Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УРОВНЯ ВОДЫ В РЕКЕ ГОРНОГО ТИПА (НА ПРИМЕРЕ РЕКИ МЗЫМТА)

Семенчин Е.А. 1 Титов Н.Г. 1 Кузякина М.В. 1 Лебедев К.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»
Некоторые реки Краснодарского края являются реками горного типа. Реки данного типа обладают крутым падением водотока (угол наклона течения) и площадью водосбора, отличающейся от рек равнинного типа своей подстилающей поверхностью. Такие особенности реки делают невозможным использование ранее разработанных математических моделей для рек горно-равнинного типа. В данной статье предлагаются две математические модели прогнозирования уровня воды в реках горного типа. Первая модель позволяет производить прогноз с помощью рассчитанного уравнения линейной регрессии, описывающего изменения уровня воды в русле горной реки Мзымта; другая – производить прогноз уровня воды, основываясь на математической модели созданной на основе нейронной сети архитектуры многослойного персептрона. Также в статье проведено сравнение полученных математических моделей.
математическое моделирование
регрессионный анализ
метод наименьших квадратов
нейронные сети
прогнозирование
многослойный персептрон
метод обратного распространения
паводковые ситуации
1. Статистическое моделирование и прогнозирование [под ред C.A. Гранборга]. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 383 с.
2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 1984. – 248 с.
3. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: ир, 1975. – 375 с.
4. Титов Н.Г., Семенчин Е.А., Об оценке коэффициентов в уравнении линейной регрессии, описывающем изменения уровня воды в русле горной реки // Известия Кубанского государственного университета. Естественные науки. – 2013. – № 1(2). – С. 49–51.
5. Медведев В. С., Потемкин В.Г. Нейронные сети. – М.: Диалог МИФИ, 2002. – 496 с.
6. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.
7. Титов Н.Г., Семенчин Е.А., Лебедев К.А., Прогноз уровня воды в реке горного типа с помощью нейронной сети имеющей архитектуру многослойного персептрона // Современные концепции научных исследований: матер. IV международной научно-практич. конф. (Москва, 25 июля 2014 г.). – М., 2014. – № 4 (2) – С. 149–152.
8. Халафян А.А. Статистический анализ данных. STATISTICA 6.0. – Краснодар: Изд-во КубГУ, 2003. – 191 с.

На территории Краснодарского края находится немало рек, которые следует отнести к рекам горного типа. В основном эти реки протекают в горных районах Сочи – Туапсе. Рекам такого типа свойственны высокая скорость течения и резкое изменение уровня воды в русле за счет обильных осадков, ледникового и снегового питания, что не так характерно для рек равнинного и горно-равнинного типов. Как показывают вычислительные эксперименты, методики, описывающие изменения уровня воды в руслах рек равнинного и горно-равнинного типов, не применимы для описания изменения уровня воды в руслах рек горного типа. В данной статье предлагается анализ двух математических моделей прогнозирования уровня воды в реках горного типа. Первая модель позволяет производить прогноз с помощью рассчитанного уравнения линейной регрессии, описывающего изменения уровня воды в русле горной реки Мзымта; другая – производить прогноз уровня воды, основываясь на математической модели, созданной на основе нейронной сети архитектуры многослойного персептрона.

Цель работы – апробировать ранее разработанную математическую модель прогноза уровня воды в реке горного типа на основе уравнения линейной регрессии на промежутке времени в один год; апробировать ранее разработанную математическую модель прогноза уровня воды в реке горного типа на основе построенной нейронной сети архитектуры многослойного персептрона на промежутке времени в один год; провести анализ полученных результатов методами математической статистики и на основе данного анализа выбрать математическую модель, высчитывающую наиболее приближенный к реальному значению будущий уровень воды в реке горного типа.

Оценка коэффициентов в уравнении линейной регрессии,
описывающем изменения уровня воды в русле горной реки

Предположим, что значения уровня воды в реке на момент времени ti совпадают со значениями функции [4].

semen01.wmf (1)

где y(ti) – прогнозируемый уровень воды в створе данной реки в районе гидрологического поста, x1(ti–5), x1(ti–4), x1(ti–3), x1(ti–2), x1(ti–1) – уровень воды в моменты ti–5, ti–4, ti–3, ti–2, ti–1 соответственно, x2(ti–5), x2(ti–4), x2(ti–3), x2(ti–2), x2(ti–1) – количество осадков, выпавших в соответствующие моменты времени в окрестности русла горной реки. Пусть соотношение (1) определяет математическую модель процесса изменения уровня воды в реке горного типа.

