Scientific journal

Fundamental research

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

Модулярные коды полиномиальной системы классов вычетов ПСКВ обладают потенциальными возможностями по построению кодов, способных обнаруживать и исправлять ошибки в процессе выполнения операций, независимо от природы возникновения арифметических ошибок [1,2,3,4].

В случае обнаружения ошибки производится коррекция ошибочной комбинации. Для реализации данной процедуры рассмотрим следующую теорему.

Теорема: если в нормированной системе оснований ПСКВ р₁(z), p₂(z),..., р_к+1(z) задан полином A(z)=(a₁(z), a₂(z), ...,a_k+1(z)) с нормированным следом γ_k+i(z), то данный полином является разрешенным при условии γ_k+i(z)=0, в противном случае - он содержит ошибку [1,2].

Доказательство

Применение китайской теоремы об остатках позволяет представить полином A(z) = (a₁ (z), a₂(z), ...,a_k+l(z)) в виде суммы ортогональных полиномов

A(z) = (a₁(z), a₂(z), ...,a_k+l(z)) =a_i(z)B_i(z)modP_полн(z).                                          (1)

Если положить условие, что полином A(z) является разрешенным, т.е. A(z)ÎP_pa6(z), то справедливо

A(z) = (a₁(z), a₂(z), ...,a_k(z)) = a_j(z)B_j^*(z)modP_раб(z)                                             (2)

где B_j^*(z) - ортогональные базисы безизбыточной системы оснований.

Тогда имеем

(a₁(z), a₂(z), ...,a_k+l(z))= (a₁(z), a₂(z), ...,a_k(z))                                                  (3)

Расширив безубыточную систему оснований ПСКВ р₁(z), p₂(z),..., p_k(z) на основание p_k+1(z), представим ортогональные базисы в виде

|a₁(z)B₁^*(z)| ⁺_Pраб(z)=(a₁(z),0,0,...,0, y¹_k+1(z))=A₁(z);

|a₁(z)B₁^*(z)| ⁺_Pраб(z)=(0, a₂(z),0,...,0, y²_k+1(z))=A₂(z);                       (4)

...

|a_k(z)B_k^*(z)| ⁺_Pраб(z)=(0, 0,0,...,a_k(z), y^k_k+1(z))=A_k(z);

Таким образом, получены псевдоортогональные полиномы, у которых ортогональность нарушена по контрольному основанию. Тогда нормированный след и S_k+1(z) полинома A(z) определяется как разность исходного A(z) и величин m псевдоортогональных полиномов

A(z)- A₁(z) = y_k+1(z)                                                  (5)

Поскольку, согласно (3) выхода за пределы рабочего диапазона не происходит, то значение нормированного следа полинома y_k+1(z)однозначно определяет факт наличия ошибки.

Если полином A(z) является разрешённым, то на основе (2) и (3) имеем, что значение нормированного следа y_k+1(z) = 0.

Допустим, что ошибка возникла по i-ому основанию, i = 1,2,...,к+1. Рассмотрим случай, когда i= к+1. Тогда A^*(z) = (a₁(z),a₂(z),...,a^*_k+I(z)). Так как все остатки по рабочим основаниям не изменялись, то сумма псевдоортогональных полиномов A_i(z), i=1,2, ...,k, по контрольному основанию даст значения

 yⁱ_k+1(z)mod p _k+1(z)= a_k+I(z).

Но так как ошибка произошла по избыточному основанию, то справедливо a^*_k+I(z) ≠a_k+I(z)

Следовательно, нормированный след полинома y_k+1(z)≠0.

Пусть ошибка произошла по рабочему основанию p _i(z), где i = 1,2,...,к. Тогда полином примет вид A^*(z) = (a₁(z),...,a^*_i(z),...,a_k+I(z)). Очевидно, что изменение величины остатка a_i(z) ≠ a^*_i(z) ведет к использованию в выражении (5) вместо псевдоортогонального полинома A_i(z)другого полинома A_i^*(z). Таким образом γⁱ_k+1(z)≠ γ^*_k+1(z). Следовательно, y_k+1(z) ≠0. Значит полином A^*(z) содержит ошибку.

Доказательство закончено.

Очевидно, что доказанная теорема позволяет использовать позиционную характеристику нормированный след полинома для построения эффективных процедур поиска и локализации ошибок в модулярных кодах ПСКВ. При этом значение номера интервала, в который попадает ошибочный полином A^*(z) равен значению остатка по контрольному модулю y_k+1(z) и определяется следующим образом [3]

l(z)= y_k+1(z)=[∆a_i(z)m_i(z)р_k+1(z) /p_i(z)]modp_k+1(z).                                        (6)

Поскольку каждая из ошибок может перевести правильный полином A(z) в полином A^*(z), лежащий вне нулевого диапазона P_полн(z),то зная номер интервала куда попал A^*(z), можно определить совокупность оснований, в остатках которых могла произойти ошибка. Кроме того, существенным фактором является возможность определения величины ошибки, которая перевела разрешенную комбинацию A(z) в запрещенный диапазон [4].

В связи с этим открывается дополнительные возможности к сокращению процесса определения места ошибки. Поскольку ошибки по рабочим основаниям p₁(z), p₂(z),...,p_n(z) могут располагаться лишь в интервалах, определенных выражением ord p_i(z)³ ord p_k+1(z),то в случае когда имеет место ошибка, не относящаяся ни к одному из возможных интервалов, можно утверждать, что она имела место в остатке по контрольному основанию p_n+1(z).

Следует отметить, что распределение ошибок по интервалам числового диапазона полностью зависит от величины контрольного основания, т.е. от имеющей место избыточности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Калмыков И.А. Математические модели нейросетевых отказоустойчивых вычислительных средств, функционирующих в полиномиальной системе класса вычетов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -274с.
2. Калмыков И.А., Червяков Н.И., Щелкунова Ю.О., Бережной В.В. Архитектура отказоустойчивой нейронной сети для цифровой обработки сигналов /Нейрокомпьютеры: разработка, применение. №12, 2004, с.51-60.
3. Калмыков И.А., Тимошенко Л.И., Резеньков Д.Н. Непозиционное кодирование информации в конечных полях для отказоустойчивых спецпроцессоров цифровой обработки сигналов. - Инфокоммуникационные технологии. №3 2007 года, с.36-39.
4. Калмыков И.А., Ермолаева Е.В., Резеньков Д.Н.. Спектральный методобнаружения и коррекции ошибок в кодах ПСКВ. - Научно-техническая конференция. ч.1, с.153.