Постановка начально-краевой задачи и разностная схема
Развитию вычислительных методов решения задач фильтрации многофазных жидкостей посвящены работы [3, 15], в том числе параллельному численному решению данного класса задач – публикации [7]. В случае плоско-параллельного характера фильтрации в пластах сравнительно небольшой мощности, уравнения, описывающие фильтрацию двухфазной несжимаемой жидкости в отсутствие капиллярных и гравитационных сил и при наличии источников и стоков, имеют вид [7]
(1)
(2)
где s = s(x, y) – водонасыщенность; p = s(x, y, t) – давление; f1(s), f2(s) – относительные фазовые проницаемости для нефти и воды соответственно; H – мощность пласта; m –пористость пласта; ?1, ?2 – вязкость нефти и воды соответственно; k(x, y) – проницаемость пласта; ?(s) – так называемая функция Баклея – Леверетта
(3)
с помощью которой может быть определена доля фазы воды в суммарном потоке. Функции q1 и q2, моделирующие работу скважин будут приведены при описании разностной схемы. Здесь мы отметим следующее: на эксплуатационных скважинах отбор фаз происходит пропорционально их подвижностям, а на нагнетательных – поток нефти равен нулю. Будем считать, что на скважинах задаются либо дебиты, либо забойные давления. В качестве функциональных зависимостей для задания f1(s), i = 1, 2 будем использовать полиномы третьего порядка
(4)
а также
(5)
где
– постоянные – так называемые предельные значения водонасыщенности, например
ai, bi i = 0, 1, 2, 3 – постоянные коэффициенты. Разностная схема для данной задачи получена интегроинтерполяционным методом [13].
Усовершенствованный алгоритм модифицированного попеременно-треугольного метода
В настоящей статье рассматривается параллельное численное решение системы разностных уравнений усовершенствованным модифицированным попеременно-треугольным методом, имеющим высокую скорость сходимости в случае сильно неоднородных пластов и применения подробных пространственных сеток [1, 2, 5, 11, 12].
Решение системы (1), (2) сводится к решению задачи, которую можно представить в операторном виде:
x ? ?;
x ? ?;
Схема итерационного двухслойного модифицированного попеременно-треугольного метода имеет вид [4, 6, 10, 14]:
где
Параллельная реализация попеременно-треугольного метода и результаты численных экспериментов
Для решения задачи фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости использован адаптивный МПТМ минимальных поправок. При параллельной реализации использованы методы декомпозиции сеточных областей для вычислительно трудоемких задач диффузии-конвекции, учитывающие архитектуру и параметры многопроцессорной вычислительной системы ЮФУ, в г. Таганроге. Пиковая производительность МВС составляет 18.8 TFlops. В качестве вычислительных узлов используется 128 однотипных 16-ядерных Blade-серверов HP ProLiant BL685c, каждый из которых оснащен четырьмя 4-ядерными процессорами AMD Opteron 8356 2.3 GHz и оперативной памятью в объеме 32ГБ.
Для параллельной реализации усовершенствованного МПТМ использованы методы декомпозиции области по одному направлению [8, 9]. Результаты использования многопроцессорных технологий для расчета полей течений приведены в таблице.
Количество ядер |
Время, с |
Ускорение |
Эффективность |
1 |
1447,415 |
1 |
1 |
2 |
734,728 |
1,97 |
0,985 |
4 |
387,009 |
3,74 |
0,935 |
8 |
199,643 |
7,25 |
0,906 |
16 |
109,653 |
13,2 |
0,825 |
32 |
62,659 |
23,1 |
0,722 |
64 |
36,643 |
39,5 |
0,617 |
Получены теоретические оценки ускорения и эффективности параллельного алгоритма, зависящие от времени выполнения арифметической операции, времени передачи данных и латентности, согласующиеся с приведенными выше экспериментальными данными (таблица).
На рис. 1–4 представлены результаты численного моделирования фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. На рис. 1–2 приведена функция, описывающая распределение давления в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.
Рис. 1. Функция распределения давления в начальный момент времени
Рис. 2. Функция распределения давления через 750 суток
На рис. 3–4 приведена функция, описывающая распределение функции водонасыщенности в начальный момент времени и через 750 суток после начала работы нагнетательных скважин.
Рис. 3. Функция распределения водонасыщенности в начальный момент времени
Рис. 4. Функция распределения водонасыщенности через 750 суток
Заключение
В статье для численного решения модельной задачи фильтрации двухфазной жидкости, описывающей процесс вытеснения нефти водой, для вычисления функции давления в пласте построен усовершенствованный модифицированный попеременно-треугольный метод, учитывающий специфику сеточных аппроксимаций задач такого типа – наличие функции источников, имеющей значительные величины в относительно небольшом числе узлов сетки, совпадающих с местоположением скважин. Построена и протестирована параллельная версия данного алгоритма на многопроцессорной системе ЮФУ в г. Таганроге, имеющая приемлемые показатели ускорения и эффективности для числа ядер при их изменении в диапазоне 4–256. Данный метод может найти применение при решении реальных задач проектирования разработок нефтяных месторождений в научно-исследовательских, проектных и технологических организациях нефтегазового профиля, эксплуатирующих относительно недорогие параллельные многоядерные системы с числом ядер до нескольких сотен.
Работа выполнена при частичной поддержке проектов Программы № 43 фундаментальных исследований Президиума РАН по стратегическим направлениям развития науки «Фундаментальные проблемы математического моде лирования».
Библиографическая ссылка
Сухинов А.И., Тимофеева Е.Ф., Григорян Л.А., Тебуева Ф.Б., Никитина А.В., Хачунц Д.С. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ДВУХФАЗНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ОСНОВЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНОГО МЕТОДА // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 12-3. – С. 526-530;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39574 (дата обращения: 20.03.2023).