Пусть функция (1) является линейной:

semen02.wmf (2)

где a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, b1 – некоторые постоянные.

На основе статистических данных, взятых из гидрологических бюллетеней за 2010 год по реке Мзымта, методами регрессионного анализа [1] были вычислены в статье [4] значения коэффициентов и свободного члена в (2) (табл. 1).

Согласно данным, приведенным в табл. 1, функция (2) (регрессионная модель) имеет вид

semen03.wmf (3)

Таблица 1

Значения коэффициентов и свободного члена в регрессионной модели (2)

Наименование
коэффициента

Значение
коэффициента

b

3,014

a1

0,047

a2

0,031

a3

–0,155

a4

0,236

a5

0,830

a6

0,005

a7

–0,038

a8

–0,313

a9

0,166

a10

0,214

 

Точность оценки прогноза значений y(ti) определяется числовыми значениями характеристик регрессионной модели (3), приведенными в табл. 2, коэффициентом детерминации [3]

semen04.wmf (4)

и значением критерия Фишера [3]

semen05.wmf (5)

где n – размер выборки (количество проведенных замеров); k – число коэффициентов модели (3); yi – наблюдаемое значение y(t); semen06.wmf – значение y(ti) вычисленное с помощью уравнения регрессии (3) в момент ti, i = 6, 7, ..., n; semen07.wmf – среднее значение y(ti), вычисленное на основе статистических данных.

 

Таблица 2

Характеристики регрессионной модели (2)

R2

0,971

Нормированное значение R2

0,970

Стандартная ошибка σ

10,217

Количество наблюдений n

545

F-критерий Фишера

1808

Если F превышает некоторое критическое значение Fкр, определяемое по таблице значений F-критерия Фишера при заданных n, k и заданной доверительной вероятности, а величина R2 близка к 1, то значение y(ti), вычисленное по формуле (3), с вероятностью, близкой к 1, совпадает с экспериментальными данными. Согласно статистическим данным и допущениям, указанным выше, Fкр = 10,534, α = 0,95, n = 545, k = 10, R2 = 0,97131498, F = 1808.

Так как F > Fкр (1808 > 10,534, т.е. значение F во много раз превышает Fкр), то с вероятностью 0,95 при стандартной ошибке σ = 10,217 значения y(ti) совпадают с реальными значениями y(ti), i = 6, 7, ..., n [2].

На рис. 1 приведены графики значений y(ti), построенные на основе статистических данных и значений регрессионной модели (3). Из этих графиков видно, что прогнозируемые с помощью (3) значения y(ti) несущественно отличаются от статистических данных.

pic_13.tif

Рис. 1. Графики значений y(t), построенные
на основе статистических данных регрессионной модели (3)

Прогнозирование уровня воды в реке горного типа на основе нейронной сети, имеющей архитектуру многослойного персептрона

Для разработки нейронной сети, позволяющей построить прогноз уровня воды в русле горной реки, с архитектурой многослойного персептрона и последующего ее обучения были использованы статистические данные о метеоусловиях на гидрологическом посту, расположенном на реке Мзымта, предоставленные Краснодарским центром гидрометеорологии и мониторинга окружающей среды. Использовался пакет прикладных программ Statistica 6.1 [8].

Обучение производилось с помощью метода обратного распространения, основной идеей которого является распространение сигналов ошибки от выходов сети к её входам в направлении, обратном прямому распространению сигналов в обычном режиме работы.

