Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,252

АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЯДАМИ ВОЛЬТЕРРА

Цибизова Т.Ю. 1
1 ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)»
Работа посвящена вопросам идентификации нелинейных систем автоматического управления. Конструктивным подходом в решении данной задачи является использование фильтрующей структуры в виде последовательности Вольтерра. Рассматривается реализация фильтра Вольтерра 2-го порядка, его математическое описание, определяются линейный и квадратичный веса фильтра, минимизирующие среднюю квадратичную ошибку. Предложен адаптивный алгоритм реализации фильтра Вольтерра 2-го порядка, в котором операторы линейного и квадратичного фильтра могут быть скорректированы как расширение алгоритма наименьшего среднего квадратического. На основе средней квадратичной ошибки определен ее асимптотический остаток при адаптивной реализации. Сделан вывод о том, что применение адаптивного алгоритма может дать эффективные гибкие подходы для разработки и реализации фильтра Вольтерра 2-го порядка. С другой стороны, распространение полученных результатов на фильтр Вольтерра более высокого порядка является интересным объектом дальнейшего исследования.
идентификация нелинейных систем
адаптивный алгоритм
средняя квадратичная ошибка
линейный фильтр
квадратичный фильтр
оптимальный фильтр
1. Воронов Е.М., Карпунин А.А., Ванин А.В. Оптимизация управления структурно сложными системами // Инженерный журнал: наука и инновации. – 2013. – № 10 (22). – URL http://engjournal.ru/articles/1080/1080.pdf. (дата обращения 10.09.2016).
2. Задорожная Н.М. Адаптивные системы автоматического управления с двумя эталонными моделями // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1–2; URL: http://science-education.ru/ru/article/view id=20134.
3. Кобзев Г.К. К вопросу об идентификации ядер Вольтерра при моделировании нелинейных динамических систем // Вестник Иркутского государственного технического университета. – 2006. – № 4–1 (28). – С. 80–83.
4. Лукьянова Н.В., Кузнецов И.А. Идентификация нелинейных динамических систем на основе разложения функционалов методом Винера // Управление в морских и аэрокосмических системах: материалы конференции (УМАС-2014). – СПб., 2014. – С. 633–636.
5. Лукьянова Н.В. Модульный метод моделирования с использованием разложения Винера // Автоматизация. Современные технологии. – 2015. – № 9. – С. 17–22.
6. Павленко С.В., Положаенко С.А. Оптимизация вычислительных алгоритмов аппроксимационного метода идентификации нелинейных систем в виде моделей Вольтерра // Информатика и математические методы в моделировании. – 2013. – Т. 3. – № 2. – С. 103–112.
7. Пролетарский А.В., Неусыпин К.А., Кузнецов И.А. Разработка критерия степени идентифицируемости параметров динамических систем // Труды ФГУП «НПЦАП». Системы и приборы управления. – 2014. – № 4 (30). – С. 87–93.
8. Пупков К.А., Цибизова Т.Ю. Реализация фильтра Вольтерра второго порядка для идентификации нелинейных систем управления // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. – 2006. – № 6. – URL http://technomag.edu.ru/doc/58741.html (дата обращения 10.09.2016).
9. Цибизова Т.Ю. Идентификация нелинейных систем автоматического управления при помощи фильтров Вольтерра // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 2–14. – С. 3070–3074.
10. Цибизова Т.Ю. Методы идентификации нелинейных систем управления // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1–1; URL: http://science-education.ru/ru/article/view id=17910.
11. Цибизова Т.Ю., Чан Н.Х. Способы реализации процедуры идентификации на основе фильтра Вольтерра // Автоматизация. Современные технологии. – 2015. – № 8. – С. 31–34.

Решение задач управления динамическими объектами предполагает использование математической модели исследуемого процесса. Математические модели, полученные на основе физических или каких-либо других законов, в практических приложениях, как правило, не всегда точно отражают исследуемые процессы. Поэтому для уточнения структуры и параметров математической модели применяются различные алгоритмы идентификации и алгоритмы построения моделей [1, 2, 4, 5]. Алгоритмы построения моделей позволяют получить высокоточные математические модели исследуемых объектов, однако их использование для управления затруднительно, так как структура модели заранее неизвестна и вопрос проверки устойчивости требует дополнительных исследований. Алгоритмы идентификации позволяют определить отдельные параметры матрицы модели, структура которой задана априори. Для решения задачи идентификации нелинейных объектов разработано довольно много подходов и методов [3, 4, 6, 7]. На современном этапе возросли требования к точностным характеристикам применяемых алгоритмов идентификации. В связи с этим модифицируются классические подходы к решению задачи идентификации нелинейных систем с целью повышения их точности и уменьшения ограничений применения [1, 6, 10], а также универсальные поисковые методы, которые требуют минимальной априорной информации об идентифицируемой системе, но сложны в реализации.

