При движении воды по трещинам пород, содержащих растворимые включения, происходит увеличение раскрытия трещин за счет раст­ворения их стенок. Процесс выноса солей включает как диффузион­ный транспорт их от поверхности растворения, так и конвективный перенос фильтрующимся потоком. Рассмотрим процесс для наиболее простой схемы одиночной заполненной дисперсным материалом трещи­ны длиной l и шириной 2h; скорость фильтрации считается постоян­ной и равной v (рисунок). Такого рода задача была исследована А.Н. Патрашевым [5] для условий стационарной диффузии и при пре­небрежении диффузионным переносом в направлении конвекции. Счи­талось также, что коэффициент диффузии одинаков по всем направ­лениям. Следующее аналитическое решение, свободное от указанных допущений, при­ведено в работе [2].

Расчетная схема растворения заполненной трещины

В связи с тем, что v = const, коэффициенты продольной и попе­речной конвективной диффузии D1 и D2 также будут постоянными, но различными по величине. Процесс растворения и выноса солей из трещины в таких условиях будет описываться уравнением нестацио­нарной конвективной диффузии в прямоугольной области 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ 2h:

(1)

с краевыми условиями:

C(x,y,0) = C(x,0,t) = C0; (2)

(3)

. (4)

Применяя к (1) интегральное преобразование Лапласа по переменной t с учетом начального условия (2), получим

(5)

причем

,

где p – параметр преобразования.

Граничные условия (2)–(4) также могут быть представ­лены в форме изображений:

(6)

(7)

Дальнейшее упрощение хода решения задачи может быть достигнуто путем использования конечного синус-преобразо­вания Фурье по переменной у в форме

.

При этом параметр преобразования может принимать ряд значений, определяемых из уравнения cosλnh = 0, т. е.

(8)

Определив изображения постоянной и второй производной , включающие гранич­ные условия (6), получим следующее одномерное уравнение для u(x, λn, p):

(9)

Это уравнение должно решаться при граничных условиях

(10)

Представим общее решение (9) в виде

(11)

где

Подстановка (11) в условия (10) позволяет определить постоянные

С учетом этих значений постоянных частное решение (9) записывается в виде

(12)

где

Обратный переход к функции с осуществляется по формуле обращения

Имея в виду, что

получим

(13)

Переход к оригиналу в последнем выражении производится по теореме разложения, что дает окончательное выражение для распределения концентраций в сечении трещины. Опуская промежуточные выкладки, представим это выражение в таком виде:

(14)

Здесь

– критерий Пекле; – критерий Струхаля или кратность обмена жидкости в трещине.

В этих обозначениях перепишем уравнение (1) в следующем виде [1]

(15)

Умножая обе части уравнения (15) на l2/D1, получим

или

(16)

где C = C/C0.

Для получения стационарного распределения концентраций в трещине уравнение (16) решаем разностным методом, называемым продольно-­поперечной разностной схемой. В этой схеме переход от слоя n к слою n + 1 осуществляется в два этапа. На первом этапе опреде­ляют промежуточные значения из системы уравнений

(17)

а на втором этапе, пользуясь найденными значениями Yij, находят из системы уравнений

(18)

Алгоритм решения уравнений (17) и (18). Перепишем уравнение (17) в виде

, (19)

где

Уравнение (19) решается при каждом фиксированном j = 1, 2,..., N2 – 1 методом прогонки по переменному i. Чтобы применить прогонку, надо знать граничные значения В данном случае, . После того как все найдены, решается уравнение (18). Переписывая это уравнение подробнее:

(20)

где

видим, что при каждом фиксированном i = 1, 2,...N1 – 1 его можно ре­шить с помощью одномерной прогонки. Граничные условия в данной задаче , По приведенному алгоритму для определения распределения концентраций по трещине составлена и от­лажена программа на языке ТPascal 7.1.

В таблице приведены численные результаты расчета распределений концентраций раствора в заполненной трещине по указанной программе в сопоставлении с численными результатами, полученными по методу А.С. Малышева.

Распределение концентраций раствора в заполненной трещине при h0 = 0,1, D0 = 0,1, x = 1

Сравнительный анализ численных результатов показывает удов­летворительное соответствие между полученными численными резуль­татами по приведенной программе и результатами, полученными по методу А.С. Малышева.

Стационарное распределение концентраций в трещине (при ϑ → ∞) определяется зависимостью (14) без последнего чле­на [2].

В тех случаях, когда скорость фильтрации v значительна, коэффициент конвективной диффузии может определяться из соотношения D1,2 = λ1,2v. Критерий Пекле, в свою очередь, может быть представлен в виде ξ = l/2λ1. Так как параметр λ1 по величине близок к среднему размеру зерен заполнителя трещины, представляет интерес получение зависимостей, при­годных при больших значениях критерия Пекле (x ≥ 10). Оценивая для этого аргумент гиперболических функций в (13), найдем, что в области 0,1 < х0 < 0,9 с незначительной погреш­ностью можно принимать shz = ez/2. Тогда (13) упрощается и имеет вид

(21)

Переход к оригиналу и введение принятых безразмерных величин дает следующую зависимость для распределения кон­центраций при больших значениях критерия Пекле (x ≥ 10).

(22)

Здесь

– диффузионный критерий Фурье.

Из выражений (14) и (22) можно определить диффузи­онный поток солей от растворяющейся стенки трещины и, сле­довательно, приращение раскрытия трещины 2d в любом ее сечении на некоторый момент времени t. Очевидно, что

(23)

Подставляя (14) в (23), получим после некоторых пре­образований следующую зависимость для d:

(24)

Для оценки интенсивности раскрытия трещины при раство­рении ее стенок удобно рассматривать средние по длине тре­щины приращения раскрытия. Из (24) для этой цели может быть получено выражение

(25)

Имея в виду, что при больших значениях ξ можно поло­жить , а также заменяя гиперболические функции показательными , получим для стационар­ного режима растворения

(26)

Величина раскрытия трещины в процессе растворения

, (27)

определяемая по зависимости (24), не остается постоянной, а меняется как по длине трещины, так и во времени. Следова­тельно, задача, рассмотренная выше при h = const, дает доста­точно точные результаты только при δ < 0,2h. Если это условие не соблюдается, расчет должен проводиться в две стадии. Сна­чала для заданного времени t по (25) или (26) определяется среднее раскрытие трещины <2h>, которое затем подставляет­ся во все итоговые зависимости. Этот прием позволяет прибли­женно учесть изменение размеров трещины в процессе раство­рения.

Рецензенты:

Агаханов Э.К., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Автомобильные дороги, основания и фундаменты», ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет», г. Махачкала;

Баламирзоев А.Г., д.т.н., профессор кафедры прикладной математики Махачкалинского филиала МАДИ, г. Махачкала.

Работа поступила в редакцию 22.04.2013.