Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Семенчин Е.А. 1 Шаталова А.Ю. 1

---

1 КубГУ, ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет»,Краснодар

В статье обобщена математическая модель инвестирования предприятий с учетом рисков для произвольного числа месяцев инвестирования. Цель работы – при данных способах инвестирования и утвержденном графике выплат разработать модель, минимизирующую сумму денег, которую банк должен затратить на инвестирование проектов. Приведены обобщенные формулы для вычисления индекса среднего риска, средней продолжительности инвестирования. Представлен пример инвестирования на период 6 месяцев.

Статья в формате PDF

716 KB

планирование инвестиций

инвестиционный проект

индекс риска

1. Адамчук А.С., Амироков С.Р., Щепотьева С.В. Динамическая модель планирования инвестиций в форме задачи линейного программирования // Вестник СевКавГТУ, 2004. – №1.

2. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

3. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.

4. Хачатрян С.Р., Пинешня М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения экономических задач. – М.: Экзамен, 2005. – 384 с.

В работе [4] рассмотрена задача планирования инвестиций с учетом рисков и методика ее решения средствами линейного программирования в случае, когда долговое обязательство заемщика (следовательно, и срок жизни инвестиционного проекта) составляет 6 месяцев. В [1] представлено решение этой задачи, полученное с помощью пакета MathCad. В данной статье эта задача обобщается на произвольное конечное число месяцев.

1. Постановка задачи

В кредитную организацию (банк) обратились для получения кредитов несколько организаций с различными инвестиционными проектами [1]. Через n месяцев банку необходимо получить за предоставляемые кредиты x долларов с учетом прибыли, при этом возвратность кредита через v месяцев должна составить y долларов.

Среди предложенных и потенциально реализуемых проектов банку необходимо выбрать наиболее прибыльные для него, при этом те проекты, которые обладают повышенными рисками, должны компенсироваться проектами с меньшими рисками, а длительные - должны выполняться одновременно с краткосрочными [1].

Потребуем, чтобы в течение каждого месяца средний индекс риска инвестиционных проектов sср не превышал l, т.е. sср ≤ l, и в начале каждого месяца средняя продолжительность погашения инвестиционных проектов не превышала r месяцев.

Цель работы - при данных способах инвестирования и утвержденном графике выплат разработать модель, минимизирующую сумму денег, которую банк должен затратить на инвестирование проектов.

2. Обобщенная математическая модель инвестирования предприятий с учетом рисков

Обозначим через k1, k2, k3, ..., kv, ..., km - все возможные делители числа n, km = n. Так как банку необходимо получить за предоставляемые кредиты x долларов через n месяцев, то под ki (i = 1, 2, ..., m) будем понимать периоды инвестиционных вложений всех возможных инвестиционных проектов.

Пусть Ai (i = 1, 2, ..., m) - инвестиционный проект с периодом инвестиционных вложений ki (i = 1, 2, ..., m); Li (i = 1, 2, ..., m - 2) - заключительный момент инвестирования проекта Ai+1 (i = 1, 2, ..., m - 2); δi (i = 1, 2, ..., m) - процент прибыли, выплачиваемый организацией банку согласно, инвестиционного проекта Ai (i = 1, 2, ..., m); si (i = 1, 2, ..., m) - индекс риска при реализации Ai (i = 1, 2, ..., m). Все возможные способы инвестирования проектов представлены в табл. 1.

Возможные способы инвестирования проектов

Построим математическую модель, позволяющую минимизировать начальную сумму F, которую банк затрачивает на инвестирование проектов, при сохранении ожидаемой прибыли.

Обозначим через X_α(A_β) - объем вложений в момент (α = 1, 2, ..., n) в инвестиционный проект A_β (β = 1, 2, ..., m). В соответствии с таблицей для каждого проекта Aβ величина Xα(Aβ) будет изменяться в каждый момент α следующим образом:

• при инвестировании в проект A1:

где n - число различных объемов инвестирования;

• при инвестировании в проект A₂:

где  - число различных объемов инвестирования;

• при инвестировании в проект A3:

где  - число различных объемов инвестирования;

..............................................................................

• при инвестировании в проект A_v:

где  - число различных объемов инвестирования;

............................................................................

• при инвестировании в проект A_m:

             (1)

здесь , т.е. число различных объемов инвестирования в проект A_m равно 1. Индекс Li (i = 1, 2, ..., (m - 2)) - в (1) указывают на заключительные (последние) моменты инвестирования проектов.

