В отечественной научной школе решению проблем прогнозирования динамики занятости и рынка труда, долгосрочным оценкам совокупного и текущего спроса на кадры на основе системы факторных динамических моделей вакансий и потенциальных работников посвящены работы А.Г. Коровкина и др. [5, 4]. Методологические подходы к прогнозированию экономической активности населения на основе факторных экстраполяционных и эконометрических моделей изложены в работах С.Г. Кузнецова и др. [7, 6]. Сценарии оценки перспективной потребности экономики РФ в рабочей силе на основе экзогенных демографических и макроэкономических прогнозов приведены в работе А.В. Кашепова [3].
Несмотря на высокую проработку вопросов определения совокупного спроса и экономической активности, внимание следует уделить и прогнозированию численности занятых в экономике, которые производят ВВП.
Начиная с 2000 года в России наблюдается старение трудоспособного населения. Долговременные тенденции снижения рождаемости и увеличения продолжительности жизни приводят к увеличению в населении доли пожилых и старых людей [12]. Эти процессы сказываются на росте среднего возраста и на уменьшении численности занятого населения России.
Таким образом, прогностическая оценка численности занятых в экономике с целью определения возможностей ее покрытия собственными трудовыми ресурсами становится актуальной задачей.
Прогнозирование численности занятых в экономике
В качестве входных данных для моделирования используются данные о численности занятых в экономике по возрастным группам, численности населения по полу и возрастным группам, а также демографический прогноз.
Демографический прогноз численности населения предоставляется Федеральной службой государственной статистики [2]. Перспективная численность населения приводится по полу, типу поселения, возрастным группам, а также отдельным возрастам. Чтобы отразить различные предположения о будущей динамике демографических процессов, численность населения по однолетним возрастам предоставляется для мужчин и женщин в трех вариантах – «нижний», «средний» и «высокий» варианты прогноза. Для проведения расчетов авторами будет использоваться средний вариант прогноза как наиболее вероятный.
Рассмотрим математическую модель прогнозирования численности занятых в экономике на основе регионального демографического прогноза половозрастной численности постоянного населения мужчин и женщин.
Введем следующие обозначения:
Et – численность занятых в экономике в t-м году;
Ema,t – численность мужчин в возрастной группе a в t-м году, занятых в экономике, где a может принадлежать одной из основных возрастных групп: 15–19, 20–24, 25–29 и т.д.;
Efa,t – численность женщин в возрастной группе a в t-м году, занятых в экономике;
pma,t – численность мужского населения в возрастной группе a в t-м году;
pfa,t – численность женского населения в возрастной группе a в t-м году;
pmi,t – численность мужчин возраста i в t-м году;
pfi,t – численность женщин возраста i в t-м году.
На ретроспективном периоде отдельно для мужчин и женщин определяются отношения численности занятых в экономике к численности постоянного населения cma,t и cfa,t в соответствующих возрастных группах:
t ? [ts, t0), (1)
где ts – начало ретроспективного периода; t0 – начало периода прогнозирования.
Необходимость использования половозрастных групп обусловлена сильной дифференциацией по полу и возрасту уровней занятости на ретроспективном периоде. Изменение доли занятых в численности населения в разрезе возрастных групп представлено на рис. 1.
В работе [3] указывается, что на прогнозном периоде значения коэффициентов cma,t и cfa,t могут определяться экстраполяцией их ретроспективных значений. Для прогнозирования cma,t и cfa,t авторы настоящей статьи модифицировали предложенный в [7] метод прогнозной оценки значений коэффициентов занятости от влияющих факторов для каждой из половозрастных групп занятых, используя время в качестве основной переменной.
Такой подход к моделированию численности занятых в экономике позволяет спрогнозировать экономическое поведение соответствующих половозрастных групп населения с учетом ограничения на их численность.
Рис. 1. Фактические уровни занятости по возрастным группам, 2014 г.
С учетом прогнозных коэффициентов (1) выражения для прогнозирования численности мужчин и женщин, занятых в экономике, на основе прогнозных значений численностей мужчин и женщин по отдельным возрастам имеют вид
t ? [t0, tf], (2)
где t0 – начало периода прогнозирования; tf – конец периода прогнозирования; i – индексы однолетних возрастов, принадлежащих возрастной группе a.
