Полутелом называется алгебраическая структура S с бинарными операциями сложения (+) и умножения (·) такая, что 〈S, ·〉 − группа, 〈S, +〉 − коммутативная полугруппа и умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Полутело с коммутативным умножением называется полуполем. Основные понятия теории полутел можно найти в [1].
Кольцом разностей полутела S называется пара 〈R, f〉, где R − кольцо и f : S → R − полукольцевой гомоморфизм, удовлетворяющий условию универсальности: для любого гомоморфизма g: S → T, где T − кольцо, существует единственный кольцевой гомоморфизм h: R → T, такой, что h ◦f = g. Любое полутело S имеет кольцо разностей, однозначно определенное с точностью до изоморфизма над S. Заметим, что кольцо R = {0} − нулевое в том и только в том случае, когда полутело S − зероидное, то есть a + b = a для некоторых a, b ∈ S [2].
Полутело с аддитивным сокращением a + c = b + c ⇒ a = b называется сократимым полутелом. Кольцом разностей сократимого полутела S является кольцо R(S), содержащее S в качестве подполукольца, для которого R(S) = S − S (здесь f − тождественное вложение S в R(S)).
Конгруэнцией на полутеле S называется любое отношение эквивалентности ρ на S, согласованное с операциями:
aρb, cρd ⇒ (a + c)ρ(b + d), (ac)ρ(bd) (∀a, b, c, d ∈ S).
Ядром полутела называется класс единицы 1 произвольной конгруэнции на нем. Нетривиальное полутело называется ограниченным, если оно как ядро порождается элементом 2 = 1 + 1.
Множество Con S всех ядер полутела S замкнуто относительно операций умножения и пересечения и образует полную модулярную алгебраическую решетку, которая изоморфна решетке всех конгруэнций полутела S по отношению включения.
Центром полутела S называется множество его элементов, коммутирующих с любым элементом из S. Легко видеть, что центр полутела S является подполутелом в S.
Пусть 〈J, ≤〉 – некоторое локально конечное упорядоченное множество, S – произвольное полутело и 〈R, f〉 – кольцо разностей для S.
Определим матричное полутело TJ(S) следующим образом. Множество TJ(S) состоит из всех таких обобщенных матриц A = (aij)J×J, что aij ∈ R для любых i ≠ j из J, aii ∈ S при i ∈ J и aij = 0, если неверно, что i ≤ j. [3]
Сложение матриц производится поэлементно. Для матриц (aij)J×J и (bij)J×J их произведение имеет вид (cij)J×J, где при i ≤ j и cij = 0 в противном случае. При этом aiibik ∈ S для k = i и aiibik = f(aii)bik ∈ R для k > i.
Теорема 1. 〈TJ(S), +, ⋅〉 – полутело, которое будет сократимым тогда и только тогда, когда S сократимо.
Примеры.
1. Если J = {1 < 2 < … < n} – n-элементная цепь, то TJ(R+) = Vn(R+) – полутело верхних треугольных матриц размерности n×n c действительными коэффициентами, все диагональные элементы которого положительны [4, 5].
Кольцо Mn(R+) всех верхних треугольных матриц n-го порядка с действительными элементами с обычными операциями сложения и умножения матриц является кольцом разностей сократимого полутела Vn(R+).
2. TN(R+) – полутело бесконечных верхних треугольных матриц с действительными коэффициентами.
3. Если J – антицепь, то TJ(S) – полутело обобщенных диагональных матриц, изоморфное степени полутела S:TJ(S) ≅ SJ.
Рассмотрим основные свойства полутела верхних треугольных матриц.
Теорема 2. TJ(R+) = Vn(R+) – ограниченное полутело.
Доказательство. Рассмотрим элемент
Покажем, что в главном ядре (2) содержится любой элемент из полутела Vn(R+), то есть любая верхняя треугольная матрица вида
при ri > 0. Существует такое натуральное m, что Имеем Am = 2m ∈ (2) и A–m = 2m ∈ (2). Тогда
и
A-m + (X - A-m) = X и X + (Am - X) = Am.
Значит, A-m ≤ X ≤ Am и, по свойству порядковой выпуклости ядер [1], любая матрица X Vn(R+) включена в ядро (2). Получили, что Vn(R+) = (2) - ограниченное полутело. Теорема доказана.
На полуполе R+ существует ровно два ядра. Этими ядрами являются {1} и само R+. Действительно, рассмотрим произвольное ядро K в R+, K ≠ {1}. Пусть a ≠ 1, a > 1, a K. Возьмем c R+. $n N такой, что a-n < c < an, при этом a-n, an K. Тогда по свойству порядковой выпуклости ядер c K. И поэтому R+ K и K = R+.
Значит, полуполе R+ имеет ровно два ядра: {1} и R+.Предложение 1. На полутеле верхних треугольных матриц второго порядка V2(R+) существует ровно пять ядер.
Доказательство.
Имеем
Его ядрами являются
Пусть K произвольное ядро на полутеле V2(R+). Покажем, что оно совпадает с одним из пяти указанных ядер.
Пусть . Докажем, что тогда K = V2(R+).
Существует l ∈ N al > 2.
Существует m ∈ N (c′)m > 2.
Тогда
Пусть Тогда найдется n ∈ N, для которого
и
. Поэтому C–n < X < Cn ⇒ X ∈ K, но Cn – X ∈ V2(R+) и X – C–n ∈ V2(R+). Поскольку C–n, Cn ∈ K, то по свойству порядковой выпуклости ядер X ∈ K. Значит, K = V2(R+).
