Механика многокомпонентных сред, основываясь на экспериментальных исследованиях, развивалась в нескольких направлениях. В настоящее время основными из них являются составление уравнений состояния фаз грунта; установление характера взаимодействия твердых частиц вместе с жидкостью и газом, заполняющих их поры; решения краевых задач для оценки НДС уплотняемых массивов, находящихся под действием поверхностных и объемных сил.
Эти задачи механики многофазных сред взаимно связаны, и успешное решение их зависит от решения каждой из них в отдельности. Причем первые два направления имеют принципиальное значение при рассмотрении задач механики уплотняемых пористых грунтов, и в зависимости от принятой модели многофазного деформируемого тела приходим к различным вопросам ее краевых задач.
Следовательно, определение НДС грунтового массива зависит от удачного математического описания его в процессе деформирования.
Как известно, деформативные свойства грунтов, вообще говоря, меняются вместе с координатами точки, и допущение об их однородности представляет собой идеализацию реальных состояний. Конечно, при условии неоднородности математическая задача несравненно сложна, и поэтому в таких случаях нередко прибегают к различным родам упрощения модели, приемлемым с той или иной точки зрения. При этом в одной группе задач параметры, характеризующие свойства материала, кусочно постоянны. Это означает, что исследуемое тело состоит из нескольких однородных тел. В другой группе задач они представляют собой непрерывные функции координат точки. Причем грунт, модуль деформации которого непрерывно увеличивается с глубиной, называется непрерывно неоднородным. Такая модель грунта была представлена в работах Е.К. Клейна [3] и Попова [5] для решения некоторых контактных задач теории упругости. Г.К. Клейн при расчете сооружений, лежащих на сплошном основании, для модуля деформации грунта принимает выражение вида E(z) = Enzn (где En является модулем деформации грунта на глубине z = 1; показатель n в большинстве случаев лежит в пределах 0 < n < 2).
Эта модель использована Б.Н. Баршевским [2] для решения некоторых задач консолидации непрерывно-неоднородных грунтов по глубине и получила дальнейшее развитие в работах [8] при решении контактных задач механики деформируемого твердого тела.
В работах Попова при решении подобных задач модуль деформации грунта принят в виде E = E0eαz, (где E0, α – экспериментальные данные).
Здесь в отличие от этих работ неоднородность наследственно – стареющей земляной среды выделяется от общей части деформирования уплотняемого грунтового массива.
Для решения задачи механики уплотняемых пористых сред, согласно основной модели В.А. Флорина [7], необходимо совместно рассматривать уравнения, отражающие неразрывность твердой и жидкой фаз грунта, состояние его скелета, а также условия равновесия нестабилизированного состояния уплотняемого грунтового массива, т.е.
(1)
где
Ф – функция, отражающая напряженно-деформированное состояние скелета грунта; ε(M, t) – коэффициент пористости уплотняемого грунта для исследуемой точки M в момент времени t; β1 – коэффициент объемного сжатия; εср – средний коэффициент пористости; P – давление в поровой жидкости; 
– объемный вес воды; ε0 ‒ начальный коэффициент пористости; 
– коэффициент сжимаемости грунта; σkk(M, t) – сумма главных напряжений; n – размерность рассматриваемой задачи; ξ – коэффициент бокового давления уплотняемого грунтового массива; K(M, t) – величина, которая учитывает вязкие свойства уплотняемого грунта, и она зависит от выбранной математической модели состояния грунта; 
, P* – сумма главных напряжений и давление в поровой жидкости для стабилизированного состояния уплотняемого грунтового массива; αi (i = 1, 2, 3) – в зависимости от мерности задачи принимают значения 0 или 1, т.е. 0∨1.
Об уравнениях состояния скелета грунта. Если к некоторому элементарному параллелепипеду упругоползучей уплотняемой неоднородной земляной среды, коэффициент Пуассона которой не изменяется во времени и пространственных координатах, в момент времени τ мгновенно приложена нарастающая нагрузка, то деформации, отвечающие к моменту времени t, в соответствии с [6] будут равны:
(2)
Решив равенство (2) относительно напряжения, находим
(3)
Здесь M – произвольная точка деформируемой среды, координаты которой определяются тремя действительными числами x, y, z трехмерного эвклидова пространства; в (3) принято обычное условие суммирования по повторяющимся индексам; свободные индексы принимают независимо от значения 1,2,3; δij – символ Кронекера;
Rij(M, τ, t) – резольвента ядра ползучести Kij(M, τ, t); σij(M, t) тензор напряжений; εij(M, t) – тензор деформаций; E(M, t) – модуль деформации неоднородной деформируемой среды; ν – коэффициент Пуассона, значение которого принимается постоянной величиной, т.е. не зависящей от пространственных координат и времени; в выражениях Rij(M, τ, t) и Kij(M, τ, t) величина t определяет момент исследования процесса уплотнения грунтового массива, величина τ определяет момент приложения нагрузки.
