При моделировании переноса в мембранных системах в сверхпредельных токовых режимах обычно используются краевые задачи для системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона [1–3, 5–10, 17].
В своих работах С.С. Духин и Н.А. Мищук [14], И. Рубинштейн [16] первыми дали теоретическое объяснение сверхпредельного тока электроконвекцией. Для этого они использовали двумерные уравнения Навье – Стокса для расчета течения раствора электролита и одномерные уравнения Нернста – Планка и Пуассона для расчета величины электрической силы. Аналогичные модели развивались в работах [11, 13, 19].
Использование приближенных решений краевых задач для одномерных, а не двумерных уравнений Нернста – Планка и Пуассона объясняется математическими сложностями исследования двумерных уравнений.
Впервые исследование электроконвекции на основе численного решения двумерной системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона и Навье – Стокса проведено в работах [12, 15, 18] с некоторыми ограничениями на величины начальной концентрации, скорости протока раствора. Таким образом, возникает актуальная проблема асимптотического решения краевых задач для двумерных систем уравнений Нернста – Планка и Пуассона.
В работе [4] нами было получено асимптотическое представление для решения краевой задачи для двумерных систем уравнений НП с условием электронейтральности, удобное для сращивания с асимптотическим представлением в области пространственного заряда путем введения промежуточного слоя. В данной работе предлагается асимптотическое представление решения краевой задачи для двумерных систем уравнений Нернста – Планка и Пуассона в области пространственного заряда (ОПЗ).
Постановка задачи
1. Исходная система уравнений
Безразмерная система уравнений Нернста – Планка и Пуассона:
i = 1, 2; (1)
i = 1, 2; (2)
(3)
(4)
Асимптотическое представление в области пространственного заряда
1. Преобразование уравнений
Положим 
тогда
i = 1, 2;
i = 1, 2;
2. Асимптотическое упрощение
Полагаем 
в преобразованных уравнениях, тогда получим
i = 1, 2; (5)
i = 1, 2; (6)
(7)
Из уравнения (6) следует, что потоки 
, i = 1, 2, и, соответственно, плотность тока 
, соленоидальные вектора. Кроме того, поскольку в уравнения (5)–(7) время явно не входит, процесс переноса в ОПЗ в первом приближении является стационарным.
3. Преобразование системы упрощенных уравнений
Поделим уравнения (5) на Di, i = 1, 2, умножим на zi, i = 1, 2 и сложим, тогда
(8)
где 
– некоторый соленоидальный вектор.
Уравнение (8) с учетом (7) примет вид
(9)
Уравнения для 
, 
, не зависящие от неизвестных соленоидальных векторов 
, i = 1, 2, 
и 
, можно получить, применив операцию div к обеим частям (5), (9):
i = 1, 2; (10)
(11)
При решении системы уравнений (10), (11) возникают трудности в нахождении дополнительных краевых условий, т.к. порядок этих уравнений повысился. В связи с этим возникает проблема непосредственного решения уравнения (9).
Вывод уравнения для функции η
Рассмотрим условие разрешимости уравнения 
где 
является соленоидальным вектором. Так как 
, соленоидальный вектор (т.е. 
), то существует такая функции η, что 
Введем оператор 
который является двумерным аналогом оператора rot, называется завихренностью и обладает следующими свойствами:
а) 
б) 
в) здесь 
– кососимметричное скалярное произведение.
(12)
С другой стороны, с учетом 
получим
Так как 
и 
, то 
. Следовательно, для функции η получаем уравнение
(13)
Уравнение (13) является условием разрешимости уравнения (9).
Таким образом, уравнение (9) эквивалентно системе уравнений
где 
Преобразование системы уравнений (9), (13)
Из уравнения 
следует, что 
где u некоторая скалярная функция. Тогда
следовательно, 
Так как
то для u получим уравнение 
или 
. Обозначим u2 = w, тогда для w получим уравнение 
.
