Современные наукоемкие технические процессы невозможно реализовать без дополнения их современными достижениями теории управления. Как известно, во многих линейных управляемых системах, управляющие параметры могут находиться как в правой части уравнения, так и в граничных условиях. Кроме того, многие важные в теории управления множества обладают свойствами инвариантности. Также известны необходимые и достаточные условия слабой инвариантности области выживания при различных ограничениях на управления [1, 4, 6].

Известно, что задача приведения фазовой точки на целевое множество G с дальнейшим удержанием на нем эквивалентна задаче приведения фазовой точки на ядро живучести области выживания G. При этом возникает следующий вопрос качественного характера, который рассматривается в данной работе: существует ли непустое подмножество множества G, слабо инвариантное относительно рассматриваемой управляемой системы [2].

Постановка задачи. Пусть дана линейная управляемая система

(1)

где x ∈ R – фазовый вектор, A – d×d матрица, u ∈ P – параметр управления, который принимает значения из непустого выпуклого компактного подмножества пространства Rd.

Определение 1. Множество Y ⊂ Rd называется слабо инвариантным относительно системы (1), если для любой начальной точки x0 ∈ Y существует управление такое, что для всех t ≥ 0.

Определение 2. Множество Y ⊂ Rd называется сильно инвариантным относительно системы (1), если для любых x0 ∈ Y и , существует при всех t ≥ 0.

Определение 3. Максимальное подмножество Y ⊂ Rd, слабо инвариантное относительно системы (1), называется ядром живучести множества Y относительно системы (1) и обозначается через core(1)Y.

Предположим, что G – непустое выпуклое замкнутое подмножество Rd. Ядро выпуклого множества G, которое обозначим через , является выпуклым замкнутым подмножеством G [3].

Вектор a ∈ Rd называется асимптотическим направлением множества Y ⊂ Rd, если Y + λa ⊂ Y для всех λ ≥ 0. Совокупность всех асимптотических направлений множества Y обозначим через , т.е.

Согласно определению ядро множества Y ⊂ Rdотносительно однородной системы

(2)

определяется формулой

Положим

L = A–1P, ,

где A–1Z – прообраз множества Z при отображении A.

Результаты. Лемма 1. Справедливы включения

Доказательство. Первое включение вытекает из определений множеств L, , так как

Пусть По определению множества найдется u0 ∈ P такое, что и x0 ∈ G. Положив u(t) ≡ u0, рассмотрим соответствующую траекторию системы (1). Поскольку сильно инвариантно относительно системы (2), то

при всех t ≥ 0. Следовательно, Лемма доказана.

Согласно лемме [8], если то

(3)

Отсюда следует, core(1)G компактно, если Также из теоремы [7] получим если

Лемма 2. Пусть не является линейным подпространством Rd. Тогда существует собственный вектор матрицы A, принадлежащий .

Доказательство. На единичной сфере рассмотрим систему

(4)

Ясно, что если есть луч, то его направляющий вектор будет собственным для матрицы A. Далее, пусть отлично от луча. Положим . Так как выпуклый конус не является линейным подпространством Rd, то найдется ненулевой вектор m ∈ Rd такой, что (m, y) ≥ 0 для всех y ∈ Σ. