Совершенствование транспортных качеств линеек из плоских сплоточных единиц (ПСЕ) для их применения на малых и средних извилистых реках представляет интерес при технологических расчетах переместительных операций.
Целью представленной работы является получение инерционных характеристик и математической модели процесса неравномерного движения линеек из ПСЕ.
В настоящее время широко распространено использование математических методов планирования экспериментальных исследований на основе полных факторных планов. В данной теории используется математическое описание исследуемого процесса или объекта в виде уравнения регрессии, которое предоставляет широкие возможности по анализу изучаемого процесса или объекта и степени влияния на него каждого фактора.
Преобразовав выражения для определения времени и пути разгона плота постоянной силой в неподвижной жидкости при начальных значениях скорости v = 0 и времени t = 0[3], получаем зависимость для определения времени и пути разгона линейки из ПСЕ согласно методике [5] вида:
(1)
(2)
где MД – масса древесины модели линейки из ПСЕ; r – приведенное гидродинамическое сопротивление воды движению модели линейки из ПСЕ; FР – усилие разгона модели линейки из ПСЕ; n1, n2,– параметры эмпирической формулы, которые были получены для определения коэффициента нестационарности n[1, 2, 3], определяемые по зависимостям:
где k – параметр, зависящий от характеристик линейки из ПСЕ, определяемый по зависимости:
где LМ – длина модели; BМ – ширина модели; TМ– осадка модели; ρ, ρД – плотность воды и древесины соответственно; v – скорость модели, равная [3].
Основными факторами, влияющими на величину гидродинамического сопротивления воды R движению модели линейки из ПСЕ, являются ее габаритные размеры и интервал между ПСЕ в линейке, а также скорость движения модели. Зависимость величины гидродинамического сопротивления воды R движению модели линейки из ПСЕ имеет вид [6]:
(3)
В зависимости (3) величина гидродинамического сопротивления воды R при постоянной скорости для каждой модели является функцией приведенного гидродинамического сопротивления, для определения которого составлен полный факторный план первого порядка с четырьмя переменными. Величина r в уравнении регрессии r = f(LМ, BМ, TМ, c) принята за выходной параметр. Входными параметрами являются: X1 – длина модели; X2 – ширина модели; X3 – осадка модели; X4– интервал между ПСЕ в модели.
Уравнение регрессии при четырехфакторном эксперименте имеет вид зависимости:
(4)
где x1x2x3x4 – входные факторы, соответственно длина, ширина, осадка модели и интервал между плитками ПСЕ в линейке в условном масштабе; b0 – свободный член; b1, b2, b3, b4 – коэффициенты при линейных членах; b12, b13, b14, b23, b24, b34 – коэффициенты, характеризующие парное взаимодействие; b123, b124, b234, b134 – коэффициенты, учитывающие взаимодействие трех членов; b1234 – коэффициенты, учитывающие взаимодействие четырех членов.
В планах первого порядка каждый фактор варьируется на двух уровнях, то есть принимает в каждом опыте одно из двух значений: наименьшее или наибольшее. Нижний уровень факторов в условном масштабе обозначается –1, верхний + 1.
Необходимое и достаточное количество опытов N в эксперименте было определено по формуле [4]
N = 2m = 24 = 16,
где m – число факторов.
Размеры моделей и сочетание факторов для расчетной матрицы приведено в таблице.
Коэффициенты уравнения регрессии (4) рассчитаны по зависимости [4]:
Уравнение регрессии (4) после расчетов коэффициентов имеет вид:
(5)
С целью выяснения точности постановки экспериментов выполнена оценка воспроизводимости опытов по критерию Кохрена. Значение расчетного критерия Кохрена Gрасч = 0,192. По таблицам [7] определена величина табличного значения числа Кохрена Gтабл = 0,232. Так как Gрасч < Gтабл, то можно говорить об однородности дисперсий опытов, то есть все ошибки примерно одного порядка и допустимой величины.
Уравнение регрессии (4) имеет 16 коэффициентов bi. В каждом конкретном случае значимость этих коэффициентов и их влияние на выходной параметр r могут быть различными. Оценка значимости позволяет выявить так называемые незначимые коэффициенты, то есть те, которые в уравнении регрессии можно приравнять к нулю, так как значения этих коэффициентов соизмеримы с ошибкой определения bi. Оценка значимости была проведена с помощью критерия Стьюдента – tтабл [4, 7]. Для каждого коэффициента регрессии bi было вычислено экспериментальное значение tрасч. По таблицам [7] для уровня значимости q = 0,05 определена величина табличного значения критерия Стьюдента tтабл = 2. Проверено условие tрасч < tтабл для всех коэффициентов регрессии bi, не выполняется, следовательно, незначимых коэффициентов в уравнении регрессии, описывающем математическую модель эксперимента, нет.
