На основе нечёткой теории вероятностей строятся две модели экономики России после 1998 года: на основе полиномиального распределения и с помо-щью цепей Маркова.
Пространство исходов X = {ω 1 ,ω 2 , ω 1 F , ω 2 F } для однократного бросания монеты на нечёткую в смысле Л. Заде плоскость [ 1 ] для случая экономики России интерпретируется как ω 1 = {(ω 1 , 1) , (ω 2 , 0 )}:" сильный прирост ВВП ( валовый внутренний продукт до 20% в год)" ; ω 2 = {(ω 1 , 0 ) , (ω 2 , 1 )}:" силь ная защита окружающей среды"; ω 1 F ={(ω 1 , F ) , (ω 2 , 0 )}:" слабый прирост ВВП ( до 10% в год )" ; ω 2 F = {( ω 1 , 0) , ( ω 2 , F )}:" слабая защита окружаю-щей среды". Пространство исходов для развития экономики России за каждый год после дефолта (1999 - 2004 годы ) будет Ω = X 2 = { ω 1 , . . . . , ω 16 } , где ω 1 = ( ω1 , ω 1 ), ω 2 = ( ω 1 , ω 2 ), . . . . , ω 16 = ( ω 2 F , ω 2 F ). Здесь рассмотрен аналог одновременного бросания двух монет на нечёткую плоскость, когда население России разбивается на два множества людей ( эти множества могут пересекаться), в результате деятельности которых за год (эксперимент m = 1) реализуется одно из ω I ∈ Ω , которые являются независимыми событиями с вероятностями p(ω 1) = p 12 , p (ω 2) = p 1 p 2 , . . . . . , p(ω 16) = p 4 2 или 1 = Σ p(ω) = ( p 1 + p 2 + p 3 + p4) 2 = p 1 2 + 2 p 1 p 2 + 2 p1 p 3 + 2 p 1 p 4 + p 2 2 + ω ∈ Ω + 2 p 2 p 3 + 2 p 2 p 4 + p 3 2 + 2 p 3 p 4 + p 4 2 , т.е. имеем полиномиальное (мономиальное ) распределение [ 2 ]. Нас будут интересовать ω 12 = ( ω 2 F , ω 1 F ):" слабая борьба за сохранение и очищение окружающей среды и слабый прирост ВВП" и ω 15 = ( ω 1 F , ω 2 F ):" слабый прирост ВВП и слабая борьба за сохранение и очищение окружающей среды". В общей схеме рассмотрения р(ω 12) = p(ω 15) = p 3 p 4 . Корректное задание вероятностей с точки зрения полино-миального распределения, описывающих ежегодную ситуацию в России в 1999-2004 годах, будет p 1 = p 2 = 0 , p 3 = p 4 = 1 / 2 . Вероятность выполнения события {ω 12}+{ω15} = 1 / 2 (это событие и реализовывалось). Вероятность выполнения события ω 11 = ( ω 1 F , ω 1 F ):" слабый прирост ВВП и нет деятельности по улучшению и охране окружающей среды" будет 1 / 4 . Вероятность события ω 16 = ( ω 2 F , ω 2 F ):" нет прироста ВВП и слабая борьба за сохранение и улучшение окружающей среды" будет 1 / 4. С увеличением числа экспериментов ( m = 1, . .. ., 6 ) число интересующих нас нечётких событий будет уменьшаться ( соответственно уменьшится их вероятность) . Например , для m = 6 при p 1= p 2 = 0 ,p 3 = p 4 = 1 / 2 из выражения для (p 3 + p 4 ) 12 найдём (12! / 6! 6! ) p36 p 4 6 = 924 p 3 6 p 4 6 = 0.2. Введём новые обозначения для нечётких случайных событий, удобные для построения цепей Маркова: D 11 = Ø , D 21 = ω 1 F , D 31 = ω 1 ( первая последо-вательность случайных событий для описания ВВП), D 12 = Ø , D 22 = ω 2 F, D 32 = ω 2 ( последовательность для описания окружающей среды) . Эти две после-довательности имеют место для каждого t = t s и I = 1, 2 , образуя D 1 I S, D 2 I S , D 3 I S . Предположим, что рассматриваемые последовательности образуют цепи Маркова, тогда для t = t S + 1 вероятность осуществиться одному из D 1 I S + 1 , D 2 I S + 1 , D 3 I S + 1 зависит только от исходов для t = t S и не зависит от исходов для более ранних моментов времени. Вероятности пере-ходов p I j S + 1 = p ( D j k S + 1 / D I k S ) образуют стохастические матрицы p S + 1 1 для ВВП и p S + 1 2 для окружающей среды вида
p 11S + 1 p 12 S + 1 p 13 S + 1 0 1 0
P 21 S + 1 p 22S + 1 p 23 S + 1 0 1 0
p 31 S + 1 p 32 S + 1 p 33 S + 1 0 1 0
Здесь приводится общий вид матриц в буквах и конкретное значение этих матриц, используемое в модели экономики. Прямые уравнения Колмогорова - Чепмена [ 2 ]
p 2005 I = p 0 I π 1999 I . . . . . . π 2004 I ( I = 1, 2 )
дают возможность по начальному распределению p 0 I = ( 0 1 0 ) ( для I = 1 означающее c вероятностью 1 слабый прирост ВВП, для I = 2 означающее с вероятностью 1 слабую борьбу с загрязнением окружающей среды) вычислить p 2005 I = ( 0 1 0 ) , показывающее, что в данной модели при данном значении стохастических матриц в 2005 году ожидается с вероятностью 1 слабый прирост ВВП и слабая борьба с загрязнением окружающей среды.
Аналогично рассматриваются и подмножества ВВП ( валовый продукт промышленности , сельского хозяйства и т..д. ). Эти показатели, которые можно описать 0 = нет , F = малый, 1 = сильный , входящие в состав ВВП , потребуют в формулах только увеличения индекса ( I = 3 , 4 , . . .). Другие показатели, например такой: регулирование отраслей, близких к необратимым изменениям, требующие для своего описания значений нет, слабый, сильный , крити-ческий, максимальный приведут к стохастическим матрицам размерности 5х5 и соответственно к вектор - строкам p 0 I , p 2005 I размерности 5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Тарушкин В.Т. Алгебра Гейтинга нечётких случайных событий. Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11 , в. 2. М: Ред. жур. "ОП и РМ", 2004.
- Ширяев А.Н. Вероятность - 1. М: Изд. МЦНМО, 2004.