Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

ОБ УДОВЛЕТВОРЕНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ МЕТОДОМ БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА

Кротов Е.А. 1 Терентьев А.В. 1
1 СПбГМТУ «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
Проведен анализ различных форм тонких осесимметричных оболочек вращения при разных граничных условиях с целью нахождения функций перемещений, удовлетворяющих условиям закрепления. Учитывалась нелинейная взаимосвязь между перемещениями и деформациями, соответствующая нелинейной теории. Построены базисные функции, удовлетворяющие граничным условиям как для перемещений и усилий, так и для их линейных комбинаций. Рассмотрены замкнутая и незамкнутая в вершине оболочки вращения. Полученные базисные функции представляют полиномиальную зависимость от координат. Базисные функции не ортогональны, но обладают свойством полноты и построены в виде, который позволяет производить не только численное, но и аналитическое интегрирование, то есть можно рекомендовать эти функции для решения задач теории оболочек с использованием метода Бубнова-Галеркина.
базисные функции
нелинейная теория
метод Бубнова-Галёркина
замкнутая и незамкнутая в вершине оболочка вращения
1. Ворович И.И., Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола // Прикладная математика и механика, 1968. – № 2. – C. 332–338.
2. Жилин П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек. – СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. – 167 с.
3. Ивлев В.В. Математический анализ. Функции многих переменных. – М.: Икар, 2013. – 548 с.
4. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. – М.: Мир, 1988. – 353 с.
5. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Механика твердого тела. – 1968. – № 1. – С. 56–62.

Основным требованием, предъявляемым к численному методу исследования конкретной конструкции, является оптимальное сочетание ее простоты (наглядности, простоты реализации и т.п.) и эффективности (достижения хорошей точности при возможно меньших затратах вычислительного времени). То есть везде, где это возможно, надо использовать более простой метод [1].

Оболочки вращения, используемые в машиностроении, обладают той особенностью, что в основном образующая их имеет плавные очертания, и они подвержены действию плавной нагрузки. В этих условиях может быть эффективен метод Бубнова-Галеркина, который описан в [4] и используется для анализа деформации ряда конкретных оболочек.

Основным препятствием для применения метода Бубнова-Галеркина в геометрически нелинейных задачах теории тонких оболочек [2] является необходимость подбора базисных функций, удовлетворяющих нелинейным граничным условиям.

Остановимся на формулировке возможных типов граничных условий для оболочек вращения, которые первоначально были представлены в [1]. Поскольку система уравнений в неизвестных перемещениях w и t = R1θ1 = u – w´, (здесь u и w – тангенциальное и нормальное перемещения соответственно, R1 – радиус кривизны, θ1 – угол поворота) имеет шестой порядок, то необходимо иметь шесть граничных условий.

На контурах оболочки должны быть заданы величины u или T1 (тангенциальное усилие) и w или N1 (поперечное усилие) и θ1 или M1 (изгибающий момент) (если контур один, то используется условие симметричности при равенстве нулю угла поворота касательной к координатной линии θ = 0). Каждый из этих шести параметров должен либо равняться нулю, либо иметь конечное значение, либо может выражаться через соответствующее перемещение. Поэтому на одном контуре оболочки в общем случае может быть осуществлен один из 27 типов условий:

u = В∙T1 (В = 0, В, ∞)

w = A∙N1 (A = 0, A, ∞)

θ1 = ℘∙M1 (℘ = 0, ℘, ∞). (1)

При этом первое условие из (1) A = 0, B = 0, ℘ = 0 отвечает условию симметричности относительно оси θ = 0 для замкнутой в вершине оболочки вращения.

