Сопоставление результатов, изложенных в предыдущих сообщениях [3, 4], указывает на существование связей между показателями ряда свойств меловальной суспензии и мелованной бумаги, что проявляется в корреляциях между наблюдаемыми переменными (свойствами) Y₁, Y₂, …, Y_m, включенными в исследование. Наличие корреляций является следствием существования нескольких (меньше, чем число переменных m) «латентных» факторов, изменение которых под влиянием условий (состава меловальной суспензии) вносит совместный вклад в варьирование реологических и бумагомодифицирующих свойств суспензии. Для анализа структуры связей между переменными используются методы многомерного факторного анализа [1, 5].

Дисперсии и корреляции нормализованных переменных Y₁, Y₂, …, Y_m образуют m×m матрицу С = {c_ij} с дисперсиями на главной диагонали (при i = j) и корреляциями вне главной диагонали (при i ¹ j). Задача факторного анализа заключается в построении математической модели в виде линейной регрессии

Y_i = l_i1f₁ + l_i2f₂ + … + l_itf_t + ε_i; i = 1, …, m; m > t (1)

на основании информации, заключенной в корреляционной матрице С. В выражении (1) переменные f_j – латентные факторы; коэффициенты l_ij – нагрузки j-го фактора в i-й переменной. Слагаемые ε_i – остатки с дисперсиями v_i, представляющие собой источники отклонений, действующие только на Y_i. Факторная модель (1) содержит в себе следующую основную гипотезу факторного анализа: множество коррелированных переменных Y_i (i = 1, 2, …, m) можно описать меньшим числом латентных факторов f_j (j = 1, 2, …, t; m > t) и множеством независимых остатков ε_i (i = 1, …, m).

Из выражения (1) следует, что корреляционная (в общем случае ковариационная) матрица может быть выражена через нагрузки и остаточные дисперсии:

C = LL^Т + V, (2)

где L – матрица m×t факторных нагрузок l_ij; V – диагональная матрица m×m c остаточными дисперсиями v_i на диагонали.

При умножении L в выражении (2) на любую ортогональную матрицу размера t×t произведение LLТ не изменяется. Следствием этого является существование бесчисленного множества решений, удовлетворяющих равенству (2) и равноценных по статистическим критериям. Поиск наилучшей модели (1) проводят в два этапа. Вначале находят частное решение, удовлетворяющее какому-либо дополнительному формальному ограничению, однозначно фиксирующему факторные нагрузки. Затем производят ортогональное преобразование L («вращение» пространства факторов), при котором латентные факторы приобретают физическую содержательность.

Экспериментальная часть

Исследовали меловальную суспензию со следующим соотношением компонентов (по массе): пигменты 84,0 %, связующие 14,4 %, глицерин 0,7 %, Na-полифосфат 0,9 %. В качестве пигментов использовали каолин, тальк, мел и их смеси. Массовую долю каждого из пигментов в их смеси варьировали в диапазоне значений от 0 до 1 согласно симплекс-центроидному плану эксперимента (7 уровней) [2, 6]. В качестве связующих использовали натриевую соль карбоксиметилцеллюлозы (далее КМЦ), бутадиенстирольный латекс (БДС), поливинилацетатный латекс (ПВА) и их смеси. Массовую долю (по сухому веществу) каждого из связующих в их смеси варьировали также от 0 до 1 с использованием симплекс-центроидного плана (7 уровней). Меловальные составы наносили на бумагу с помощью лабораторного шаберного устройства. Свойства суспензии и мелованной бумаги характеризовали следующими показателями:

Y₁ – эффективная вязкость меловальной суспензии, Па·с;

Y₂ – индекс течения (степень аномальности течения);

Y₃ – эффективная энергия активации течения суспензии, кДж/моль;

Y₄ – условная вязкость суспензии, с;

Y₅ – водоудерживающая способность суспензии;

Y₆ – плотность мелованной бумаги, г/см3;

Y₇ – масса наноса покрытия, г/м2;

Y₈ – сопротивление бумаги разрыву;

Y₉ – воздухопроницаемость мелованной бумаги, см3/мин;

Y₁₀ – смачиваемость покрытия, г/м²;

Y₁₁ – жесткость бумаги, единицы градуировки прибора.

