При проектировании трубопроводных систем, перекачивающих горячие продукты в условиях сплошной или островной многолетней мерзлоты, особенно важным является правильный выбор способа прокладки и обоснование толщины теплоизоляционного покрытия. При подземном способе прокладки определяющий фактор – это допустимая величина просадки оттаявшего многолетнемерзлого грунта (ММГ), зависящая от глубины его оттаивания и жесткости трубопровода [1; 3–7; 9–15].
Цель работы – разработать наиболее рациональную методику задания периодических граничных условий третьего рода на поверхности моделируемого грунтового массива, воспроизводящую среднестатистические значения основных климатических параметров в районе проектируемого трубопровода.
Задачи:
– выполнить анализ исходных данных задачи о моделировании теплового взаимодействия трубопроводов с ММГ;
– определить основные возможности программного комплекса Comsol Multiphysics 4.3b в части задания граничных условий третьего рода;
– разработать математическую формулировку граничных условий третьего рода, позволяющую использовать ее в Comsol Multiphysics 4.3b.
Для создания модели трубопровода и грунта в программе Comsol Multiphysics 4.3b необходимо выбрать физический режим Heat Transfer with Radiation in Participating Media, позволяющий моделировать теплопроводность в средах, испытывающих фазовые переходы типа «плавление – затвердевание» на основании нелинейного дифференциального уравнения теплопроводности [2]:
(1)
где ρ(T) – плотность грунта; T – температура; cр(T) – теплоемкость грунта; t – время; K(T) – теплопроводность грунта; G – внутренние объемные источники тепла.
Среди решателей необходимо выбрать Time Dependent, позволяющий решать задачи с нестационарным теплообменом. Во вкладке Geometry необходимо создать геометрическую модель исходной задачи (рис. 1).
Во вкладке Materials, секции Material Contents задаются теплофизические характеристики грунтов, теплоизоляции и материала стенки трубопровода. В секции Geometric Entity Selection производится выбор расчетных областей, к которым принадлежит тот или иной материал.
Рис. 1. Геометрическая модель трубопровода в мерзлом грунте с заданными граничными условиями
Рис. 2. Добавление граничного условия «Heat Flux». Осуществляется вызовом контекстного меню во вкладке «Heat Transfer with Radiation in Participating Media»
Во вкладке Heat Transfer with Radiation in Participating Media необходимо добавить граничное условие Heat Flux (рис. 2), задающее тепловой поток в общем виде. Затем в секции Heat Flux в строке General inward heat flux вводится имя переменной, которая будет задавать величину теплового потока на поверхности грунта, например «Full_Heat_Flux». В секции Boundary Selection необходимо выбрать верхнюю границу расчетной области (рис. 3).
Рис. 3. Ввод переменной, задающей величину теплового потока и выбор границы № 3 (выделена синим цветом в окне Graphics)
Далее во вкладке Defenitions необходимо добавить новую таблицу с переменными и записать в столбец Name ранее определенное имя переменной, задающей тепловой поток на поверхности грунта: «Full_Heat_Flux». В столбце Expression вводится выражение в символьном виде, задающее непосредственно сам тепловой поток. Удобные возможности для выполнения операций с символьными выражениями предоставляет программный комплекс Matlab с интегрированным языком символьного исчисления MuPad.
Перейдем к описанию вида выражения, задающего тепловой поток. Граничные условия третьего рода на поверхности земли задаются выражением (2):
(2)
где A – альбедо деятельной поверхности; a – коэффициент теплоотдачи от поверхности земли; Tв – температура воздуха; ε – степень черноты поверхности земли в длинноволновом диапазоне; σ0 – постоянная Стефана – Больцмана; b – коэффициент излучения атмосферы [8]; T – температура моделируемого массива грунта.
Каждое слагаемое формулы (2) содержит в себе переменную, зависящую от времени. Рассмотрим переменную Q, задающую величину теплового потока солнечной радиации к горизонтальной поверхности. Как правило, информация о величине солнечной радиации содержится в отчетах по инженерным изысканиям объекта проектирования в виде таблиц суммарной солнечной радиации деятельной поверхности при средних условиях облачности по месяцам, Дж/м2.
Для определения мощности теплового потока Q необходимо разделить величину суммарной солнечной радиации на количество секунд в месяце. В этом случае размерность Q будет Вт/м2.
Перейдем к выводу выражения, аппроксимирующего величину Q в зависимости от времени года. Для этих целей можно использовать различные регрессионные модели. Однако выбор должен быть сделан в сторону той модели, которая позволит учесть две важные особенности:
1. Регрессионная модель должна представляться периодической функцией времени. Это обеспечит повторяемость значений основных климатических характеристик в одно и то же время для каждого расчетного года.
2. Регрессионная модель в качестве исходных данных должна использовать среднеарифметические значения аппроксимируемых данных за определенный промежуток времени.
Разработанная в начале XIX века французским математиком Фурье теория сходящихся тригонометрических рядов предоставляет очень удобные возможности для вычисления выражения, аппроксимирующего Q в соответствии со всеми требованиями, приведенными выше:
(3)
(4)
(5)
(6)
где ty – продолжительность года, с; Qi – мощность теплового потока солнечной радиации в i-м месяце, Вт/м2; t0 = 0 с, соответствует началу года; ti – момент окончания i-го месяца в году, с; k – число слагаемых в ряду Фурье; t – расчетный момент времени.
Аналогичные операции выполняются для всех переменных выражения (2), зависящих от времени года. Для плавного изменения аппроксимируемой величины при переходе от одного месяца к другому рекомендуется брать не более 7–9 слагаемых ряда Фурье. После расчета коэффициентов ряда Фурье для всех переменных, окончательное выражение для Full_Heat_Flux записывается в колонку Expression.
Следует отметить, что использованная переменная «t», «T» функции «cos» и «sin» интерпретируются в Comsol Multiphysics 4.3b в соответствии со смыслом, положенным в формулах (3)–(6).
Выводы
Создана математическая модель взаимодействия многолетнемерзлого грунта и трубопровода в программном комплексе Comsol Multiphysics 4.3b. Проведен анализ исходных данных для моделирования. Сделано заключение о том, что граничные условия третьего рода на поверхности грунта зависят от времени. Обозначены основные требования, предъявляемые к регрессионной модели, описывающей граничные условия на поверхности грунта. Разработана методика аппроксимации исходных данных рядами Фурье. Определено оптимальное число слагаемых в ряду Фурье, обеспечивающее плавное изменение аппроксимируемой величины при переходе от одного месяца к другому. При помощи инструментов пакета Matlab с интегрированным языком символьного исчисления MuPad сформировано выражение, задающее граничные условия в Comsol Multiphysics 4.3b. Выполнена проверка соответствия использованных символьных обозначений функций и переменных смысловому содержанию тех же символьных обозначений в интерпретируемом языке Comsol Multiphysics 4.3b.
Рецензенты:
Якубовский Ю.Е., д.т.н., заведующий кафедрой «Прикладная механика», ФГБОУ ВО «Тюменский государственный нефтегазовый университет», г. Тюмень;
Тарасенко А.А., д.т.н., профессор кафедры «ТУР», ФГБОУ ВО «Тюменский государственный нефтегазовый университет», г. Тюмень.
Библиографическая ссылка
Марков Е.В., Пульников С.А., Казакова Н.В. ОСОБЕННОСТИ ЗАДАНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА НА ПОВЕРХНОСТИ МНОГОЛЕТНЕМЕРЗЛОГО ГРУНТА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ЕГО ТЕПЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С «ГОРЯЧИМ» ТРУБОПРОВОДОМ В ПРОГРАММЕ COMSOL MULTIPHYSICS 4.3b // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 11-2. – С. 287-291;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=39326 (дата обращения: 17.08.2024).