Если использовать равенство (2), выражение для объемной деформации неоднородной ползучей среды можно представить следующим образом
(4)
где
Имея в виду общеизвестные соотношения
объемные деформации ползучей земляной неоднородной среды (4) через коэффициент пористости после некоторых математических выкладок можно выразить так:
(5)
Необходимо отметить, что подынтегральная функция K(M, τ, t), входящая в соотношения (4), (5), согласно Н.Х. Арутюняну [1], запишется в виде
Здесь ai(M, τ), γi(M, τ) – параметры ползучести, зависящие от неоднородности земляной среды; φ(M, τ) – функция старения, зависящая от физико-механических свойств уплотняемого массива грунта. Эта функция в существующих работах по уплотнению наследственно-стареюших грунтов принята в видах
где C0, Ak, β, γ, α, – экспериментальные данные.
Заметим, что выражение (5) можно привести к другому виду, отделив однородную часть деформирования от неоднородной части. Для этого соотношение (5) приводим к виду
(6)
Здесь
– ядро ползучести, соответствующее однородной среде;
(7)
Пусть функции a0(M, τ) и c(M, τ, t), характеризующие упругомгновенную деформацию и деформацию ползучести скелета неоднородного грунта, можно будет описать следующими математическими соотношениями:
(8)
где η(M) – функция, зависящая от пространственных координат; αн и βн– параметры неоднородности, характеризующие упругомгновенную и ползучую деформацию.
Тогда, учитывая выражения (6)–(8), вместо (5) имеем
(9)
Здесь
Выражение (9) дает возможность оценить влияние неоднородности на общее состояние уплотнения упругоползучего грунта и является определяющей зависимостью между коэффициентом пористости и суммой главных напряжений, т.е. оно является основным уравнением, описывающим состояния непрерывно-неоднородных упругоползучих грунтов.
Вывод основного уравнения консолидации упругоползучих неоднородных грунтов. При выводе основных уравнений уплотнения неоднородного грунтового массива будем полагать следующее:
Для вывода уравнений, описывающих нестабилизированное НДС массива многофазного грунта сформулируем основные положения.
1. Деформируемость многокомпонентного грунта обусловлена деформируемостью скелетного каркаса и сжимаемостью жидкости.
2. Взаимодействие жидкой и твердой фаз грунта в процессе деформирования может быть учтено на основе принципа эффективных напряжений.
3. НДС скелета грунта описывается линейными интегральными соотношениями теории упругоползучего тела Маслова–Арутюняна.
4. Грунт представляет собой неоднородную трехфазную среду, состоящую из твердых частиц, воды и газа.
5. Движение воды, заполняющей поры грунта, подчинено обобщенному закону Дарси–Герсеванова.
6. Деформации в рассматриваемом элементарном объеме грунта настолько малы, что могут быть приняты условия геометрической линейности.
Методика решений задач консолидации неоднородных упругоползучих грунтов. Процесс уплотнения трехфазной земляной среды без учета вязких свойств скелета и переменности коэффициента фильтрации с учетом этих положений описывается первым уравнением (1). В это уравнение вместо e(t) подставим (9) и приводим его к следующему виду
(10)
Результат дифференцирования (10) по t сложим с (10), предварительно умножив его на g1. При этом, учитывая зависимость между суммой главных напряжений и поровым давлением (условие равновесия) по В.А. Флорину [7]
имеем
(11)
где 
. (12)
Для решения уравнения (11) помимо граничных условий необходимо иметь два начальных условия. Одно из них определяется из (10), в котором, предполагая, t = τ1, находим
(13)
где 
(14)
Здесь 
– начальное распределение порового давления для двухфазной среды исследуемой задачи.
Таким образом, процесс уплотнения упругоползучих неоднородных грунтов математически будет описан дифференциальным уравнением вида (11) при начальных условиях (13), (14) , т.е. вся задача сводится к определению решений уравнений (11) при соответствующих краевых условиях.
