В работе [1] показано, как на основе метода последовательного исключения переменных в системе линейных неравенств [2, 3] можно находить точное аналитическое решение задачи линейного программирования, коэффициенты которой зависят от параметра. Однако даже в случае однопараметрической задачи с двумя переменными [1] решение может оказаться громоздким. В практических же задачах линейного программирования коэффициенты обычно незначительно изменяются относительно своих средних значений, как, например, стоимость товара в зависимости от курса валют или инфляции. В подобных случаях, когда относительные изменения коэффициентов порядка 10 % и меньше, удобно использовать широко применяемый в различных исследованиях асимптотический метод возмущений [4, 5]. Суть его сводится к поиску разложения искомых функций в функциональные ряды, быстрота сходимости которых зависит от «параметра малости» – относительного изменения функций, влияющих на задачу.
Итерационная схема решения
Рассмотрим в общем случае задачу на минимум, преобразованную к системе линейных неравенств [3]:
(1)
В задаче на максимум в первом неравенстве (1) следует поменять знак «≤» на «≥» [3].
Обозначим через
средние значения всех коэффициентов:
где, например, для непрерывных коэффициентов, зависящих от параметра t ∈ [0;1],
(2)
Пусть
означают отклонения этих коэффициентов от их средних значений:
Тогда средние значения отклонений равны нулю:
(3)
Далее предполагается, что все относительные отклонения, например, , достаточно малы (менее 10 %).
Будем искать Z и xi для системы (1) в виде рядов, состоящих из поправок соответствующего порядка:
(4)
Здесь и Z0 – решения (1), когда все коэффициенты равны своим средним значениям:
(5)
Для нахождения поправок первого порядка и Z1 подставляем в (1):
После раскрытия скобок получим
Относительные изменения первых поправок порядка относительного изменения коэффициентов. Зачёркнутые же слагаемые имеют второй порядок малости и поэтому должны быть отброшены [4]. Обозначим
– решение в первом приближении теории возмущений. Тогда последняя система неравенств перепишется в виде
(6)
У систем (5) и (6) одинаковые и постоянные коэффициенты при неизвестных. Отличаются только свободные члены. Поэтому обе системы решаются одинаково просто методом исключения [2, 3].
Для нахождения решения во втором приближении
подставляем эти суммы вместо xi и Z в (1). После отбрасывания слагаемых третьего порядка малости получим
(7)
Результаты (6), (7) нетрудно обобщить на любой порядок приближения р = 1, 2, …:
(8)
Следует только иметь в виду, что при достаточно больших р асимптотические ряды начинают расходиться [5]. Критерием возможности увеличения р может, например, служить среднее отклонение от
:
(9)
Если ∆p начинает увеличиваться, итерационный процесс следует закончить. Тогда максимальная достигнутая точность оценивается относительной погрешностью
(10)
для последнего р.
В векторной форме система (8) кратко выглядит так:
Средние значения и
можно также найти путём усреднения системы (8) с учётом (2) и (3):
В частности, при р = 1
Эта система в точности совпадает с (5). Поэтому
т.е. средние значения первого приближения совпадают с нулевым приближением.
При рассмотрении задачи на максимум Z следует во всех вышеприведённых неравенствах, содержащих Z, поменять знак неравенства с «≤» на «≥».
Пример
В работе [1] было найдено точное решение задачи:
с коэффициентами:
(11)
Решение таково:
x2 = 0. (12)
Усредняя (11) по формуле (2), находим
(13)
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение в нулевом приближении [1]:
(14)
Найдём решение в первом приближении. Для этого подставим в (6) значения (11), (13) и (14). Получаем систему неравенств:
где обозначено τ = t – 0,5, τ ∈ [–0,5; 0,5].
Решаем её табличным способом [1]:
Таким образом,
(15)
Подставляя затем (11), (13), (15) в (7), находим решение во втором приближении:
(16)
Сравним значения Zmin, рассчитанные по (12), (15), (16):
Их средние значения находим, усредняя (12), (15), (16) по формуле (2):
Оценим погрешности приближений (9), (10):
Отсюда видно, что если коэффициенты (11) при t ∈ [0;1] изменяются в пределах ±10 % по отношению к их средним значениям (13), то относительная погрешность конечного результата в первом приближении имеет тот же порядок малости. Во втором же приближении относительная погрешность результата порядка квадрата погрешности первого приближения, т.е. существенно меньше. Это согласуется с многочисленными другими задачами [4, 5].
Рецензенты:
Петров Л.Ф., д.т.н., профессор кафед_ры «Математические методы в экономике», ФГБОУ ВПО «РЭУ имени Г.В. Плеханова», г. Москва;
Титов В.А., д.э.н., профессор кафедры информационных технологий, ФГБОУ ВПО «РЭУ имени Г.В. Плеханова», г. Москва.
Библиографическая ссылка
Кравчук С.П., Кравчук И.С., Татарников О.В., Швед Е.В. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 5-2. – С. 299-303;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38211 (дата обращения: 17.08.2024).