Кроме того, для облегчения интерпретации результатов факторного анализа в число свойств включены переменные, характеризующие составы меловальных суспензий:

Y₁₂, Y₁₃, Y₁₄ – массовые доли соответственно каолина, талька и мела в составе пигмента;

Y₁₅, Y₁₆, Y₁₇ – массовые доли соответственно КМЦ, БДС и ПВА в составе связующего.

Методы определения и статистические характеристики свойств Y₁ ... Y₁₁ приведены в нашем предыдущем сообщении [4]. Объем выборки составил 49 наблюдений (объектов). Для статистической обработки (корреляционного и факторного анализов) использован пакет прикладных программ Statistica v.10.

Результаты исследования и их обсуждение

Элементы матрицы парных линейных корреляций С между переменными Y₁ ... Y₁₁ приведены в табл. 1 (верхняя половина над главной диагональю).

Три первых – собственные числа EV матрицы корреляций больше 1, они приведены в табл. 2. Следовательно, для анализа структуры корреляционных связей между изучаемыми свойствами (объектами) имеет смысл привлечь три латентных фактора, ответственных за 65,6 % суммарной дисперсии переменных. Факторные нагрузки l_ij (табл. 3) вычислили методом итеративных общностей minres, для ортогонального преобразования использовали критерий varimax, при котором вращение пространства латентных факторов осуществляется с таким расчетом, чтобы наибольшее число элементов в столбцах матрицы нагрузок оказалось близким к 0 или 1 (по абсолютной величине). Элементы главной диагонали матрицы корреляций (табл. 1) соответствуют остаточным дисперсиям переменных (за вычетом долей, обусловленных влиянием латентных факторов), ниже диагонали помещены остаточные корреляции между переменными.

Наглядное представление о связи наблюдаемых переменных с латентными факторами дает рисунок – проекции точек с координатами из табл. 3 на двумерные грани трехмерной области факторного пространства.

Таблица 1

Элементы матриц корреляций между Y₁ ... Y₁₁ (над главной диагональю; критическое значение ±0,28 при уровне значимости 0,05), остаточных дисперсий (на диагонали) и остаточных корреляций (под диагональю)

Таблица 2

Собственные числа (EV – Eigenvalue) матрицы корреляций

Таблица 3

Нагрузки l_ij латентных факторов f_j в переменных Y_i

Наибольшие нагрузки первого латентного фактора приходятся на переменные Y₁, Y₃ и Y₄, характеризующие вязкость меловальной суспензии, а также на переменные Y₁₅ и Y₁₆. Поскольку увеличение доли КMЦ в связующем сопровождается наибольшим повышением вязкости суспензии, а введение БДС, напротив, резко снижает вязкость [3], логично интерпретировать природу первого фактора как соотношение этих двух компонентов в составе связующего. С такой интерпретацией согласуются также большие положительные нагрузки первого фактора на переменные Y₁₀ и Y₁₁ и отрицательная – на Y₇.

Второй фактор однозначно интерпретирован как доля каолина в составе пигмента. На это указывает его высокая положительная нагрузка в переменной Y₁₂ и отрицательная – в переменной Y₉. Известно, что каолин в покрытии уменьшает воздухопроницаемость мелованной бумаги в значительно большей степени, чем тальк и мел [3, 7].

Природа третьего фактора связана с долей ПВА в составе связующего (переменная Y₁₇), наиболее существенно его влияние отразилось на степени аномальности течения (переменная Y₂) и водоудерживающей способности (переменная Y₅) суспензии.

Связь объектов наблюдений с латентными факторами (числа у точек – индексы i переменных Y_i)

Заключение

Факторный анализ можно рассматривать в определенном смысле как один из способов группировки свойств изучаемых объектов по характеру их связи с гипотетическими «латентными факторами». Во многих случаях результаты такой группировки не противоречат результатам кластеризации свойств [4]. Некоторые различия обусловлены принципиально разными механизмами классификации: кластерный анализ оперирует многомерными «геометрическими расстояниями» между свойствами, а факторный – корреляционными связями между ними. Оба способа исследования взаимно дополняют друг друга.

Рецензенты:

Алашкевич Ю.Д., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Машины и аппараты промышленных технологий», ФГБОУ ВО «Сибирский государственный технологический университет», г. Красноярск;

Доррер Г.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Системотехника», ФГБОУ ВО «Сибирский государственный технологический университет», г. Красноярск.