Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Осечкина Т.А. 1 Севодин М.А. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

В настоящей статье исследуется задача распределения производственных мощностей между предприятиями отрасли. Рассматриваются ситуации, в которых целевая функция соответствует суммарному выпуску производствами продукции, а ограничения связаны с количеством используемых сырьевых материалов нескольких видов. Для таких задач в работе модифицируется известный метод решения: применение для доказательства существования и единственности решения задачи условий Куна-Таккера. Если обычно эти условия применялись к вогнутым функциям, то в работе рассмотрены обобщения этих свойств – К-вогнутость, то есть исследованы такие функции, для которых вогнутость выполняется только на конусе К направлений. Установлены достаточность и необходимость условий Куна-Таккера для такого расширения классов функций. В случае числовых функций двух переменных построенные условия имеют наиболее простую и наглядную форму. Полученные условия позволили задачу распределения мощностей рассматривать в более широком ракурсе.

Статья в формате PDF

0 KB

математическое программирование

распределение мощностей

вогнутость

конус направлений

1. Багриновский К.А. и др. Экономико-математические методы и модели. Микроэкономика / К.А. Багриновский, В.М. Матюшок. – М.: Изд-во РУДН, 1999. – 183 с.

2. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход / У. Зангвилл – М.: Советское радио, 1973. – 312 с.

3. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике / С. Карлин – М.: Мир, 1964. – 839 с.

4. Нестеров Ю.Е. Методы выпуклой оптимизации / Ю.Е. Нестеров. – М.: Изд-во МЦНМО, 2010. – 281 с.

5. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика / Х. Никайдо. – М.: Мир, 1972. – 519 с.

6. Севодин М.А. Множества, выпуклые в конусе направлений / М.А. Севодин // Изв. вузов. Матем., 2013. – № 10. – С. 73–76.

7. Экланд И. Элементы математической экономики / И. Экланд. – М.: Мир, 1983. – 248 с.

Современное промышленное производство характеризуется высоким развитием производственных сил и высокими темпами научно-технического прогресса. Поэтому определение оптимальных вариантов планирования и управления производством представляет собой актуальную проблему. Показатели доходов, затрат, объемов производства, возникающих в процессе производства, необходимо точно определить и оценить, а затем управлять ими для достижения желаемого финансового результата. Эти задачи могут быть решены только с использованием соответствующих экономико-математических моделей и методов.

Существующие методы решения задач оптимального программирования [2, 3, 4, 7] и современные вычислительные средства позволяют реализовывать в практических задачах такие экономико-математические модели.

Основными компонентами математического программирования являются целевая функция и система ограничений. Традиционными требованиями к функциям здесь являются вогнутость целевой и вогнутость функций, определяющих систему ограничений. С математической точки зрения, эти требования делают условия Куна-Таккера достаточными для существования и единственности решения задачи математического программирования, а с экономической – обеспечивают существование равновесия в конкурентном взаимодействии между промышленностью и рынком. Производство стремится максимизировать доход от своей продукции. Этой цели противостоит рынок, который из-за того, что он платит производству, добивается (за счет управления ценами на сырье, которое производство приобретает на рынке) минимизации дохода производства. Отказ от предположений вогнутости функций в задачах оптимизации приводит к тому, что нельзя уже утверждать существования и единственности конкурентного равновесия. Известно [7], что в случае, например, растущей производительности (невогнутость целевой функции) производство стоит перед дилеммой: либо работать в пользу социального оптимума и сталкиваться со значительными убытками, либо сбалансировать бюджет и получать доход, зная, что, скорее всего, ситуация не соответствует оптимальным параметрам.

В данной статье исследуются ситуации, когда вогнутости в названных требованиях нет, но тем не менее оптимальность сохраняется. Для этого в работе рассматривается K – вогнутость [6] функций и приводятся некоторые расширения теоремы Куна-Таккера.

Постановка задачи. Решение в вогнутом случае. Рассмотрим задачу распределения некоторого запаса ресурсов между производствами (см., напр., [1]). В этой задаче нужно определить такой совместный план интенсивностей n производств одной отрасли, что его выполнение приводит к наибольшему значению общего выпуска продукции в условиях ограниченности запаса m видов ресурсов (напр., энергии, материала и т.д.).Таким образом, целевая функция f(x) представляет собой суммарный выпуск продукции всеми производствами, соответствующий уровню производства в промышленности, равном x. Кроме того, промышленности требуется m видов сырья, при этом наличное количество сырьевого материала вида i составляет . Пусть – количество сырья i, которое необходимо при уровне производства, равном x, а .

