Волны напряжений различной природы, распространяясь в деформируемом теле, взаимодействуют друг с другом. После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении. Некоторые результаты рассматриваемого численного метода приведены в следующих работах [1–2, 4–10].

Моделирование широко применяется при решении научных и прикладных задач. Математические модели являются наиболее характерными в естественнонаучных исследованиях. Физические модели имитируют часть свойств исследуемого объекта. Поставленная задача реализуется с помощью уравнений математической нестационарной динамической теории упругости. При решении сложных задач возникают проблемы оценки достоверности полученных результатов. На основании изложенного можно утверждать, что оценка точности и достоверности результатов численного моделирования волн напряжений в областях сложной формы является актуальной фундаментальной и прикладной научной задачей. В работах [1–2, 4–5, 9–10] приведена информация о постановке волновых задач теории упругости.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

(1)

где σ_x, σ_y и τ_xy – компоненты тензора упругих напряжений; ε_x, ε_y и γ_xy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и ОY соответственно; ρ – плотность материала; – скорость продольной упругой волны; – скорость поперечной упругой волны; v – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; – граничный контур тела Γ.

Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Систему (1) в области, занимаемой телом Γ, следует интегрировать при начальных и граничных условиях. Начальные условия в области Γ зададим в виде

(2)

где u₀, v₀, и – заданные в области Γ функции.

Граничные условия зададим в виде

составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе S1

(3)

составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе S2

(4)

где l и m – направляющие косинусы; A_x, A_y, B_x и B_y – заданные на границе S функции.

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Γ, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

(5)

где – матрица инерции; – матрица жесткости; – вектор узловых упругих перемещений; – вектор узловых упругих скоростей перемещений; – вектор узловых упругих ускорений; – вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (5) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (5). В работах [1–10] приведена информация о численном моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых телах.

Для интегрирования уравнения (5) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

(6)

Интегрируя по временной координате соотношение (6) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек:

(7)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина. Система уравнений (5) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы (1). Шаг по временной переменной Δt определяем из следующего соотношения:

(i = 1, 2, 3, ..., r), (8)

где Δl – длина стороны конечного элемента.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при взрывных воздействиях на уникальные сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейный конечный элемент первого порядка. Некоторые вопросы в области постановки, разработки методики, алгоритма и результатов решенных нестационарных динамических задач рассмотрены в следующих работах [1–10]. Рассмотрим задачу об отражении упругих волн напряжений в виде треугольного импульса от свободной поверхности.

Рис. 2. Воздействие в виде треугольного импульса

На границе пластинки AB (рис. 3) приложено нормальное напряжение σy (рис. 2), которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/Δt) изменяется линейно от 0 до P, а при n ≥ 10 от P до 0 (P = σ₀, σ₀ = –0,1 МПа (–1 кгс/см2)). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 . Контур CD свободен от нагрузок. Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 190. Исследуемая расчетная область имеет 4221 узловую точку и 4000 конечных элементов. Решается система уравнений из 16884 неизвестных.

Рис. 3. Постановка задачи об отражении волн напряжений

Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения во времени n в точке B1

Для примера на рис. 4 представлено изменение нормального напряжения во времени n в точке B1. При отражении от свободной поверхности пластинки волна сжатия становится волной растяжения, которая может привести к отколу.

Достоверность рассматриваемого численного метода приведена в следующих работах [2, 4–10]. Сравнение с результатами других методов показало хорошее совпадение, что позволяет сделать вывод о физической и математической достоверности результатов численного решения динамических задач, полученных методом конечных элементов в перемещениях.

Рецензенты:

Савчин В.М., д.ф.-м.н., профессор кафедры математического анализа и теории функций факультета физико-математических и естественных наук, Российский университет дружбы народов, г. Москва;

Зволинский В.П., д.х.н., профессор кафедры экологического мониторинга и прогнозирования экологического факультета, Российский университет дружбы народов, г. Москва.

Работа поступила в редакцию 05.08.2014.