Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

О ДИАГНОСТИКЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗ СТРУН ПО КОНЕЧНОМУ НАБОРУ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Ахтямов А.М. 1, 2 Аксенова З.Ф. 2
1 ФГБУН «Институт механики Уфимского НЦ РАН им. Р.Р. Мавлютова»
2 ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»
Рассматривается механическая колебательная система в виде графа из трех ребер-струн с одной общей вершиной. Струны графа являются однородными и имеют одинаковую длину. Все три тупиковых вершины графа упруго закреплены и в местах закрепления сосредоточены массы. Вся система колеблется, как батут. Решается задача определения значений коэффициентов жесткости пружинок и сосредоточенных масс по конечному числу собственных частот этой механической системы. Показывается, что 9 собственных частот достаточно для нахождения коэффициентов жесткости пружинок и сосредоточенных масс с точностью до перестановок закреплений на тупиковых концах механической системы местами. Находится метод решения этой обратной задачи, доказывается теорема и приводится соответствующий пример. Полученные результаты могут быть применены как для проектирования, так и для диагностики виброзащитных систем, а также условий заземления электрических сетей.
виброзащитные системы
собственные частоты
обратная задача
граф
электрические сети
условия заземления электрических сетей
1. Аксенова З.Ф., Ахтямов А.М. Акустическая диагностика сосредоточенных масс на концах струнного графа с упругим закреплением на концах // Вестник Башкирского университета. – 2014. – Т. 19, № 1. – С. 14–18.
2. Ахтямов А.М., Аксенова З.Ф. Восстановление сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа // В мире научных открытий. – 2013. – № 2.1 (38). – С. 56–67.
3. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. – М.: Физматлит, 2009. – 272 с.
4. Ахтямов А.М., Ямилова Л.С. Идентификация условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока // Электромагнитные волны и электронные система. – 2006. – Т. 11, № 2–3, – С. 15–17.
5. Валеев Н.Ф., Рабцевич С.А., Нугуманов Э.Р. О задаче определения параметров граничных условий оператора Штурма-Лиувилля по спектру // Вестник СамГУ. Серия: Естественнонаучная. – 2009. – № 6 (72). – С. 12–20.
6. Кадченко С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2013. – № 6 (107).
7. Какушкин С.Н. Математическое моделирование спектральной задачи об электрических колебаниях в протяженной линии методом регуляризованных следов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. – 2013. – Т. 6, № 3.
8. Капустин Н.Ю. О классической задаче с комплекснозначным коэффициентом и спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 10. – С. 1361–1367.
9. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. – М.: Наука, 1984. – 240 с.
10. Мартынова Ю.В. Модельная обратная спектральная задача для оператора Штурма–Лиувилля на геометрическом графе // Вестник Башкирского университета. – 2011. – Т. 16, № 1. – С. 4–10.
11. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. и д.р. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. – М.: Физматлит, 2004. – 272 с.
12. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. – 184 с.
13. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 384 с.
14. Benedek A.I., Panzone R. Problemas de contorno para equaciones differenciales ordinarias de sequndo orden con condiciones de borde dependientes del parametro spectral // Trab. Mat. Inst/ argent. mat, 1983. – № 53. – P. 1–21.
15. Kapustin N.Yu., Moiseev E.I. Spectral problems with the spectral parameter in the boundary condition // Differential Equations. – 1997. – Т. 33, № 1. – С. 116–120.

Целью настоящей статьи является восстановление сосредоточенных масс и коэффициентов жесткости пружин, сосредоточенных на тупиковых вершинах звездного струнного графа, по известному набору собственных частот колебаний этого графа. Дифференциальные операторы на графах часто возникают в естествознании и технике [11]. Прямые спектральные задачи решались в работах [6, 8, 15], так же решались обратные спектральные задачи (см., например, [9, 12, 14]), в том числе на графах [13]. Однако существенным отличием этих работ от данной является то, что коэффициенты дифференциальных уравнений и краевых условий восстанавливаются не по части спектра, а по нескольким спектрам и (или) по некоторым другим спектральным характеристикам. К тому же основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях. Идентификации краевых условий спектральных задач по собственным значениям в механических и электронных системах посвящена работа [3], однако рассмотренная нами задача там не изучалась. В [5] восстанавливались коэффициенты граничных условий оператора Штурма – Лиувилля по всему спектру (а не по конечному набору собственных частот). Близкая задача рассматривалась в работе [10], но для электрических систем. Это задача идентификации условий заземления через последовательно сосредоточенные самоиндукцию и емкости конденсатора. Восстанавливаются 6 параметров краевых условий по 6 собственным значениям, однако в этом случае получаются лишние решения, которых не будет, если известно большее число собственных значений задачи. В работах [1, 2, 3] восстанавливались только сосредоточенные массы или только жесткости пружинок на концах струнного графа, а не все параметры одновременно.

