Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Жетесова Г.С. 1 Жаркевич О.М. 1 Жунусова А.Ш. 1 Плешакова Е.А. 1 Теленкова Е.А. 1

---

1 Карагандинский государственный технический университет, Караганда

Проведен анализ методик расчета гидростоек механизированных крепей, основанных на аппарате сопротивления материалов. Прогиб круглого элемента механизированной крепи, лежащего на трехмерном упругом основании, под действием внешней нагрузки описан дифференциальным уравнением четвертого порядка. Определены деформационно-силовые характеристики элементов гидростоек механизированных крепей в зависимости от внешнего нагружения и коэффициентов постели, связывающих осадку грунта с интенсивностью отпора и интенсивностью вертикального сдвига. Выявлено, что применение теории упругого основания для расчета гидростоек секций механизированных крепей позволяет рассчитывать круглые элементы с учетом деформации почвы. Разработанная методика позволяет подбирать оптимальные конструктивные параметры гидростоек механизированных крепей. Данная методика позволяет рассчитывать элементы механизированных крепей при изменении жесткости элемента, либо в пространстве на протяжении всей выработки.

Статья в формате PDF

1306 KB

гидростойка

деформационные и силовые характеристики

упругое основание

1. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. – М.: Машиностроение, 1973.– 488 с.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.

3. РД 12.25.163 – 90 Крепи механизированные. Стойки и домкраты. Расчет на прочность. Методика.

4. Тимошенко С.П., Гере Д.Ж. Механика материалов. – М.: Мир, 1976. – 669 с.

5. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 384 с.

6. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. – Киев: Наукова Думка, 1974. – 743 с.

Существующие методики расчета гидростоек механизированных крепей, основанные на аппарате сопротивления материалов, не учитывают деформационные свойства грунтов кровли и почвы, влияющих на результаты расчета. Физико-механические свойства пород изменяются, как известно, в широких пределах в зависимости от литологического состава почвы и ее строения, степени обводненности лавы, глубины залегания пластов, поэтому напряжения и деформации в горных породах почвы и кровли намного сложнее, чем свойства материалов. В связи с этим при прочностных расчетах гидростоек механизированных крепей необходимо принимать во внимание множество факторов, обусловливающих особенности работы пород кровли, почвы (упругого основания) под конструкциями. Подобный подход используется при расчете фундаментов, прямоугольных, ленточных, круглых.

Круглые элементы механизированной крепи, такие как цилиндры гидростоек со сферической пятой с целью повышения их прочности, необходимо рассчитывать на величину прогиба, не превышающего величину прогиба кровли и почвы с учетом интенсивности вертикального отпора пород и сопротивления сдвигу или вращению в продольном и поперечном направлениях. Поскольку деформации гидростойки малы, для расчета возьмем поперечное сечение, которое представляет собой круглую плиту. Поскольку линейные характеристики грунта s₁ и s₂ не одинаковы между собой и действуют по разным направлениям x и у, то осадочная лунка от действия круглого элемента не будет иметь вид поверхности вращения, а будет проявляться в виде эллипса (овала) [1]. За основу расчета можно принять дифференциальное уравнение прогиба элемента секции крепи, лежащего на трехмерном упругом основании, под действием внешней нагрузки, рассмотренного в работе [2], и преобразовать его. Это уравнение имеет вид:

(1)

Разделив обе части уравнения на К₁ и обозначив

(2)

и

(3)

получим:

где Е - модуль упругости, МПа; J - момент инерции, см⁴; К₁ - коэффициент сжатия грунта (первый коэффициент постели), Н/см³; К₂ - коэффициент сдвига грунта (второй коэффициент постели), Н/см.

Отвлечемся от физического смысла параметров, входящих в уравнение с ча­стными производными (1). Для этого перейдем к безразмерным переменным. Величину s₂ можно назвать линейной характеристикой кровли или грунта, она имеет размерность длины. Тогда имеет смысл рассмотреть осадку пород как функцию безразмерных координат α = х/s₁ и β = у/s₂.