Преобразуем теперь уравнение
Заменим в уравнении 
с учетом 
Кроме того, из
следует, что
Таким образом, получаем уравнение
С учетом 
получим, что это уравнение запишется в виде
или 
.
С учетом замены u2 = w получаем для функций w и η систему уравнений
(14)
(15)
Замечание 1. Система уравнений (9), (13) может быть преобразована к виду (14), (15) и несколько другим способом.
Положим, 
, тогда система уравнений запишется в виде
и 
Здесь опять использовано равенство 
Заменим во втором уравнении 
, тогда с учетом 
получим, что система этих уравнений запишется в виде
и 
Для того чтобы вывести уравнение для u, найдем div от обеих частей первого уравнения, тогда
Откуда получаем уравнение для u:
или 
Так как 
, то 
или, умножая обе части уравнения на u2, получим 
. Это уравнение является квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка относительно u.
Таким образом, для двух функций u, η получим систему из двух уравнений:
где 
Систему уравнений
и 
перепишем в виде
и 
Полагая w = u–2, снова получим систему уравнений (14)–(15).
Замечание 2. Систему уравнений (9), (13) можно упростить и по-другому, если сделать замену 
, тогда система уравнений запишется в виде
(16)
(17)
Методы решения системы уравнений (14), (15):
1. Метод простой итерации
Эту систему уравнений (14)–(15) можно решать, например, следующим методом последовательных приближений:
1. Пусть 
– некоторое начальное приближение к 
.
2. Определим w(0) как решение линейного уравнения переноса: 
.
3. Определим η(0) как решение линейного уравнения:
4. Определим 
по формулам
5. Проверим условие сходимости 
, где δ – заданная точность. Если условие сходимости выполняется, то принимаем 
, 
, 
, иначе полагаем 
и идем к п. 2
Замечание 3. Систему уравнений (16), (17) можно решать, например, методом последовательных приближений, аналогичным методу 5.1.
Метод линеаризации (Ньютона – Канторовича или Ньютона – Рафсона)
Систему уравнений (14), (15) можно решать методом линеаризации.
1. Пусть η(0), 
и w(0) некоторые начальные приближения к η, 
и w, причем
.
2. Определим η(1), 
, w(1) как решения системы линейных уравнений
причем 
.
3. Проверим условие сходимости
,
где δ заданная точность. Если условие сходимости выполняется, то принимаем
, 
, 
,
иначе полагаем η(0) = η(1), w(0) = w(1) и идем к п. 2.
Замечание 4. Метод линеаризации можно применить и к системе уравнений (16), (17).
Замечание 5. Для конкретной реализации предложенных выше методов решения необходимо определить границы ОПЗ и соответствующие краевые условия. Эти проблемы можно решить путем использования различных физических гипотез, либо с использованием условий сращивания.
Заключение
В работе предлагается асимптотическое представление решения краевой задачи для двумерных систем уравнений Нернста – Планка и Пуассона в области пространственного заряда. Рассмотрены различные численные методы решения уравнений асимптотического представления, в том числе метод простой итерации и метод линеаризации. При моделировании различных явлений, например, электроконвекции, в первую очередь важно знать решение в области пространственного заряда. Полученные выше результаты можно использовать при решении таких задач. В то же время результаты этой работы совместно с результатами работы [4] дают асимптотическое представление решения краевой задачи для системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона в основных областях, а именно в области электронейтральности и пространственного заряда.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и администрации Краснодарского края, гранты: № 13-08-93106-НЦНИЛ_а и 13-08-96525 р_юг_а.
Рецензенты:
Халафян А.А., д.т.н., доцент, профессор, Кубанский государственный университет, г. Краснодар;
Павлова А.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор, Кубанский государственный университет, г. Краснодар.
Библиографическая ссылка
Коваленко А.В. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НЕРНСТА – ПЛАНКА И ПУАССОНА В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 9-1. – С. 28-32;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38960 (дата обращения: 26.01.2025).