай является многомерный дисперсионный анализ – MANOVA (Multivariable Analysis of Variances).

В многомерном случае предполагается, что m независимых выборок , j = 1,2,…,m, извлечены из k-мерных генеральных совокупностей, имеющих многомерное нормальное распределение с одинаковыми ковариационными матрицами S. Таким образом, изучается влияние одного фактора A – одной независимой категориальной переменной – на k-мерный вектор зависимых переменных , коррелирующих между собой. Общее число векторов наблюдений равно n = n1 + n2 + … + nm .

Исходные данные можно представить в виде таблицы (табл. 2), где – k-мерные векторы наблюдений, i = 1,2,…,nj, j = 1,2,…,m, – k-мерные векторы выборочных средних с компонентами , r = 1, 2,…,k.

Вектор общих средних имеет вид

,

где , r = 1, 2,…,k.

Результаты наблюдений описываются линейной моделью

,

или в векторной форме

,

где εijr – неизвестные одинаково распределенные случайные величины, характеризующие случайную ошибку, r = 1, 2,…,k.

Нулевая гипотеза в многомерном случае имеет вид

,

где – k-мерные векторы математических ожиданий зависимых переменных, j = 1, 2,…,m, то есть требуется проверить выполнение равенств для соответствующих компонент векторов .

Важнейшим преимуществом проведения однократной процедуры MANOVA для k-мерного вектора зависимых переменных вместо проведения k процедур ANOVA отдельно для каждой из зависимых переменных Xr, r = 1, 2,…,k, является учет корреляции зависимых переменных друг с другом, что позволяет учесть все связи, скрытые в массивах многомерных числовых данных [2]. Кроме того, многомерный дисперсионный анализ является первым этапом на пути к решению проблемы классификации исследуемых объектов, а также предварительным шагом перед проведением процедуры снижения размерности данных путем исключения наименее важных признаков. Еще одним достоинством MANOVA является тот факт, что он менее чувствителен к условию нормальности исходных данных, чем ANOVA. Поэтому его применяют вместо ANOVA еще и для анализа повторных данных, для которых не выполняется условие сферичности.

В отличие от одномерного случая вместо межгрупповой и внутригрупповой сумм квадратов SSH и SSE рассматриваются их обобщения – межгрупповая и внутригрупповая матрицы H и E (симметричные квадратные матрицы порядка k), определяемые следующим образом [12]:

где – межгрупповые суммы квадратов (Hypothesis Sums of Squares),

– межгрупповые суммы произведений (Hypothesis Sums of Products),

– внутригрупповые суммы квадратов (Error Sums of Squares),

– внутригрупповые суммы произведений (Error Sums of Products), .

Для проверки нулевой гипотезы используются четыре статистических критерия [2, 12], приведенных в табл. 3. Все критерии – это скалярные величины, рассчитанные с помощью матриц H и E и основанные на различных подходах к определению критических статистик. Критические значения критериев можно найти в специальных таблицах [12]. В табл. 3 также приведены выражения для критериев через собственные значения матрицы или матрицы (собственные значения обеих матриц совпадают, но собственные векторы различны!).

Данные статистические критерии можно аппроксимировать F-статистикой Фишера со степенями свободы df1, df2 [2, 12]. Соответствующие формулы приведены в табл. 4.

Необходимо отметить, что максимальный корень по методу Роя является более мощным критерием по сравнению с тремя другими только в том случае, если векторы средних значений коллинеарны между собой [12]. Это возможно в ситуации, когда наибольшее собственное значение l1 существенно превосходит (в несколько раз) все остальные собственные значения. В остальных случаях его можно не принимать во внимание.

Анализ потребления продуктов питания

Показатели душевого потребления основных продуктов питания входят в число критериев оценки уровня жизни населения в регионе. Неоднородность потребления продуктов в регионах Российской Федерации объясняется различиями в доходах, уровнем развития сельского хозяйства в регионе, степенью обеспеченности региона определенным видом продукта, климатическими особенностями, наконец, исторически сложившимися традициями в питании в конкретном регионе. Например, спрос на мясо и мясопродукты выше в регионах с высокими среднедушевыми доходами; в регионах со средним уровнем доходов и высоким уровнем развития сельхозпроизводства высокий уровень потребления всех продуктов питания обеспечивается более низкими ценами из-за конкуренции сельхозпроизводителей [3] и т.д. Возникают закономерные вопросы: существенны ли различия в потреблении продуктов питания в регионах России и существенно ли меняется потребление с течением времени?

Статистические данные по потреблению основных продуктов питания в регионах Российской Федерации за разные временные промежутки анализировались во многих работах [1, 3, 4, 6–9], в том числе и с применением одномерного дисперсионного анализа [5, 10]. Как правило, в подобных исследованиях регионы (или федеральные округа) сравниваются по уровню потребления друг с другом или с рациональными нормами питания отдельно по каждому из основных продуктов питания, проводится разбиение регионов на кластеры, делаются попытки построить уравнения регрессии и дать прогноз. Мы же попробуем сравнить между собой федеральные округа по уровню потребления совокупности всех основных продуктов одновременно. Представляется, что такой подход является обоснованным в силу существующих взаимосвязей (соотношений) между уровнем потребления разных видов продуктов: недостаточное потребление одного вида продукта компенсируется избыточным потреблением другого (например, мясо – картофель), или увеличенное потребление одного влечет увеличенное потребление другого сопутствующего продукта (например, ягоды – сахар).

В статье рассматривается анализ потребления основных продуктов питания в различных округах Российской Федерации по данным Росстата за 2014 год. Изучается влияние территориального фактора – федерального округа – на восьмимерный вектор показателей потребления

X = (X1, X2,…, X8),

где X1 – душевое потребление мяса и мясопродуктов (кг за год),

X2 – душевое потребление молока и молочных продуктов (кг за год),

X3 – душевое потребление яиц (шт за год),

X4 – душевое потребление сахара (кг за год),

X5 – душевое потребление картофеля (кг за год),

X6 – душевое потребление овощей и бахчевых культур (кг за год),

X7 – душевое потребление растительного масла (кг за год),

X8 – душевое потребление хлебных продуктов (кг за год).

Исходные данные частично представлены в табл. 5.

Несмотря на то, что метод MANOVA не очень чувствителен к требованию многомерной нормальности, проверим, нет ли очевидных свидетельств того, что распределение рассматриваемой генеральной совокупности существенно отличается от нормального. Для этого рекомендуется [12], во-первых, проверить на нормальность компоненты вектора X = (X1, X2,…, X8), во-вторых, визуально проанализировать диаграммы рассеяния для всех возможных пар компонент вектора X. Если облако рассеяния для какой-то пары переменных отличается от эллиптического, то есть основание сомневаться в нормальной распределенности генеральной совокупности.

Каждая из рассматриваемых переменных X1, X2,…, X8, взятая по отдельности, имеет распределение, близкое к нормальному, что подтверждается наблюдаемыми частотами распределения каждой переменной, приведенными в табл. 7.

Таблица 7

Наблюдаемые частоты

Диаграммы рассеяния для рассматриваемых переменных – показателей потребления – похожи на показанную на рисунке диаграмму для переменных X1 и X2. Как видно, облако рассеяния имеет форму, близкую к эллиптической. Таким образом, можно принять, что выборка извлечена из многомерной генеральной совокупности, имеющей распределение, близкое к нормальному.

Библиографическая ссылка