K ⊆ K1.
Если
где c ≠ 1 или c = 1 ∧ b ≠ 0.
Если K ⊆ K3, но K ≠ K0 то K = K3.
Покажем, что вместо b могут быть любые действительные числа. Пусть даны матрицы
И пусть
и
и
Если K ⊆ K3 ∧ b = 0, то K = K0.
Если K ≠ K0, то K = K1.
Пусть . Покажем, что вместо с будет любое положительное действительное число. То есть ∀r ∈ R+, α + β = 1, то x < r < y и
Существует
Значит, возводя A–1 и A в степень, мы получим любые матрицы вида То есть
Случай K ⊆ K2 вполне аналогичен случаю K ⊆ K1. К найденным ранее четырем ядрам добавляется еще одно – K2. Предложение доказано.
Для ограниченного полутела S существует естественная связь между его ядрами K и идеалами I кольца разностей Mn(R+):
Обозначим через An множество пар (i, j) по всем натуральным числам 1 i j n. Множество An имеет (n2 +n )/2 элементов. Каждому идеалу I кольца Mn(R+) сопоставляется вполне определенное подмножество A(I) в An, задающее общий вид матриц из I: если (i, j) A(I), то элемент aij матриц из I может принимать любое числовое значение; если же (i, j) A(I), то aij = 0 для всех матриц из I. Множество A(I) назовем конфигурацией идеала I. Например, A(Mn +)) = An, конфигурацией нулевого идеала является пустое множество, а одноэлементное множество {(1, n)} служит конфигурацией наименьшего ненулевого идеала кольца Mn(R+).
Решетка идеалов кольца Mn(R+) изоморфна решетке конфигураций A(I). Решетка Con Vn(R+) изоморфна решетке конфигураций множества An.
Предложение 2. Mn(R+) - кольцо разностей полутела Vn(R+).Доказательство. Пусть n - натуральное число и Mn(R+) - кольцо всех верхних треугольных матриц n-го порядка с действительными элементами, рассматриваемое с обычными операциями сложения и умножения матриц. Тогда Vn(R+) есть множество всех матриц из Mn с положительными элементами на главной диагонали. Кольцо Mn(R+) = Vn(R+) - Vn(R+) является кольцом разностей полутела Vn(R+). Любой элемент из кольца Mn(R+) может быть представлен в виде разности элементов полутела Vn(R+). Элементы кольца разностей - любые действительные числа, которые могут быть получены из элементов полутела Vn(R+), путем вычитания.При n = 1 имеем M1(R+) = R - это поле действительных чисел, а V1(R+) = R+- полуполе положительных действительных чисел. При n ³ 2 полутело Vn(R+) неком- мутативно.Теорема 3. Для любого натурального числа n все ядра полутела Vn(R+) главные, решетка Con Vn(R+) дистрибутивна, имеет единственный атом и число ее элементов равно (n + 1)-му числу Каталана.Доказательство. Нам понадобятся так называемые числа Каталана [1]. Если n - неотрицательное целое число, то n-е число Каталана Cn находится как число сочетаний из 2n по n, деленное на n + 1: Cn = 2n(2n - 1)...(n + 2)/n!.
Для доказательства этого утверждения можно рассмотреть и подсчитать идеалы кольца Mn(R+), соответствующие ядрам полутела Vn(R+). Для первых значений n = 1, 2, 3, 4 утверждение проверено в [5]. Индукцией по порядку n матриц устанавливается, что кольцо Mn(R+) имеет ровно Cn+1 идеалов. Поле R = M1 имеет 2 = C2 идеала. Предполагаем, что утверждение доказано для всех натуральных чисел m < n. Далее, опираясь на индуктивное предположение, вид конфигураций и рекуррентную формулу Сn = С0Сn-1 + С1Сn-2 + ... + Сn-1С0, подсчитывается общее число идеалов кольца Mn(R+) (n ≥ 2).
Заметим, что если полутело S имеет только конечное число ядер, то решетка Con S дистрибутивна [1]. На любом полутеле S следующее бинарное отношение: a b a = b или $с S a + c = b, ‒ является отношением порядка, превращающим S в упорядоченное полутело.Предложение 3. В полутеле TJ(S) ядро, порожденное элементом 2, имеет вид
(2) = {(aij) ∈ TJ(S): ∃n ∈ N ∀i ∈ J 2–n ≤ aii ≤ 2n}.
Теорема 4. Полутело TJ(S) является ограниченным тогда и только тогда, когда S ограничено и J конечно.
Теорема 5. Для любого сократимого полутела S центр матричного полутела TJ(S) совпадает с множеством диагональных матриц (aij) с равными элементами aii, принадлежащими центру полутела S.
Предложение 4. Полутело TJ(S) является полуполем тогда и только тогда, когда S – полуполе и J – антицепь.
Рецензенты:
Вечтомов Е.М., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебры и дискретной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров;
Чермных В.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры алгебры и дискретной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров.
Работа поступила в редакцию 07.05.2014.
Библиографическая ссылка
Петухова Я.В. О ПОЛУТЕЛАХ ОБОБЩЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ // Фундаментальные исследования. 2014. № 6-7. С. 1375-1379;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34344 (дата обращения: 20.04.2025).