Для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, с целью предопределения строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии рассматривается математическая модель процесса наката и обрушения волны на берег. В данной работе для предложенной математической модели прибрежных волновых процессов приведено описание реализации разработанных алгоритмов.
Постановка задачи. При описании задачи волновой динамики жидкости исходными уравнениями являются:
– уравнения Навье – Стокса:
(1)
(2)
– уравнение неразрывности:
(3)
Уравнение (3) в случае несжимаемой жидкости примет вид
(4)
Уравнения (1)–(4) рассматриваются при следующих граничных условиях:
– на дне области:
(5)
– на поверхности жидкости:
(6)
– на боковой границе:
(7)
где V = {u, v} – вектор скорости движения водной среды; P – давление; ?, ? – коэффициенты турбулентного обмена по горизонтальному и вертикальному направлениям соответственно; g – ускорение свободного падения; ? – плотность жидкости; ?x, ?y – составляющие тангенциального напряжения на дне жидкости; ? – поток вектора скорости через боковую поверхность; L – расстояние от поверхности жидкости до дна (глубина жидкости с учетом возвышения уровня) на боковой границе.
Дискретная модель
Расчетная область представляет собой прямоугольник. Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи волновой гидродинамики вводится равномерная сетка [2, 3]:
где ? – шаг по времени; hx,hy – шаги по пространству; Nt – верхняя граница по времени; Nx, Ny – границы по пространству.
Применяется непосредственная аппроксимация. В результате аппроксимации уравнений (1), (2) по временной переменной, вводя промежуточный слой n + ? согласно MAC-методу и расщепляя уравнения по физическим процессам, уравнения приводятся к следующему виду [1, 5, 9]:
(8)
(9)
Продифференцировав уравнения (9) и преобразовав с учетом уравнения неразрывности (4), получим
(10)
Расчет задач гидродинамики по данному методу «поправок к давлению» осуществляется в три этапа. На первом этапе на основе уравнений (8) считается поле скоростей. На втором этапе рассчитывается давление по уравнению (10). На третьем этапе из соотношений (9) уточняется поле скоростей по давлению.
Программная реализация
Для демонстрации визуализации процесса выхода и обрушения волны на берег с учетом особенностей рельефа дна прибрежной акватории и суши было разработано экспериментальное программное обеспечение «Waves» на базе ЭВМ. Программа «Waves» предназначена для построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, с целью предопределения строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии. Разработанное экспериментальное программное обеспечение на базе ЭВМ предназначено для математического моделирования и демонстрации визуализации процесса выхода и обрушения волны на берег с учетом особенностей рельефа дна прибрежной акватории и суши.
Программный компонент «Waves» включает в себя следующие блоки: управляющий блок (в данном блоке содержится цикл по временной координате и вызываются функции: расчет поля скорости без учета давления, расчет давления, расчет двумерного поля скорости, расчет заполненности ячеек водной средой и функции ввода-вывода данных); блок ввода начальных данных для расчета течений и давления (задаются начальные распределения поля скорости и давления, а также маски граничных условий и начальные значения заполненности ячеек); блок построения сеточных уравнений для поля скорости без учета давления в соответствии с конечно-объемной схемой (считаются и записываются в массив коэффициенты и правая часть соответствующего сеточного уравнения, представленного в канонической форме); блок построения сеточных уравнений для поля давления; блок расчета заполненности ячеек [4, 10]; блок расчета поля скорости с учетом давления (результатом работы данного блока является расчет значений поля двумерного вектора скоростей на следующем временном слое); блок расчета пятидиагональных сеточных уравнений адаптивным попеременно-треугольным методом скорейшего спуска; блок вывода значений поля скоростей, давления и заполненности ячеек.
Результаты численных экспериментов
Математическая постановка решаемой задачи может быть сформулирована следующим образом: слой идеальной несжимаемой жидкости подходит к откосу с изломом на урезе, сопряженному с ровным дном. В этом случае откос приурезовой области нельзя считать плоским, откос и берег расположены под разными углами. Предполагается, что в начальный момент времени жидкость находится в состоянии покоя. На некотором расстоянии от берега в точке x = 0 задается возмущение. Источником возмущения служит приложенный к боковой границе рассматриваемой области жидкости импульс давления. Требуется определить последующее движение воды.
После разработки программы «Waves» были проведены тестирования ее на соответствие уже имеющимся результатам, которые были получены другими научными работами и опытным путем. Анализ показывает, что приближенная математическая модель выхода волны на берег и ее разрушение в прибрежной зоне водоема с определенной точностью согласуется с существующими данными.
Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды в прибрежной акватории представлены на рисунке, где изображено изменение профиля волны набегающей на берег в различный период времени. При этом программа отражает векторы поля скорости.
Из рисунка видно, что в прибрежной акватории при накате волны на берег происходит ее обрушение, образуется зона заплеска. Первая волна при откате назад «встречается» со следующей волной и «сбивает» ее. Полученные численные результаты процесса наката волн на берег дают возможность провести оценки силового воздействия волн на береговые объекты. Данная математическая модель построена для прогнозирования возможных сценариев развития ситуаций при использовании береговых зон.
Динамика изменения профиля уровня возвышения жидкости в случае наличия искусственного препятствия (волнореза)