Сочетание факторов
Номер опыта |
Длина модели, м |
Ширина модели, м |
Осадка модели, м |
Интервал между ПСЕ в модели, м |
||||
X1 |
x1 |
X2 |
x2 |
X3 |
x3 |
X4 |
x4 |
|
1 |
0,65 |
–1 |
0,225 |
–1 |
0,0096 |
–1 |
0 |
–1 |
2 |
2,2 |
1 |
0,225 |
–1 |
0,0096 |
–1 |
0 |
–1 |
3 |
0,65 |
–1 |
0,325 |
1 |
0,0096 |
–1 |
0 |
–1 |
4 |
2,2 |
1 |
0,325 |
1 |
0,0096 |
–1 |
0 |
–1 |
5 |
0,65 |
–1 |
0,225 |
–1 |
0,052 |
1 |
0 |
–1 |
6 |
2,2 |
1 |
0,225 |
–1 |
0,052 |
1 |
0 |
–1 |
7 |
0,65 |
–1 |
0,325 |
1 |
0,052 |
1 |
0 |
–1 |
8 |
2,2 |
1 |
0,325 |
1 |
0,052 |
1 |
0 |
–1 |
9 |
0,65 |
–1 |
0,225 |
–1 |
0,0096 |
–1 |
0,05 |
1 |
10 |
2,2 |
1 |
0,225 |
–1 |
0,0096 |
–1 |
0,05 |
1 |
11 |
0,65 |
–1 |
0,325 |
1 |
0,0096 |
–1 |
0,05 |
1 |
12 |
2,2 |
1 |
0,325 |
1 |
0,0096 |
–1 |
0,05 |
1 |
13 |
0,65 |
–1 |
0,225 |
–1 |
0,052 |
1 |
0,05 |
1 |
14 |
2,2 |
1 |
0,225 |
–1 |
0,052 |
1 |
0,05 |
1 |
15 |
0,65 |
–1 |
0,325 |
1 |
0,052 |
1 |
0,05 |
1 |
16 |
2,2 |
1 |
0,325 |
1 |
0,052 |
1 |
0,05 |
1 |
Далее была получена регрессионная модель с натуральными обозначениями факторов. При проведении экспериментов уровни варьирования факторов заданы в условном масштабе х. Значения х через Х определены по формулам [4]:
(6)
(7)
(8)
После подстановки формул (6), (7), (8) в уравнение регрессии (5) и несложных преобразований была получена зависимость:
(9)
С помощью зависимости (9) можно получить величину приведенного гидродинамического сопротивления воды r движению моделей линеек из ПСЕ. При подстановке входных факторов в натуральном масштабе измерения в интервалах варьирования, указанных в таблице.
Анализ полученной математической модели лучше всего проводить, пользуясь уравнением регрессии в нормализованных обозначениях факторов:
где L, B, T – длина, ширина и осадка линейки из ПСЕ; c – интервал между ПСЕ в линейке.
Важную информацию несут знаки коэффициентов регрессии, если линейный коэффициент регрессии положителен, то выходная величина возрастает с увеличением соответствующего фактора и убывает при его уменьшении. Также можно оценить относительную степень влияния варьируемых факторов на изменение выходной величины (относительную важность факторов). Чем больше величина tрасч, тем сильнее влияние соответствующего фактора на изменение выходной величины. Таким образом, на приведенное сопротивление воды r движению модели линейки из ПСЕ оказывают наибольшее влияние длина L и осадка T, наименьшее влияние оказывает интервал c.
Уравнение регрессии позволяет предсказать значение выходной величины для любой точки внутри области варьирования факторов. С его помощью можно строить графики зависимости выходной величины от любого фактора при фиксированных значениях остальных факторов.
Выполнены расчеты времени разгона tР (1) и пути разгона SР (2). Для модели линейки длиной модели – 0,65 м, шириной – 0,325 м, осадкой – 0,052 м, интервалом между ПСЕ – 0 м, состоящей из двух пятирядных ПСЕ время разгона составило с, при этом путь разгона равен SР = 1,7 мм. Модель линейки представлена на рисунке.
Модель линейки из двух пятирядных ПСЕ
Относительная погрешность вычисления времени разгона tР колеблется в интервале 0,002–4,68 %, а для пути разгона SР колеблется в интервале 0,042–4,79 %.
В заключение отметим, что приведенная математическая модель определения времени и пути разгона справедлива для линеек из ПСЕ длинной 13–44 м, шириной 4,5–6 м, осадкой 0,2–1 м и коэффициентом полнодревесности 0,42–0,49 при буксировке по малым и средним извилистым рекам с недостаточными глубинами.
Рецензенты:
Копейкин А.М., д.т.н., профессор кафедры лесопильно-строгальных производств Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова, г. Архангельск;
Мясищев Д.Г., д.т.н., профессор кафедры транспортных машин Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова, г. Архангельск;
Кирьянов Б.Ф., д.т.н., профессор кафедры прикладной математики и информатики, ФГБОУ ВПО «Новгордский государственный университет им. Ярослава Мудрого», г. Великий Новгород.
Работа поступила в редакцию 21.12.2012.
Библиографическая ссылка
Штаборов Д.А., Барабанов В.А. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗГОНА ЛИНЕЕК ИЗ ПЛОСКИХ СПЛОТОЧНЫХ ЕДИНИЦ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 1-1. – С. 173-176;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=30916 (дата обращения: 03.12.2024).