Итоговое выражение для прогнозирования численности занятых в экономике Et получается с использованием агрегирования численностей мужчин и женщин, занятых в экономике, по возрастным группам (2):
t ? [t0, tf]. (3)
Результаты расчета с использованием различных трендов для экстраполяции коэффициентов cma,t и cfa,t на прогнозном периоде представлены на рис. 2.
Рис. 2. Варианты прогнозной численности занятых в экономике
Наиболее соответствующий фактическим данным результат получен путем экстраполяции ретроспективных значений коэффициентов cma,t и cfa,t логарифмическим трендом («высокий» вариант прогноза).
В связи с этим для дальнейших расчетов будет использоваться «высокий» вариант прогнозной численности занятых в экономике.
Изменение пенсионного возраста
С использованием выражений (2) и (3) можно оценить, насколько изменится численность занятых при увеличении пенсионного возраста.
Рассмотрим следующие сценарии изменения пенсионного возраста:
? Сценарий «63–63» – пенсионный возраст мужчин и женщин поднимается до 63 лет.
? Сценарий «65–60» – пенсионный возраст мужчин поднимается до 65 лет, женщин – до 60 лет.
? Инерционный сценарий – пенсионный возраст не повышается.
При моделировании занятых в добавочных группах предпенсионного возраста примем допущение, что уровень их занятости будет оставаться на уровне предыдущих возрастных групп. Таким образом, в первом сценарии уровень занятости у мужчин возраста 60–62 будет на уровне 55–59 лет, у женщин возраста 55–62 на уровне 50–54. Во втором сценарии уровень занятости у мужчин возраста 60–65 будет на уровне 55–59 лет, у женщин возраста 55–59 на уровне 50–54.
Расчет по предложенным сценариям с учетом принятых допущений об уровне занятости приводит к результатам, представленным на рис. 3.
Рис. 3. Изменение численности занятого населения России в случае различных сценариев изменения пенсионного возраста
Повышение пенсионного возраста для мужчин и женщин до 63 лет по первому сценарию приведет к увеличению численности занятых на 7 % к концу переходного периода по сравнению с инерционным сценарием. В то же время повышение пенсионного возраста для мужчин и женщин на 5 лет по второму сценарию приведет к повышению численности занятых на 5 %.
Коэффициент естественно-возрастного выбытия
Старение населения, занятого в экономике, закономерно приводит к изменению коэффициента естественно-возрастного выбытия. Под естественно-возрастным выбытием авторами понимается неизбежное выбытие работников, происходящее за определенный период времени: пенсия, нетрудоспособность и т.д.
Данный коэффициент используется для определения одной из составляющих «на замену» ежегодной дополнительной потребности в кадрах [9, 1].
Введем следующие обозначения:
– коэффициент естественно-возрастного выбытия;
– количество умерших из числа занятых;
– количество занятых, вышедших на пенсию по инвалидности (приток);
– количество умерших пенсионеров, получавших пенсию по инвалидности (отток);
– количество занятых, вышедших на пенсию по старости (приток);
– количество умерших пенсионеров, получавших пенсию по старости (отток).
Тогда коэффициент естественно-возрастного выбытия 
может быть определен с использованием выражения
t ? [ts, tf]. (4)
Для нахождения слагаемого 
числителя (4) предлагается следующая модель:
t ? [ts, t0), (5)
где 
– коэффициент вероятности дожития населения возраста i до возраста i + 1 в возрастной группе a.
Значения коэффициентов 
из модели (5) для каждой возрастной категории определяется на ретроспективном периоде с использованием выражения
t ? [ts, t0). (6)
Для нахождения слагаемого 
рассмотрим следующую модель движения занятых, потерявших трудоспособность и получающих пенсию по инвалидности Yt:
t ? [ts, t0). (7)
Из уравнения (7) находим выражение для расчета 
:
t ? [ts, t0). (8)
Ежегодный прирост занятых, потерявших трудоспособность и получающих пенсию по инвалидности ?Y, находится на основе данных официальной статистики о численности пенсионеров, состоящих на учете в системе Пенсионного фонда Российской Федерации [11].
Расчет оттока 
происходит с использованием коэффициентов на основе (6):
t ? [ts, t0), (9)
где Ya,t – численность занятых, потерявших трудоспособность, в возрастной группе a.