В общем случае на границе могут быть заданы не сами перемещения u и w, усилия T1 и N1, а их линейные комбинации. Покажем, что в этом случае задача отыскания базисных функций будет также сведена к нахождению их для указанных 27 условий или их комбинаций.

krot1.wmf

Направления внутренних усилий в точке с координатой θ0

Допустим, что граничные условия выписаны согласно рисунку для линейных комбинаций усилий и перемещений, т.е. для величин

kr05.wmf,

kr06.wmf,

kr07.wmf,

kr08.wmf. (2)

где ξ = ξ(ρ) – угол между касательной к срединной поверхности оболочки в данной точке и прямой β:

kr09.wmf (3)

Считаем, что функции, удовлетворяющие условиям для функций kr10.wmf, получены (это условия (1)). Тогда, считая T1, N1, u, w за неизвестные функции, найдем их из (2):

kr11.wmf,

kr12.wmf,

kr13.wmf,

kr14.wmf. (4)

Таким образом, отыскание базисных функций для случая, когда граничные условия заданы линейной комбинацией u и w, N1 и T1, сводится к отысканию этих функций для условий (1).

Если получение функции ξ = ξ(ρ), входящей в (4) в качестве аргумента тригонометрической функции, по каким-либо причинам затруднительно, то можно применять:

а) для замкнутой в вершине оболочки вращения следующее выражение:

kr15.wmf (5)

поскольку условия (3) тогда будут выполнены,

б) для незамкнутой в вершине оболочки, имеющей два контура, ξ(ρ0) = α0

kr16.wmf.

Итак, для всего многообразия граничных условий достаточно иметь базисные функции для 27 случаев (1) при рассмотрении замкнутой в вершине оболочки, и 351 (kr17.wmf) случаев для незамкнутой в вершине оболочки.

Для решения задачи методом Бубнова-Галеркина функции u, w и t представим в следующем виде:

kr20.wmf. (6)

Дальнейшая цель работы заключается в подборе ui, wi, ti для различных типов закрепления края в случае осесимметричного нагружения оболочки вращения с учётом нелинейной связи между деформациями и перемещениями, предложенной Л.А. Шаповаловым в [5].

Подбор функций ui, wi, ti гораздо проще осуществляется для замкнутой в вершине оболочки вращения (типа купола), имеющей один граничный контур, чем для оболочки незамкнутой с двумя граничными контурами. Это связано с тем, что удовлетворить условиям симметричности (в первом случае) при ρ = 0 проще, чем на границе (во втором) при фиксированном конечном значении координаты ρ = ρ0. В связи с этим рассмотрим два случая.

Замкнутая в вершине оболочка вращения

1. Для всех видов закрепления опорного контура такой оболочки базисные функции должны удовлетворять одним и тем же условиям симметричности (при ρ = 0):

u = 0, t = 0, N1 = 0. (7)

При этом третье из условий (7) в перемещениях принимает вид

t´´ = 0 при ρ = 0. (8)

Условие (8) получается после записи выражения для поперечного усилия N1

kr21.wmf (9)

и нахождения kr22.wmf с применением правила Лопиталя, описанного в [3] для неопределённостей kr23.wmf.

2. Рассмотрим оболочку, имеющую следующее закрепление опорного контура (при ρ = 1):

u = 0, N1 = w/A, M1 = t/℘R1,

w ≠ 0, t ≠ 0. (10)

Третье из условий (10) после подстановки выражения для M1 и ряда преобразований принимает вид

kr25.wmf (11)

где

kr26.wmf

kr27.wmf kr28.wmf

kr29.wmf kr30.wmf kr31.wmf (12)

Здесь h – толщина оболочки; E – модуль Юнга, v – коэффициент Пуассона.

Второе условие (10) после подстановки выражений для усилий и несложных преобразований принимает вид

kr32а.wmf

kr32b.wmf (13)

где

kr33.wmf kr34.wmf kr35.wmf kr36.wmf

kr37.wmf kr38.wmf kr39.wmf kr40.wmf kr41.wmf

kr42.wmf (14)

Будем искать выражения для функций wi и θi в виде

kr43.wmf kr44.wmf kr45.wmf (15)

где λi, βi, kr46.wmf – константы.