Архитектура построенной согласно (1) нейронной сети для прогноза паводков в русле указанной реки определяется как многослойный персептрон (трехслойный), имеющий на первом слое 8 нейронов, на втором – 5, на третьем – 1 [7]. Данная архитектура представлена в виде упрощенной схемы на рис. 2.

pic_14.tif

Рис. 2. Схема работы нейронной сети архитектуры трехслойного персептрона:
8 – входных сигналов, изображенных кругами; 8 – синапсов первого слоя, изображенных треугольниками; 5 – синапсов второго слоя, изображенных квадратами;
1 – синапс третьего слоя, изображенный прямоугольником; 1 – выходной сигнал, изображенный кругом

Таблица 3

Значения весов на слое 1

Вес синапса

Значение веса синапса

w1

0,181

w2

–1,136

w3

–0,568

w4

–0,657

w5

–0,987

w6

0,045

w7

0,033

w8

–0,006

w9

0,038

w10

–0,316

w11

–0,237

w12

0,619

w13

–0,396

w14

–0,078

w15

–0,609

w16

–0,434

w17

0,249

w18

0,344

w19

–0,442

w20

–0,942

w21

0,026

w22

0,780

w23

0,818

w24

0,155

w25

0,667

w26

0,236

w27

–0,376

w28

–0,372

w29

–0,582

w30

–0,069

w31

–0,502

w32

–0,775

w33

1,323

w34

–0,059

w35

0,321

w36

0,655

w37

0,512

w38

–0,300

w39

–0,709

w40

–1,127

В каждый нейрон подаются входные значения xi с некоторой поправкой wi(xi), затем сумма w1(x1) + w2(x2) + w3(x3) поступает на передаточную функцию

f(w1(x1) + w2(x2) + w3(x3)),

где wi(xi), i = 1, 2, 3 принято называть соответственно входными дендритами и синапсами [5].

Описанная нейронная сеть использует алгоритм обучения обратного распространения, который использует несколько слоев нейронов, связанных между собой. Задача обучения нейронной сети сводится к нахождению функциональной зависимости y = f(x). Для сужения области поиска необходимых весов необходимо уменьшить функцию ошибки нейронной сети. Это достигается с помощью метода обратных квадратов [6]:

semen08.wmf

где dj – целевое значение j-го выхода; p – число нейронов в выходном слое.

Вторым этапом обучения нейронной сети являлось обучение методом градиентного спуска. Каждая итерация сопровождалась изменением веса по формуле [6]:

semen09.wmf

где η – параметр, определяющий скорость обучения.

Полученные в результате обучения веса представлены в табл. 3, 4.

 

Таблица 4

Значения весов на слое 2

Вес синапса

Значение веса синапса

w1

0,277

w2

–1,017

w3

0,846

w4

–0,316

w5

0,634

 

Таблица 5

Характеристики нейронной сети

Производительность обучения

0,388

Контрольная производительность

0,306

Тестовая производительность

0,574

Ошибка обучения

0,061

Контрольная ошибка

0,050

Тестовая ошибка

0,081

Стандартная ошибка σ

8,694

Для обучения описанной нейронной сети были использованы данные об уровне воды и количестве осадков в реке Мзымта за январь-декабрь 2010 года. Характеристики построенной нейронной сети приведены в табл. 5.

pic_15.wmf

Рис. 3. Графики значений y(t), построенные
на основе статистических данных с помощью нейронной сети

pic_16.tif

Рис. 4. График ошибок

На рис. 3 приведены графики значений y(t), построенные на основе статистических данных и значений, полученных с помощью нейронной сети. Из этих графиков видно, что прогнозируемые значения y(ti) несущественно отличаются от статистических данных.

Выводы

Сравнивая полученные результаты, можно сделать следующие выводы. Оба предложенных в статье метода дают адекватный результат. Однако метод, основанный на регрессионном анализе, показывает большую стандартную ошибку (10,21772 > 8,693615) по сравнению с методом, основанным на использовании нейросетевых технологий. Визуализация полученных результатов, представленная на рис. 1, 3, 4, подтверждает проведен-
ные расчеты.

Рецензенты:

Халафян А.А., д.т.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар;

Уртенов М.А.Х., д.ф.-м.н., зав. кафедрой прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»,
г. Краснодар.

Работа поступила в редакцию 19.12.2014.


Библиографическая ссылка

Семенчин Е.А., Титов Н.Г., Кузякина М.В., Лебедев К.А. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УРОВНЯ ВОДЫ В РЕКЕ ГОРНОГО ТИПА (НА ПРИМЕРЕ РЕКИ МЗЫМТА) // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 12-5. – С. 952-957;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=36255 (дата обращения: 25.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074