В настоящей работе исследована проблема идентификации нелинейных систем. В качестве основной трудности данной проблемы можно назвать необходимость обработки большой базы данных, характеризующей работу идентифицируемой системы. Конструктивным подходом в решении данной задачи является использование фильтрующей структуры в виде последовательности Вольтерра [3, 6, 8]. Однако одной из главных причин достаточно редкого применения методики фильтрации Вольтерра на практике является значительная сложность, связанная с реализацией фильтров Вольтерра [9, 11]. Таким образом, главной задачей является нахождение упрощений в разработке и реализации фильтра Вольтерра.

Фильтр Вольтерра 2-го порядка

Возьмем фильтр Вольтерра 2-го порядка (ФВ2), который состоит из параллельной комбинации линейного и квадратичного фильтров [8, 9]:

Tsibizova01.wmf (1)

где {a(j)} и {b(j, k)} называются линейным и квадратичным весом соответственно, а N указывает длину фильтра (предполагается симметричность квадратичных весов фильтра, т.е. b(j,k) = b(k,j)).

Далее возьмем, что x(n) и s(n) – это случайные процессы с нулевым математическим ожиданием с дискретным параметром n. Нужно найти веса фильтра, которые минимизируют среднюю квадратичную ошибку (СКОШ) между s(n) и выходом фильтра y(n), т.е.

Tsibizova02.wmf (2)

где предполагается строгая стационарность s(n) и x(n) с нулевым математическим ожиданием.

Первым шагом в определении минимума среднеквадратичной ошибки является требование бездрейфового выхода фильтра. Другими словами, должно быть E[y(n)] = 0, так как основной сигнал имеет нулевое математическое ожидание.

Тогда имеем следующее соотношение между h0 и b(j, k):

Tsibizova03.wmf (3)

где Tsibizova04.wmf обозначает автокорреляционную функцию x(n). Важно включение члена нулевого порядка h0. Некоторые из предыдущих исследователей не имели выхода нулевого порядка, но без этого выход минимальной средней квадратичной ошибки фильтра Вольтерра не является обязательно бездрейфовым и ошибка имеет, следовательно, тенденцию к увеличению, в отличие от фильтра Вольтерра 2-го порядка с h0, выраженном в (3).

Подставляя в (1) выражение (3), получим формулу для определения фильтра Вольтера 2-го порядка:

Tsibizova05.wmf (4)

Следующий шаг – определение линейных и квадратичных весов фильтра a(j) и b(j, k), которые определяют минимум среднеквадратичной ошибки.

Выведем простое решение для оптимального фильтра Вольтерра 2-го порядка в предположении, что на входе фильтра гауссион. Во-первых, заметим, что (4) может быть переписано в виде [8, 9]:

Tsibizova06.wmf (5)

где tr – след матрицы В;

Tsibizova07.wmf

Tsibizova08.wmf

Tsibizova09.wmf

Rx указывает на N×N матрицу от x(n), где rx(j, k) = rx(j – k) – автокорреляционная функция входного сигнала x(n). A и B – операторы линейного и квадратичного фильтра соответственно.

Перед выводом решения определим кросс-корреляционную rsx(j) и кросс-бикорреляционную tsx(j, k) функции между x(n) и s(n) следующим образом:

Tsibizova10.wmf

Tsibizova11.wmf

Поскольку предполагается, что s(n) и x(n) – строго стационарны, то как rsx(j), так и tsx(j, k) являются независимыми от переменной n. Кросс-бикорреляционная функция tsx(j, k) определяет статистическую зависимость между s(n) и x(n), которая является критичной при нахождении оптимального квадратичного оператора фильтра. Кроме того, надо сказать, что кросс-бикорреляционная функция является симметричной, т.е. tsx(j, k) = tsx(k, j).

В матричной форме кросс-корреляционную и кросс-бикорреляционную функцию можно записать следующим образом:

Rsx = [rsx(0), …, rsx(N – 1)]T;

Tsibizova12.wmf

Отсюда линейный и квадратичный операторы фильтра Вольтерра 2-го порядка с минимальной среднеквадратичной ошибкой определяются следующим образом:

Tsibizova13.wmf (6)

Tsibizova14.wmf (7)

Адаптивный алгоритм реализации

Алгоритм наименьшего среднего квадратического (НСК) для линейного фильтра хорошо известен и представляется в виде

A(n + 1) = A(n) – 2μAe(n)X(n). (8)

Здесь A(n) – оператор линейного фильтра в момент n и e(n) = AT(n)X(n) – s(n) – остаточная ошибка фильтра. Также μA – положительная константа, от которой зависит устойчивость и сходимость алгоритма.