Легко убедиться непосредственной подстановкой, что функции (15) удовлетворяют всем условиям симметричности (условие kr47.wmf накладывает лишь ограничение на kr48.wmf а также граничным условиям u = 0, t ≠ 0 при ρ = 1 (условие kr49.wmf накладывает ограничение на kr50.wmf).

Остаётся убедиться, что существуют значения λi и βi, отличные от 1, при которых и условия (11) и (13) были бы удовлетворены. После подстановки (15) в (11) и (13) и преобразований, получаем

kr51.wmf

kr52.wmf (16)

где

kr53.wmf

kr54.wmf

kr55.wmf (17)

В общем случае, λi и βi отличны от 1, значит, функции (15) удовлетворяют всем граничным условиям и действительно являются искомыми.

3. Рассмотрим ряд важных частных случаев, имеющих предельный для A и ℘ характер.

a) A = 0. Тогда a1 = –1/(AC) → ∞ при ρ → 1, а

kr57a.wmf

kr57b.wmf (18)

Решение в функциях (15) существует.

б) A = ∞. В этом случае a1 = 0. Подставляя a1 в (17), находим βi. Решение существует.

в) ℘ = ∞. Тогда kr59.wmf Подставляя это выражение в (12), получим m1. Решение существует.

г) ℘ = 0. Тогда m1 =∞, kr61.wmf при ρ → 1, а ti → ∞. Неприводимый случай. Использовать для него функции (15) нельзя.

4. Рассмотрим ещё два важных случая закрепления граничного контура оболочки, замкнутой в вершине.

4.1. Пусть мы имеем абсолютно жёсткую заделку, то есть при ρ = 1

u = 0, w = 0, t = 0. (19)

Можно решать эту задачу, используя следующие базисные функции:

kr62.wmf

kr63.wmf kr64.wmf (20)

В том, что они удовлетворяют всем граничным условиям, легко убедиться непосредственной подстановкой.

4.2. Пусть мы имеем закрепление типа «скользящей заделки», т.е. при ρ = 1

w = 0, t = 0, T1 = 0, u ≠ 0. (21)

Третье условие (21) эквивалентно следующему:

kr65.wmf при ρ = 1. (22)

Эту задачу можно решать, используя следующие базисные функции:

kr66.wmf

kr67.wmf kr68.wmf (23)

где

kr69.wmf kr70.wmf

Функции (23) удовлетворяют всем условиям (21), (22) и (7), (8).

Незамкнутая в вершине оболочка вращения

Приведём здесь результаты лишь для одного варианта закрепления, а именно:

при ρ = ρ0(0 < ρ0 < 1) и ρ = 1:

w = 0, t = 0, T1 = 0, u ≠ 0. (24)

Можно решать эту задачу, используя следующие базисные функции:

kr71.wmf

kr72.wmf (25)

где

kr73.wmf

kr74.wmf

kr75.wmf (26)

kr76.wmf kr77.wmf

kr78.wmf

kr79.wmf

kr80.wmf

kr81.wmf kr82.wmf kr83.wmf kr84.wmf

Функции (25) удовлетворяют всем граничным условиям (24).

Выводы

Все предложенные базисные функции представляют собой полиномы различных степеней. Система функций обладает свойством полноты, поскольку функции линейно независимы из-за различных степеней полиномов. Функции не ортогональны, но интегралы от них и их произведений не обладают никакими особенностями, просты и легко берутся как аналитически, так и численно. В силу этого можно рекомендовать эти функции для решения задач теории оболочек с использованием метода Бубнова-Галеркина.

Рецензенты:

Картузов Е.И., д.т.н., профессор кафедры теоретической механики Санкт-Петербургского государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург;

Сорокин С.В., д.т.н., профессор кафедры сопротивления материалов Санкт-Петербургского государственного морского технического университета, г. Санкт-Петербург.

Работа поступила в редакцию 01.04.2015.


Библиографическая ссылка

Кротов Е.А., Терентьев А.В. ОБ УДОВЛЕТВОРЕНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ МЕТОДОМ БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 2-13. – С. 2840-2845;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=37571 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674