В данной работе рассматривается задача идентификации сосредоточенных масс и коэффициентов жесткости пружин, сосредоточенных на тупиковых вершинах звездного струнного графа по известному набору собственных частот. Из-за общности уравнений для электрических колебаний в проводе [4, 7] и механических колебаний струны результаты, представленные в данной работе для механической системы, справедливы и для подобной электрической системы. Для электрической сети сосредоточенным массам на концах струнного графа соответствуют индуктивности, а обратные величины коэффициентов упругости (жесткостей) пружин, закрепляющего концы графа, соответствуют емкостям.

Результаты, полученные в данной работе, позволяют получать механические системы с заданным спектром колебаний, проектировать виброзащитные системы, сохраняющие приборы от ударного воздействия, проводить диагностику таких систем, а также диагностировать условия заземления электрических сетей на участках, труднодоступных для визуального осмотра.

Постановка обратной задачи. Рассмотрим граф G в виде звезды из n ребер-струн с одним общим концом в нуле. Длина i-й струны равна li. Тупиковые концы струн упруго закреплены, причем каждая из струн может быть закреплена пружинками неодинаковой жесткости hi. В местах упругого закрепления подвешены-сосредоточены массы mi. Требуется определить сосредоточенные массы mi и коэффициенты жесткости пружин hi струнного графа по собственным частотам колебаний графа. Ниже для наглядности изложения этот метод решения приводится для случая n = 3.

Спектральная задача для каждого ребра колеблющегося графа имеет вид

ahtaym01.wmf 0 ≤ xi ≤ li, i = 1, 2, 3, (1)

где xi – расстояние от общего узла по оси OXi; y(xi) – вертикальные смещения c выходом из плоскости начального расположения струнного графа, а ahtaym02.wmf – спектральный параметр.

Точка O (xi = 0) является свободной (подвижной). Условия в точке О имеют вид [3]

ahtaym03.wmf (2)

ahtaym04.wmf (3)

Краевые условия на тупиковых вершинах таковы:

ahtaym05.wmf i = 1, 2, 3. (4)

Формулы (2) выражают условия непрерывности, а (3) – баланс сил, действующих на общую вершину графа (точку О – узел) со стороны каждого из примыкающих к узлу ребер, условия (4) – условия упругого закрепления ребер (струн) с сосредоточенными массами.

Математически в терминах введенных обозначений сформулируем постановку задачи.

Постановка задачи: Пусть li = 1 (i = 1, 2, 3). Требуется найти hi и mi по известному набору собственных значений sk задачи (1)–(4).

Метод введения дополнительных неизвестных. Перед решением этой обратной задачи напомним, как решается прямая задача нахождения собственных значений.

Решением уравнения (1) является следующая функция:

ahtaym06.wmf (5)

где ci1 и ci2 – произвольные константы. Подставляя функции (5) в (2)–(4) соответственно, получим, что собственные значения sk задачи (1)–(4) находятся из частотного уравнения

ahtaym07.wmf

i = 1, 2, 3. (6)

Изложим теперь метод решения обратной задачи. Система уравнений (6) при s = sk (k = 1, 2, ...,) является нелинейной относительно неизвестных hi (i = 1, 2, 3) и mi (i = 1, 2, 3). И если для определения 6 неизвестных hi и mi использовать также 6 собственных значений, то, как правило, помимо диагностируемых данных окажутся и другие лишние решения. Система может иметь 6! = 720 наборов решений, из которых достаточно трудоемко исключить лишние решения. Но при решении вышеуказанной задачи машина зависает при расчете, поскольку нужно выдать 720 вариантов наборов 6 параметров. Поэтому для решения этой задачи предложен следующий численный метод – метод введения дополнительных неизвестных. С помощью введения дополнительных неизвестных приведем уравнение (6) к линейному виду:

ahtaym08.wmf (7)

где ahtaym09.wmf ahtaym10.wmf ahtaym11.wmf

ahtaym12.wmf ahtaym13.wmf ahtaym14.wmf

ahtaym15.wmf ahtaym16.wmf ahtaym17.wmf (8)

ahtaym18.wmf ahtaym19.wmf

ahtaym20.wmf ahtaym21.wmf

ahtaym22.wmf ahtaym23.wmf

ahtaym24.wmf ahtaym25.wmf

ahtaym26.wmf ahtaym27.wmf (9)

Функции f0(s), f1(s), f2(s), f3(s), f4(s), f5(s), f6(s), f7(s), f8(s), f9(s) являются линейно независимыми функциями аргумента s (по определению линейной независимости функций).

