Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Родин А.А. 1, 2 Диденкулова И.И. 1, 2 Пелиновский Е.Н. 1, 3

---

1 Нижегородский государственный технический университет

2 Институт кибернетики, Таллинский технологический университет

3 Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики

В данной статье проведено исследование процесса взаимодействия и трансформации двух уединенных волн (импульсов) различной амплитуды на поверхности жидкости конечной глубины в приближении мелкой воды. Такое взаимодействие, в частности, между падающей и отраженной волнами часто наблюдается в прибрежной зоне моря при подходе волн к крутому береговому склону. Рассмотрено взаимодействие как римановых, так и ударных волн положительной полярности и обсуждены основные особенности взаимодействия волн разных типов. Основные результаты получены в рамках гиперболической системы, описывающей уравнения нелинейной теории мелкой воды. Рассчитаны максимумы смещения водной поверхности в момент взаимодействия ударных волн. При малых амплитудах рассчитанные величины хорошо описываются результатами аналитической теории для взаимодействующих римановых волн. В случае обрушения из-за диссипации энергии на фронте ударных волн толщина потока становится меньшей, чем предсказывается теорией для римановых волн и полностью развитого бора.

Статья в формате PDF

543 KB

уединенные волны большой амплитуды

взаимодействие волн

численное моделирование

нелинейная теория мелкой воды

1. Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский Е.Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. – Л.: Гидрометеоиздат, 1989. – 272 c.

2. Крутизна и спектр нелинейно деформируемой волны на мелководье / И.И. Диденкулова, Н. Заибо, А.А. Куркин, Е.Н. Пелиновский // Изв. РАН Физика атмосферы и океана. – 2006. – Т. 42, № 6. – С. 839–842.

3. Диденкулова И.И., Пелиновский Е.Н., Родин А.А. Формирование экстремальных волн на мелкой воде с учетом обрушения // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. – 2012. – Т. 5, № 1. – С. 89–98.

4. Накамура С. О гидравлическом боре и применении результатов его изучения к проблеме возникновения и распространения цунами // Волны цунами: труды СахКНИИ). – Южно-Сахалинск, 1973. – № 32. – С. 129–151.

5. Пелиновский Е.Н. Гидродинамика волн цунами. – Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1996. – 276 с.

6. Пелиновский Е.Н., Родин А.А. Нелинейная деформация волны большой амплитуды на мелководье // Доклады РАН. – 2011. – Т. 438, № 3. – С. 337–340.

7. Пелиновский Е.Н., Родин А.А. Трансформация сильно нелинейной волны в мелководном бассейне // Изв. РАН Физика атмосферы и океана. – 2012. – Т. 48, №. 3. – С. 343–349.

8. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. – М.: ИЛ, 1959. – 618 с.

9. Chanson H. Tidal Bores, Aegir, Eagre, Mascaret, Pororoca: Theory and Observations // World Scientific. – 2012. – 201 p.

10. Courant R., Friedrichs K.O. Supersonic Flow and Shock Waves, Interscience Publishers. – New York, 1999. – 464 p.

11. Didenkulova I., Pelinovsky E., Rodin A. Nonlinear interaction of large-amplitude unidirectional waves in shallow waters // Estonian Journal of Engineering. – 2011. – Vol. 17, №4. – P. 289–300.

12. LeVeque R.J. Finite-volume methods for hyperbolic problems // Cambridge Univ. Press. – 2004. – 559 p.

13. Tsuji Y., Yanuma T., Murata I., Fujiwara C. Tsunami ascending in rivers as an undular bore // Natural Hazards. – 1991. – Vol. 4. – P. 257–266.

14. Zahibo N., Didenkulova I., Kurkin A., Pelinovsky E. Steepness and spectrum of nonlinear deformed shallow water wave // Ocean Engineering. – 2008. – Vol. 35, № 1. – P. 47–52.

Процесс нелинейной трансформации гравитационной поверхностной волны на мелкой воде рассматривается в работах многих авторов [1–3, 6–8, 10–11, 14]. Этот процесс, приводящий к опрокидыванию волны и последующему образованию ударной волны (бора), часто наблюдается в прибрежной зоне моря и при вхождении приливной волны в устье реки [4, 13]. Динамика самой обрушенной волны изучена меньше. Аналитические результаты известны для развитого бора, в котором скорости течения по обе стороны от скачка стремятся к константам [1, 8, 10]. Часто при подходе волн к крутому береговому склону имеет место взаимодействие падающей и отраженной волн, которое еще не рассматривалось в литературе. Именно эта проблема изучается в данной статье.

Математическая модель

Гиперболическая система уравнений нелинейной теории мелкой воды имеет вид [1, 8, 10]

(1)

где H(x, t) = h + h(x, t) – полная глубина, отсчитываемая от дна; h(x ,t) – возмущение водной поверхности над невозмущенной глубиной бассейна h; u – усредненная по глубине горизонтальная скорость водного потока; g – ускорение силы тяжести. В данной работе система уравнений (1) решается численно с помощью программного пакета CLAWPACK (www.amath.washington.edu/~claw), использующего метод конечных объемов [12]. Глубина бассейна h постоянна и во всех расчетах выбрана равной 1 м. Граничные условия на границах расчетной области соответствуют свободному уходу волны через границу. Размер пространственного шага – 0,5 м, временного – 2 с. Начальные условия соответствуют двум римановым волнам, двигающимся навстречу друг другу:

(2)

где

(3)

В начальный момент времени уединенные волны расположены симметрично относительно начала координат на расстоянии 2,6 км друг от друга. Форма уединенной волны выбрана гауссовой

(4)

Здесь А± – амплитуды импульсов; l± – их характерные длины; x0 характеризует расстояние от начала координат до каждого из импульсов. В расчетах характерные длины импульсов (λ) выбраны одинаковыми и равными 0,9 км. В численных расчетах контролировалось сохранение массы, и ошибка не превышала 10–6 %.