Структура численности инвалидов по возрастным категориям Ya,t находится с помощью оптимизации методом наименьших квадратов на ретроспективном периоде.
Количество прибывающих пенсионеров 
находится способом аналогичным нахождению численности занятых, потерявших трудоспособность, в соответствии с (7)–(9).
С помощью выражения (4) на основе прогнозных значений численности занятых и демографического прогноза численности населения получены значения коэффициентов естественно-возрастного выбытия 
на ретроспективном и прогнозном периодах.
Старение населения, занятого в экономике, подтверждается прогнозным расчетом среднего возраста занятых, график которого приведен на рис. 4 (верхняя кривая). Увеличение среднего возраста, в свою очередь, влечет за собой повышение коэффициента естественно-возрастного выбытия (рис. 4, нижняя кривая).
Расчеты показывают, что старение трудоспособного населения России повлечет за собой рост коэффициента выбытия с 2,26 % в 2010 году до 3,37 % в 2030 году. Несмотря на рост коэффициента, его значение не достигает уровня 4 %, который ранее обосновывался допущением [8, 1], что средняя продолжительность работы в экономике равняется 25 годам (0,04 = 1/25). Это свидетельствует о наличии в численности занятых в экономике лиц старше трудоспособного возраста, иными словами работающих пенсионеров.
Снижение «пенсионной нагрузки»
Проанализируем, насколько изменится «пенсионная нагрузка» с изменением коэффициента естественно-возрастного выбытия.
На рис. 5 представлены результаты расчета прогнозной численности неработающих пенсионеров по различным сценариям.
Рис. 4. Динамика среднего возраста занятых и коэффициента выбытия
Рис. 5. Изменение прогнозной численности неработающих пенсионеров в случае различных сценариев изменения пенсионного возраста
Из рис. 5 видно, что повышение пенсионного возраста приведет к небольшому снижению численности неработающих пенсионеров в течение нескольких лет после изменения пенсионного возраста по обоим сценариям. Это вызвано отсутствием притока неработающих пенсионеров на переходном периоде. По истечении этого периода, несмотря на возобновление положительного притока, численность неработающих пенсионеров по обоим сценариям будет оставаться на уровне 60 % относительно инерционного сценария.
Проведенные расчеты показывают, что общий размер выплаченных пенсий по старости и инвалидности для неработающих пенсионеров в 2014 году составляет 0,37 % от объема ВВП. Снижение численности неработающих пенсионеров на 40 %, вызванное увеличением пенсионного возраста, привело бы к снижению размера этих пенсий до 0,22 % от объема ВВП.
Заключение
Предлагаемая методика позволяет осуществлять оценку изменения численности занятых в экономике на основе демографического прогноза численности постоянного населения. Использование детализированных данных по половозрастным группам увеличивает точность моделирования.
Полученные прогнозы численности занятых в экономике дают возможность оценки перспектив производства и потребления, развития социальной инфраструктуры, а также ожидаемых уровней занятости и безработицы. Сравнение прогнозной численности занятых в экономике и прогноза совокупной потребности в кадрах, необходимой для обеспечения прогнозируемого объема ВВП, позволяют делать выводы о целесообразности привлечения зарубежной трудовой силы.
Анализируются возможности увеличения прогнозной численности трудовых ресурсов путем изменения пенсионного возраста по нескольким сценариям. Расчеты показывают, что повышение пенсионного возраста для мужчин и женщин на 5 лет приводит к повышению численности занятых, а также увеличению ВВП от 5 до 7 % на прогнозном периоде. Одновременно с этим уменьшение численности пенсионеров на 40 % снижает «пенсионную нагрузку» на экономику в эквиваленте 0,15 % ВВП.
Установлено, что увеличение среднего возраста занятых в экономике влечет за собой повышение коэффициента естественно-возрастного выбытия. Это, в свою очередь, обозначает рост ежегодного дополнительного спроса на рабочую силу. На переходном периоде, в случае повышения пенсионного возраста, дополнительная потребность в кадрах будет покрываться увеличенной численностью занятых. По окончанию переходного периода отсутствие необходимого количества собственных трудовых ресурсов для покрытия дополнительной потребности приведет к необходимости увеличения квот для иностранных мигрантов, что может привести к росту напряженности на рынке труда [10].