Рассматривая адаптивную реализацию ФВ2, можно заметить, что оператор линейного фильтра может быть скорректирован, используя алгоритм (8), за исключением остаточной ошибки, представляемой в виде:

Tsibizova15.wmf (9)

Можно увидеть, что предыдущие результаты для стандартного НСК-алгоритма остаются в силе. Следовательно, необходимо рассмотреть только адаптацию оператора квадратичного фильтра.

Однако в (9) следует отметить, что выражение нулевого порядка tr{B(n)Rx} не является константой при адаптивной реализации. Вспомним, что выражение нулевого порядка необходимо для вычитания математического ожидания выходного значения квадратичного фильтра из выходного значения ФВ2 [9]. Следовательно, когда Rx неизвестно, рекурсивный алгоритм оценки (например, НЧ-фильтр) для уровня среднего выходного значения квадратичного фильтра можно заменить выражением нулевого порядка.

Для упрощения не будем изменять выражение нулевого порядка, поэтому его адаптация рассматриваться не будет. Как расширение НСК-алгоритма рассмотрим следующий адаптивный алгоритм для оператора квадратичного фильтра:

Tsibizova16.wmf (10)

где μB – положительная константа.

Концептуально данный алгоритм имеет под собой основание, т.к.

Tsibizova17.wmf

и его реализация вполне приемлема.

Первая аппроксимация должна допускать, что A(n) и B(n) – независимы от пары {s(n), X(n)}. Тогда мы имеем

Tsibizova18.wmf

Таким образом, если мы определим δB(n) = B(n) – B0, где B0 – оптимум оператора квадратичного фильтра, определяемого с минимальной среднеквадратичной ошибкой следующим образом: Tsibizova19.wmf то математическое ожидание, взятое от обеих частей (10), даст

Tsibizova20.wmf (11)

Заметим, что математическое ожидание оператора квадратичного фильтра сходится к оптимуму B0 тогда и только тогда, когда Tsibizova21.wmf при n → ∞.

Действительно, если Tsibizova22.wmf для некоторого n, то это остается справедливым и для всех других n. Для Tsibizova23.wmf Tsibizova24.wmf если размер шага μB выбирается следующим образом:

Tsibizova25.wmf (12)

где λmax – наибольшее собственное значение матрицы R.

Отсюда средняя ошибка между B(n) и B0 монотонно снижается до 0 с увеличением времени. Далее при детальном рассмотрении процесса адаптации можно увидеть, что каждый элемент матрицы E[δB(n)] состоит из набора компонент вида e–αt, в которых самое быстрое и самое медленное затухание определяется λmax и λmin.

В адаптивной реализации ФВ2 флуктуации операторов линейного и квадратичного фильтров добавляют некоторую дополнительную СКОШ в выходное значение фильтра даже при устойчивом положении адаптационного процесса. Таким образом, асимптотическая СКОШ адаптивного ФВ2 в общем случае больше, чем СКОШ оптимального ФВ2. Для оценки остатка СКОШ запишем СКОШ адаптивного ФВ2 в виде

ξ(n) = ξopt + ξA(n) + ξB(n);

причем остаток СКОШ линейного и квадратичного представляется:

Tsibizova26.wmf

Tsibizova27.wmf

где δA(n) = A(n) – A0 и δB(n) = B(n) – B0 – суть отклонения A(n) и B(n) от их оптимальных значений.

Затем, получим следующие ограничения для остатка СКОШ:

Tsibizova28.wmf

Tsibizova29.wmf

Так как нас интересуют главным образом асимптотические значения остатка СКОШ после достижения адаптивным процессом своего устойчивого состояния, то мы допускаем, что A(n) и B(n) близки к A0 и B0 соответственно. Отсюда выбираем μA и μB так, чтобы Tsibizova30.wmf и Tsibizova31.wmf

Таким образом, имеем

δA(n) = –2μAe(n)X(n)

и

δB(n) = –μBe(n)X(n)XT(n).

Кроме того, при данных условиях как X(n), так и X(n)XT(n) не коррелирует с остаточной ошибкой e(n).

Следовательно, получаем следующие ограничения для асимптотического остатка СКОШ (АОСКОШ):

ξA ≤ 4μAξoptNrx(0);

ξB ≤ 3μBξopt[Nrx(0)]2.

Заключение

В работе представлены способы реализации фильтра Вольтерра 2-го порядка, связанные с упрощением его реализации. Показано, что простое решение для оптимального ФВ2, его адаптивный алгоритм могут дать эффективные гибкие подходы для разработки и реализации ФВ2. С другой стороны, распространение полученных результатов на фильтр Вольтерра более высокого порядка является интересным объектом дальнейшего исследования.


Библиографическая ссылка

Цибизова Т.Ю. АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЯДАМИ ВОЛЬТЕРРА // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 10-1. – С. 102-106;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40816 (дата обращения: 21.11.2017).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252