Пусть s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9 – собственные значения задачи (1)–(4) подставим их в (7). В результате получим систему девяти линейных уравнений от девяти неизвестных {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9}:

ahtaym28.wmf, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (10)

Из правил Крамера следует, что если определитель матрицы

ahtaym29.wmf (11)

системы уравнений (10) отличен от нуля, то неизвестные {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9} находятся единственным образом по формулам ahtaym30.wmf (j = 1, 2, ..., 9), где Dj – определитель матрицы, получаемый заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если s1, s2, ..., s9 являются точными собственными значениями краевой задачи (1)–(4), D ≠ 0, то система (10) имеет единственное решение {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9}, определяемое по формулам Крамера ahtaym31.wmf (j = 1, 2, ..., 9), а значения коэффициентов жесткости пружинок h1, h2, h3 и сосредоточенных масс m1, m2, m3 находятся с точностью до перестановок закреплений на тупиковых концах механической системы местами по формулам (8).

Пример. Пусть

s1 = 0.5351947856; s2 = 0.7209194738;

s3 = 1.7077687399; s4 = 3.2007784617;

s5 = 4.7562882600; s6 = 6.312233015;

s7 = 7.8802149625; s8 = 9.4440741650;

s9 = 11.0142910657

являются собственными значениями краевой задачи L и длины струн l1 = l2 = l3 = 1. Требуется найти h1, h2, h3, m1, m2, m3.

Решая систему линейных уравнений (7), получим

x1 = 6.00012454515180; x2 = 11.0002292716576; x3 = 6.00012584636183;

x4 = 15.0002729440572; x5 = 74.0013465243788; x6 = 120.002183553839;

x7 = 58.0011800634226; x8 = 51.0010534591865; x9 = 138.002713340072.

Подставляя {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9} в (8), получим 36 наборов решений, из которых только 6 наборов являются искомыми:

1. {h1 = 3.00027942412555, h2 = 1.00001056019994, h3 = 1.99983456082631,

m1 = 6.00196131492730, m2 = 4.00058303446869, m3 = 4.99772859466121};

2. {h1 = 1.99983456082631, h2 = 1.00001056019994, h3 = 3.00027942412555,

m1 = 4.99772859466121, m2 = 4.00058303446869, m3 = 6.00196131492730};

3. {h1 = 3.00027942412555, h2 = 1.99983456082631, h3 = 1.00001056019994,

m1 = 6.00196131492730, m2 = 4.99772859466121, m3 = 4.00058303446869};

4. {h1 = 1.00001056019994, h2 = 1.99983456082631, h3 = 3.00027942412555,

m1 = 4.00058303446869, m2 = 4.99772859466121, m3 = 6.00196131492730};

5. {h1 = 1.99983456082631, h2 = 3.00027942412555, h3 = 1.00001056019994,

m1 = 4.99772859466121, m2 = 6.00196131492730, m3 = 4.00058303446869};

6. {h1 = 1.00001056019994, h2 = 3.00027942412555, h3 = 1.99983456082631,

m1 = 4.00058303446869, m2 = 6.00196131492730, m3 = 4.99772859466121}.

Итак, закрепления на тупиковых концах механической системы мы можем восстановить с точностью до перестановок их местами по 9 собственным значениям, используя новый метод – метод введения дополнительных неизвестных. В то время как если рассматривать граф из трех струн и восстанавливать одновременно и сосредоточенные массы и коэффициенты жесткости пружинок (6 параметров) на концах струнного графа по 6 собственным значениям, то получим 6! или 720 наборов решений, из которых достаточно трудоемко исключить лишние решения. И при решении задачи машина зависает при расчете, поскольку нужно выдать 720 вариантов наборов 6 параметров.

Рецензенты:

Спивак С.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического моделирования, ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», г. Уфа;

Султанаев Я.Т., д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник лаборатории «Механика твердого тела», ФГБУН «Институт механики им. Р.Р. Мавлютова» Уфимского научного центра Российской академии наук, г. Уфа.


Библиографическая ссылка

Ахтямов А.М., Ахтямов А.М., Аксенова З.Ф. О ДИАГНОСТИКЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗ СТРУН ПО КОНЕЧНОМУ НАБОРУ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 5-1. – С. 27-31;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38002 (дата обращения: 23.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074