Взаимодействие двух импульсов

Рассмотрим теперь результаты расчетов с данными начальными условиями. Рис. 1 иллюстрирует процесс взаимодействия двух уединенных волн амплитудой 0,1 м. В этом случае параметр нелинейности, определяемый отношением амплитуды волны к глубине бассейна, достаточно мал (0,1), и столкновение волн произойдет до того, как начнут образовываться ударные фронты.

Рис. 1. Взаимодействие двух уединенных волн с амплитудой 0,1 м (слабонелинейный случай)

В численном эксперименте максимум амплитуды при взаимодействии волн составил 0,2 м, что хорошо согласуется с линейной теорией. Взаимодействие римановых волн одинаковой амплитуды исследовалось аналитически также в работе [5]

(5)

где Aнач – амплитуда волны непосредственно перед столкновением. В момент взаимодействия высота результирующей волны Hст оценивается в 0,2 м по формуле (5), что полностью соответствует результатам численного эксперимента. Зависимость максимального значения поля от времени демонстрирует рис. 2, из которого видно, что падение амплитуды, связанное с возникновением скачка, началось только с момента времени Т ~ 1600 с. Этот факт еще раз подтверждает, что взаимодействие римановых волн происходило до образования ударных фронтов.

Рис. 2. Зависимость максимального значения толщины потока от времени (А0 = 0,1 м)

Взаимодействие волн большей амплитуды (А = 0,4 м) показано на рис. 3. Здесь волны успевают столкнуться также до того, как образуются ударные фронты (6–7 мин). Максимум смещения в момент взаимодействия составляет 0,87 м, что совпадает с оценкой (5).

Рис. 3. Взаимодействие двух уединенных волн с амплитудой 0,4 м

Теперь рассмотрим случаи столкновения волн с ударными фронтами (рис. 4). Для этого увеличим амплитуду начальных импульсов до 0,9 м, а расстояние между ними – до 6,6 км. К моменту столкновения ударный фронт на каждой волне успевает сформироваться полностье, и высота волн начинает падать (рис. 5), так что амплитуды обеих волн непосредственно перед взаимодействием равны 0,7 м, то есть на 0,2 м меньше, чем начальные значения.

Рис. 4. Взаимодействие двух уединенных волн с начальной амплитудой 0,9 м

Рис. 5. Зависимость максимальной величины толщины водного потока от времени (A0 = 0,9 м)

Для теоретической оценки высоты «пика» при столкновении ударных волн воспользуемся законами сохранения массы и момента [1, 8, 10]:

(6)

где с – скорость движения подходящего бора; u – скорость потока за фронтом ударной волны; – скорость бора после взаимодействия; ξ0 – начальная высота возмущения, а ξr – искомая нами высота потока в момент взаимодействия. Эта система хорошо аппроксимирует случаи взаимодействия ударных волн относительно большой амплитуды (ξ0 ≥ 3h). В случае же бора малой амплитуды поток становится неустойчивым, и для его описания надо пользоваться теорией волнообразного бора [9]. Максимум толщины потока в момент взаимодействия составляет 2,6 м. Если вычесть невозмущенную глубину в 1 м, то получаем оценку высоты волны в момент столкновения 1,6 м. Высота необрушенной волны, вычисляемая по формуле (5) с такими начальными условиями будет равна также 1,6 м, а высота бесконечного бора по формуле (6) – 1,60 м. Линейная же теория предсказывает 1,4 м. Различие с предсказаниями нелинейной теории связано с «переходной» формой ударной волны, которая не может быть описана формой развитого бора. Так как ударный фронт был сформирован до взаимодействия импульсов, то и распределение максимума поля смещения будет иметь форму ассиметричного треугольника. Видно, что обрушение волны, а соответственно и спад амплитуды, начало происходить в момент времени 200 с, тогда как столкновение волн произошло только спустя 590 с.

Заключение

В работе исследованы случаи взаимодействия уединенных поверхностных гравитационных волн положительной полярности на поверхности жидкости малой глубины. Рассчитаны максимумы смещения водной поверхности в момент взаимодействия ударных волн. При малых амплитудах рассчитанные величины хорошо описываются результатами аналитической теории для взаимодействующих римановых волн. В случае обрушения из-за диссипации энергии на фронте ударных волн толщина потока становится меньшей, чем предсказывается теорией для римановых волн и полностью развитого бора.

Представленные результаты научно-исследовательской работы получены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы, а также при поддержке грантов МК1440.2012.5, РФФИ 11-05-970006, SF0140007s11 и ETF8870.

Петрухин Н.С., д.ф.-м.н., профессор кафедры математики, Высшая школа экономики, г. Нижний Новгород;

Талипова Т.Г., д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.

Работа поступила в редакцию 26.10.2012.

Библиографическая ссылка