Пусть A дифференциальный оператор

(1)

определенный на множестве функций D(A) ∈ L₂ [0, 1] и непрерывные на [0, 1] вместе со своими производными до четвертого порядка включительно и удовлетворяют некоторым граничным условиям, например

(2)

И пусть q(x) ≥ 0 на интервале (0, 1).

Такое множество D(A) является линейным многообразием, всюду плотным в гильбертовом пространстве L₂[0, 1].

Определение. Линейный симметричный оператор A называется положительным, если для любого u ∈ D(A) выполняется неравенство , причем [1, 2].

Из определения следует, что A –положительно определенный оператор.

Рассмотрим операторное уравнение в гильбертовом пространстве L2 [0, 1] с оператором (1)

. (3)

Теорема. Уравнение (3) с положительным оператором A имеет не более одного решения в D(A).

Доказательство. Допустим, что операторное уравнение (2) имеет два решения u1 и u2. Тогда Au1 = f или

Аналогично Au2 = f или

Вычи:

или

Из последнего равенства следует, что

Из приведенного выше определения положительности получаем, что и это равносильно тому что

Таким образом, u1 = u2.

Уравнением (1) описывается, например, поперечный прогиб u(x) балки [3] под действием распределенной поперечной нагрузки f(x), f(x) ∈ L2(0, 1), где балка имеет постоянную жесткость на изгиб и лежит на упругом основании, реакцию которого определяет слагаемое q(x)u(x), q(x) ≥ 0 на интервале (0, 1).

При таком физическом смысле постановки задачи граничные условия отражают то, как закреплены ее концы. Так, для консольной балки с жестко защемленным левым и свободным правым концами граничные условия имеют вид

Если балка имеет на концах опоры, допускающие (в отличие от жесткого защемления) поворот ее поперечного сечения, пропорциональный в этом сечении изгибающему моменту, то в этом случае граничные условия принимают следующий вид:

Из этих уравнений при α = β = 0 вытекают условия жесткого защемления, а при α → ∞ и β → ∞ – шарнирного опирания, и условия принимают вид (2).

Рассмотрим функционал вида

(4)

Справедлива следующая теорема о квадратичном функционале.

Теорема. Для того, чтобы элемент u0 ∈ D(A) был решением операторного уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы квадратичный функционал (4) на u0 принимал свое минимальное значение в D(A), т.е.

Доказательство: Необходимость. Пусть на элементе u0 функционал (4) принимает минимальное значение в D(A), т.е.

Используя свойства скалярного произведения и симметричности положительного оператора, получаем:

При u ≠ 0;

правая часть полученного выражения является квадратным трехчленом

Данный трехчлен свое минимальное значение принимает при δ = 0

Последнее равенство означает, что элемент Au0 – f ∈ L2[0, 1] является нулевым элементом этого пространства, так как оно верно ∀u ∈ D(A) ⊂ L2[0, 1], т.е. Au0 – f = 0, а значит u0 ∈ D(A) является решением (1).

Достаточность. Функционал (4) определен при всех u ∈ D(A). Пусть u0 удовлетворяет (1): Au0 = f. Подставляя это значение вместо f в (4), получаем:

Отсюда

и в силу положительности оператора A имеем

Так как

Теорема доказана.

При таком раскладе решения операторного уравнения (3) можно построить итерационный процесс [1] со скоростью геометрической прогрессии, с помощью которого можно найти минимальный элемент специального вида функционала, поиск которого является эквивалентным поиску минимального элемента функционала (4).

Введем оператор А0 следующим образом: обозначим

u(4) = v,

или в операторной форме

A0u = ν,

где  – оператор однозначно разрешим в пространстве L2(0, 1) с заданными краевыми условиями.

Тогда уравнение (3) примет вид

(5)

Если v найдено, то u вычисляется по формуле

Обозначим

(6)

При ω = ν, где ν ‒ решение (5), имеем J(ω) = 0 и наоборот.

Будем предполагать, что уравнение (5) для любой правой части f(x) ∈ L₂(0, 1) имеет единственное решение. Следовательно, из теоремы Банаха вытекает, что

(7)

где (8)

и норма  – вычисляется явно в пространстве L2(0, 1).

причем

Построим итерационный процесс.

Пусть ω_n n-е приближенное решение уравнения J(ω_n) = 0.

Положим

ω _n+1 = ω_n – εω,

где ε – положительное число.

Тогда

Мы воспользовались линейностью интегрального оператора A0.

Выберем

Тогда

(9)

В силу условия (1.11) имеем

Поэтому из (1.13) следует

Выберем

Тогда получим

(10)

Для разности ωn+1 – ωn имеем

Это неравенство и (10) дают следующий результат:

Теорема 1.2.1. Пусть для любого f(x) ∈ L₂(0, 1) задача (3) имеет единственное решение , причем оператор M, определенный по (5), удовлетворяет условиям , причем справедливо неравенство cd > 1. Тогда для любого ω₀ ∈ L₂(0, 1) последовательность, определяемая по формулам

,

сходится к решению ω• уравнения (1.9’), причем выполнены оценки

где . При этом функция u = A^–1 ω_• будет решением задачи (5).

Доказательство. Из (10) и последующих неравенств следует, что

Докажем сходимость приближенного решения к решению исходной задачи:

{ω_n} – фундаментальная последовательность, L₂(0, 1) – полное гильбертово пространство, тогда существует такой элемент ω•, что ωn → ω• в L₂(0, 1) и из непрерывности оператора M получим J(ω_n) → J(ω_•). Тогда из первого неравенства теоремы следует, что J(ω_•) = 0, то есть Mω_• = f и u = A^–1ω_•.

Теорема доказана.

Рецензенты:

Оразбаев Б.Б., д.т.н., профессор, Атырауский институт нефти и газа, академик ИА РК, г. Атырау;

Хасанов А., д.ф.-м.н., профессор, Актюбинский университет им. С. Баишева, г. Актобе.

Работа поступила в редакцию 21.05.2014.