Условие минимизации объема вложений банком в начальный момент в рассматриваемые проекты, согласно введенным обозначениям, будет иметь вид:

 (2)

Укажем ограничения, которым должны удовлетворять объемы вложений X_α(A_β) (α = 1, 2, ..., n; β = 1, 2, ..., m). Согласно постановке задачи (см. п. 1), банку для погашения других расходов необходима возвратность инвестируемых вложений объемом у долларов через v месяцев; в моменты 1, 2, ..., v - 1, v + 1, ... n - 1, n месяцев дополнительные расходы не подразумеваются, а в n-ом месяце необходима возвратность инвестируемых вложений (x - y) долларов для реализованных инвестиционных проектов. Согласно этим требованиям будем иметь соотношение:

 -

объемы вложений на конец первого месяца, т.е.

 -

объемы вложений на конец второго месяца;

.........................................................

 -

объемы вложений на конец v-го месяца;

..................................................................

 -   (3)

объемы вложений на конец n-го месяца; 

где  - означает суммирование по тем j (i = 1, 2, ..., m), для которых k_j является делителем v.

Последнее соотношение не содержит отрицательных слагаемых (вычитаемого), т.к. вложения, согласно постановке задачи, не будут осуществляться в (n + 1)-м месяце.

Формула для вычисления индекса среднего риска для различных инвестиционных проектов A₁, A₂, ..., A_m с индексами риска s₁, s₂, ..., s_m имеет вид [4]:

 (4)

Согласно этой формуле, для первого периода времени индекс среднего риска, не превышающий величины l, удовлетворяет неравенству:

для второго периода -

..........................................................

для периода v (v ≠ 1), -

.........................................................

для периода n -

   (5)

где  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj является делителем (v - 1),  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1), ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (v - 1)-го периода, которое зависит от того же Aj -го (j = 1, 2, ..., m).

Из соотношений (5) имеем:

 (6)

Формула для вычисления средней продолжительности инвестирования различных проектов A1, A2, ..., Am с периодами инвестиционных вложений соответственно 1, k1, k2, ..., km-1, n имеет вид [4]:

 (7)

Тогда средняя продолжительность инвестирования в течение первого месяца, учитывая, что она не должна превосходить r, имеет вид:

второго месяца -

..................................................................................

месяца v (v ≠ 1), -

...................................................................................

месяца n -

         (8)

где  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых k_j < v и k_j является делителем (v - 1),  - означает суммирование по тем j (j = 1, 2, ..., m), для которых kj < v и kj не является делителем (v - 1), ψ - индекс, совпадающий с индексом слагаемого из предыдущего соотношения для (v - 1)-го периода, которое зависит от того же Aj -го
(j = 1, 2, ..., m).

Из неравенств (8) следует, что:

 (9)

Очевидно, что:

 (10)

где индексы L_i (i = 1, ..., (m - 2)) - это заключительные моменты инвестирования проекта.

Соотношения (2), (3), (6), (9), (10) представляют собой математическую модель оптимального инвестирования предприятий с учетом рисков.

3. Пример

В кредитную организацию (банк) обратились для получения кредитов четыре организации с различными инвестиционными проектами [1]. Через 6 месяцев банку необходимо получить за кредит 750000 долларов с учетом прибыли, и для погашения других расходов банка, возвратность кредита через 2 месяца должна составить 150000 долларов.

Длительность представленных от организаций инвестиционных проектов составляет 1, 2, 3 и 6 месяцев. Процент за кредит каждой организации составляет соответственно 1,5; 3,5; 6; 11. Индексы рисков для каждого инвестиционного проекта организаций составляют соответственно 1, 4, 9, 7.

При данных способах инвестирования и утвержденном графике выплат необходимо разработать модель, минимизирующую сумму денег, которую банк должен затратить на инвестирование проектов, учитывая, что в течение каждого месяца средний индекс риска инвестиционных проектов не превышает 6, и в начале каждого месяца средняя продолжительность погашения инвестиционных проектов не превышает 2,5 месяцев [4].

Поставленная задача при указанных данных полностью совпадает с задачей, рассмотренной в [1]. Ее решение, полученное с помощью обобщенной модели (2), (3), (6), (9), (10) и Microsoft Office Exel, совпадает с решением, приведенным в [1]. На основании вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что описанный подход к решению поставленной задачи оказался успешным и перспективным.

Заключение

В работе представлена обобщенная математическая модель инвестирования предприятий с учетом рисков для произвольного числа месяцев инвестирования. Эта модель представляет собой задачу линейного программирования с целевой функцией (2) и ограничениями (3), (6), (9), (10).

В результате реализации поставленной цели были выведены формулы, предназначенные для решения задачи планирования инвестиций с учетом рисков для случая, когда долговое обязательство заемщика составляет произвольное число месяцев.

Рецензенты:

Дударев Ю.И., д.т.н., профессор ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар;

Уртенов М.Х., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой прикладной математики ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар.

Работа поступила в редакцию 24.06.2011.

Библиографическая ссылка