Для решения (11) при (13) и (14) предлагаем применять метод возмущений, успешно используемый в теории упругости неоднородных тел [4]. Согласно этому методу вводится некоторый малый параметр λ:
(15)
Здесь h0(М) – неоднородная функция, зависящая от координат.
Затем решение уравнения (11) ищется в виде:
(16)
Выражения (15) и (16) подставим в (11), затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях λ. При этом получим
(17)
(18)
где
. 
(19)
Начальными условиями для этих дифференциальных уравнений будут:
(20)
(21)
Функция Φn–1(M, τ1), входящая в (21) имеет вид:
. (22)
Итак, для решения задач механики уплотнения упругоползучих неоднородных грунтов требуется найти непрерывные функции pi(M, t), удовлетворяющие в области 
системе линейных дифференциальных уравнений (17)–(19) с начальными (20)–(22) и граничными условиями общего вида
(23)
Здесь 
– конечная область. Её ограничивает кусочно-гладкая и замкнутая поверхность Г; s – внешняя нормаль к Г. α(0) ≥ 0; b(0) ≥ 0; α0 + β0 > 0; 
.
В целом исследуемая задача относится к неоднородным задачам теории консолидации упругоползучих грунтов. Решение этой задачи, безусловно, представляет большие трудности. Однако знание собственных функций соответствующей однородной задаче позволяет решать и неоднородные. Подобные задачи в другой постановке для случаев двумерного и трехмерного уплотнения упругоползучих грунтов при неоднородных их граничных условиях исследованы в работах [9, 10].
Рассмотрим одномерную задачу теории консолидации многофазных неоднородных грунтов, обладающих свойством ползучести, т.е. для случая n = 1.
Следовательно, решение системы уравнений (17)–(23) рассмотрим применительно к одномерной задаче теории консолидации многофазных неоднородных грунтов. Пусть слой грунта мощностью h, обладающего вязким и свойством неоднородности, уплотняется под действием распределенной нагрузки с интенсивностью q. Причем верхняя поверхность этого массива водопроницаема, а нижняя неводонепроницаема. Для этой задачи требуется определить давление в поровой жидкости p(z, t), сумму главных напряжений в скелете грунта σkk(z, t) и осадок уплотняемого слоя конечной мощности h.
Для данного случая вместо функций α(0)(M) и φ(0)(t), входящих в выражение при z = h, имеем α(0)(M) = 0, φ(0)(t) = 0, а при z = 0 имеем β(0)(M) = 0 и φ(0)(t) = 0.
Тогда решение уравнения (17) запишется следующим образом:
(24)
где функция 
для данного случая имеет вид:
(25)
Решение (18) при начальных (21), (22) и соответствующих граничных условиях имеет вид
(26)
где функция 
находится из выражения
(27)
Функции 
и 
в выражении (27) имеют вид:
(28)
(29)
rkj – решение квадратного уравнения.
Тогда, имея в виду выражения (16), (24)–(29), закон распределения порового давления в неоднородном упругоползучем грунте можно представить в виде
(30)
При этом напряжение в скелете грунта вычисляется по формуле
(31)
Для определения перемещения границ уплотняемого слоя воспользуемся известной формулой определения осадка:
Таким образом, при прогнозировании осадок основания сооружений часто возникает необходимость одновременного учета свойства ползучести и неоднородности уплотняемого грунтового массива. Это приводит к новому качественному результату, который лучше описывает осадку слоя во времени. При этом метод возмущений является одним из эффективных методов для решения задач консолидации неоднородных упругоползучих грунтов.
Рецензенты:
Печорский В.Н., д.т.н., профессор, Южно-Казахстанский государственный университет имени М. Ауэзова, г. Шымкент;
Мишин В.М., д.т.н., к.ф.м.н., Северо-Кавказский государственный технический университет, филиал, г. Пятигорск.
Работа поступила в редакцию 26.07.2013.
Библиографическая ссылка
Дасибеков А.А., Юнусов А.А., Юнусова А.А., Мадияров Н.К. ОБ ОДНОЙ МЕТОДИКЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ КОНСОЛИДАЦИИ УПРУГОПОЛЗУЧИХ НЕОДНОРОДНЫХ ГРУНТОВЫХ ОСНОВАНИЙ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10-3. – С. 521-528;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=32311 (дата обращения: 19.04.2024).