Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Кравчук С.П. 1 Кравчук И.С. 2 Швед Е.В. 1

---

1 ФГБОУ ВО «Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова»

2 ФГБОУ ВО «Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II»

Известно, что задачи линейного программирования широко используются во всевозможных практических задачах оптимизации как экономических, так и технических проблем. Однако изучение основных методов решения подобных задач требует длительной теоретической подготовки, включающей в себя серьёзное освоение фундаментального раздела высшей математики – линейной алгебры. Авторы данной статьи в предыдущем цикле работ по линейному программированию предложили простой универсальный способ решения любых задач линейного программирования с помощью исключения переменных в системе линейных неравенств. Настоящая статья продолжает цикл работ авторов по применению метода неравенств к задачам транспортного типа, в том числе с правильным и неправильным балансами, ограничениями на пропускную способность и т.п. Предлагаемый метод будет полезен студентам экономических специальностей, а также инженерам-практикам, использующим методы оптимизации.

Статья в формате PDF

0 KB

неравенства

линейное программирование

симплекс-метод

метод Жордана-Гаусса

целевая функция

экстремум

матрица

1. Быканова О.А. Исследовательская деятельность в рамках обучения финансовой грамотности социально ориентированной молодежи // Молодой ученый. – 2015. – № 22.

2. Быканова О.А. Элементы общей топологии: Учеб.-метод. пособие по специальности 032100 «Математика» по курсу «Геометрия». Под ред. О.Н. Бабенко; М-о образования Рос. Федерации. Таганрог. гос. пед. ин-т. – Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2001.

3. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи и методы линейного программирования. Задачи транспортного типа. – М.: Либроком, 2010.

4. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник под ред. проф. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000.

5. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2005.

6. Кравчук С.П., Кравчук И.С., Швед Е.В. Экстремумы в системе линейных неравенств с двумя переменными. – СПб.: Современные аспекты экономики, 2010. – № 6 (154).

7. Кравчук С.П., Кравчук И.С., Татарников О.В., Швед Е.В. Метод неравенств в задачах линейного программирования // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 3–1. – С. 148–153.

Задачи линейного программирования транспортного типа широко распространены в практических исследованиях оптимизации различных экономических задач [1]. Однако существующие методы их решения нетривиальны и требуют специальной теоретической подготовки [1–3], как и вообще при решении любых других задач линейного программирования. В настоящее время существуют компьютерные программы, позволяющие решать подобные задачи с любым количеством переменных. Но для правильного использования этих программ и анализа найденного решения необходимо освоить хотя бы простейшие методы решения задач с малым числом переменных.

Авторам удалось построить простой универсальный метод решения задач линейного программирования с помощью исключения переменных в системе линейных неравенств, используя таблицы Гаусса [4, 5]. Данная работа демонстрирует применение этого метода к решению транспортных задач.

Решение транспортной задачи с правильным балансом

Пусть исходная таблица имеет вид:

где xij – объёмы перевозок от i-го поставщика к j-му потребителю, ai – запасы поставщиков, bj – запросы потребителей. Числа рядом с xij указывают стоимость cij перевозки единицы груза. Переменные xij должны удовлетворять следующим ограничениям:

(1)

Приведём систему (1) к разрешённому виду, используя таблицы Жордана-Гаусса [2, 3].

В итоге решение системы (1) имеет вид:

(2)

Целевая функция является суммой затрат на перевозку всех грузов и должна быть минимальна:

С учётом (2):

(3)

Как показано в [4], система неравенств, обеспечивающая Zmin, объединяет (2), (3) и выглядит следующим образом:

(4)

Исключаем переменные в системе (4) с помощью таблиц Гаусса, как в [4]:

Заметим, что в табл. 2 вычеркнуты автоматически выполняющиеся неравенства-следствия, например

Таблица 1

Библиографическая ссылка