Итак, математическая модель задачи является классической задачей математического программирования [2] и имеет вид

(1)

Известно (условия Куна-Таккера, см., напр., [2]), что в случае дифференцируемости функций из (1) и выполнения условия регулярности [2] для оптимальной точки задачи (1) должны выполняться следующие условия:

1) – допустимая точка;

2) существуют множители λi ≥ 0, i = 1,..., m, такие, что

3) .

Приведенные условия являются необходимыми. Достаточность условий появляется при дополнительных требованиях на функции f(x), g(x), . Именно [2], если названные функции вогнуты, то точка , удовлетворяющая условиям Куна-Таккера, является решением задачи (1).

С экономической точки зрения свойство вогнутости функций f(x), g(x), связано [1] с представлением об убывающей эффективности производства, т.е. о снижении предельных норм выпуска и увеличении предельных норм затрат при расширении масштабов (интенсивностей) производства. Эти свойства в экономической теории обычно принимаются без ограничений, хотя понятно, что на самом деле они должны часто не выполняться. Так происходит в силу причин технологического характера, из-за политического устройства экономики, в силу, наконец, причин экономического характера. Поэтому в исследованиях подобного рода естественно пытаться выделять условия, обобщающие условия вогнутости, что и будет сделано в следующем пункте статьи.

K – вогнутые функции. Приведем определение выпуклого в конусе направлений K множества, или, более коротко, K – выпуклого множества [6].

Определение 1. Множество X в пространстве Rn называется K – выпуклым множеством, если из следует, что отрезок, соединяющий точки x, y, принадлежит множеству X.

Здесь означает, что по крайней мере один из векторов (x – y), (y – x) принадлежит K.

Заметим, что в этом определении в качестве множества K можно взять произвольное множество.

Будем вновь считать K выпуклым конусом в Rn и рассмотрим скалярную функцию f(x) на некотором множестве X из Rn.

Определение 3. Функция f, определенная на K – выпуклом множестве X в Rn, называется K – вогнутой на X, если

(2)

для любых и любых .

В случае выполнения в (2) строгого неравенства при и функция f называется строго K – вогнутой на X.

Пусть функция f(x), определенна и K – вогнута на Rn, множество является K – выпуклым. В самом деле, так как множество X содержит a, то . Функция f(x) – K – выпуклая и поэтому для любой выпуклой линейной комбинации точек x, y из X, таких, что , имеем

 ≥,

что и требовалось доказать.

Перед тем, как сформулировать следующее утверждение, введем один класс множеств. Будем говорить [6], что множество X является l-множеством, если выпуклая оболочка C(X) множества X есть объединение самого X и точек отрезков, соединяющих всевозможные пары точек из X. Пусть . Если в этом случае X не содержит положительных точек, то и C(X) их также не содержит. Поэтому из [5, 6] вытекает следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть X – выпуклое l-множество, не содержащее положительных точек. Тогда существует отделяющая гиперплоскость с полуположительным вектором нормали , такая, что полупространство содержит множество X.

Введем в рассмотрение множество Y:

,

где отображение с некоторой фиксированной точкой определяется по (1) следующими выражениями для компонент вектор-функции φ(x):

.

Имеет место

Теорема 1. (ср.[2]) Пусть множество X выпукло, а максимизируемая функция f и функции таковы, что множество Y – выпукло и является l-множеством. Пусть также выполнено условие Слейтера: в X существует точка c, для которой . Тогда, если – какое-либо решение задачи максимизации при ограничениях (1), то существуют неотрицательные числа , такие, что

(a) ,

(b) максимизирует лагранжиан задачи (1) на множестве X при указаных λi.

Доказательство проводится по схеме, предложенной в [5].

Приведем одну из возможных конкретизаций теоремы 1. Рассмотрим случай m = 1, n = 2. Возьмем за X верхнюю полуплоскость, то есть . Обозначим g(x) = g1(x). Отображение будем считать непрерывно дифференцируемым и локально взаимно однозначным в X. В этих предположениях справедлива

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) на границе множества X удовлетворяют следующим условиям:

(1) ;

(2) .

Тогда если – какое-либо решение задачи максимизации при ограничениях, то существует неотрицательное число λ, такое, что

(a) ,

(b) максимизирует лагранжиан на множестве X при указанном  λ.

В заключение приведем одно из возможных следствий утверждения 1 [6].

Теорема 3. Пусть в задаче максимизации с ограничениями (1) функции и , являются непрерывно дифференцируемыми на выпуклом множестве X, градиент целевой вогнутой на X функции f при любом принадлежит положительному ортанту , а ограничения gi, , вогнуты на X. Предположим, что в допустимой точке выполнены условия Куна-Таккера. Тогда если для любой допустимой точки x задачи (8) разность не принадлежит множеству , то – решение задачи (1).

Библиографическая ссылка