Введем функцию U(α, β), которая зависит от α и β и определяется по формуле:

 (5)

Тогда производные W и U связаны соотношениями:

 (6)

Поэтому уравнение (4) можно переписать в виде:

 (7)

или

 (8)

Перейдем к полярным координатам, т.е. положим [2, 5, 6]:

 или  (9)

Введем функцию ϑ(r, θ), которая зависит от r, θ и определяется по формуле:

 (10)

Тогда производные U и υ связаны соотношениями:

(11)

Учитывая, что скалывающие напряжения отсутствуют, имеем

Поэтому:

 (12)

Учитывая соотношения (7), перепишем уравнение (4) в виде:

 (13)

или

 (14)

или

 (15)

Графически схема нагружения круглого элемента крепи единичной площади на трехмерном упругом основании представлена на рисунке.

Решим обыкновенное дифференциальное уравнение (15), считая s₁, s₂ и θ параметрами.

Общее решение уравнения с правой частью получается с помощью решения соответствующего уравнения без правой части и отыскания какого-либо частного решения [2]. В сумме получится общее решение уравнения (15):

 (16)

где - решение уравнения (16) без правой части; υ^* - частное решение уравнения (16).

Частное решение уравнения (16) под действием постоянной нагрузки будет иметь следующий вид:

 (17)

Для нахождения общего решения уравнения (15) приравняем его первую часть к нулю. Получим дифференциальное уравнение четвертого порядка:

 (18)

Составим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (17):

 (19)

Данное биквадратное уравнение решается с помощью замены

.

Тогда уравнение сводится к квадратному виду:

(20)

где .

Отсюда получаем пару комплексных корней:

 (21)

Теперь найдем:

(22)

Итак, общее решение уравнения (18) имеет вид:

(23)

где А₁, А₂, А_з, А₄ - некоторые постоянные величины.

Для решения нашей задачи представляют интерес только третье и четвертое слагаемые выражения (23). Следовательно, общее решение дифференциального уравнения (15) без правой части при- мет вид:

(24)

Учитывая вышеизложенное, общее решение уравнения (15) запишем в виде:

(25)

Представим величину  как функцию гиперболического синуса (sh) и гиперболического косинуса (ch) [2]. И выражение (23) запишем следующим образом:

 (26)

Ввиду симметрии прогиба элемента секции крепи относительно оси ОХ слагаемые:

и решение имеет вид:

(27)

Для упрощения выражения введем замену:

Тогда общее решение уравнения (15) в случае действия постоянной нагрузки q с учетом интенсивности отпора почвы-кровли имеет следующее уравнение для определения прогиба круглого элемента секции крепи:

 (28)

Для нахождения коэффициентов А₃ и А₄ необходимы граничные условия по переменной r, т.к. производные по θ равны 0. Таким образом, граничные условия определяются по формуле [1, 6]:

 (29)

где М - изгибающий момент, кН∙см; Q - поперечная сила, кН; Q₀ - распределенная нагрузка, кН.

Подставим решение (28) в граничные условия (29) и найдем значения произвольных постоянных А₃ и А₄:

(30)

 (31)

Введем дополнительные обозначения:

Тогда решение дифференциального уравнения (4) будет иметь вид:

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

Подставив значения в полученные формулы, получим, что величины изгибающего момента и поперечной силы, определенных по данной методике в 3 раза меньше, чем величины этих же параметров, определенных согласно РД 12.25.163 - 90 [3]. Следовательно, запас прочности завышен.

Данная методика позволяет рассчитывать элементы гидростоек механизированных крепей при изменении жесткости и диаметра элемента. Таким образом, применение теории упругого основания для расчета круглых элементов секций механизированных крепей позволяет рассчитывать эти элементы с учетом деформации почвы и на основе этих расчетов выдавать рекомендации по сокращению металлоемкости, что является немаловажным фактором в условиях рыночной экономики.

• Туменов С.Н., д.т.н., профессор, проректор по науке и инновационным технологиям Алматинского технологического университета, г. Алматы;
• Кенжин Б.М., д.т.н., профессор, директор ТОО «Карагандинский машиностроительный консорциум», г. Караганда.

Работа поступила в редакцию 29.02.2012.

Библиографическая ссылка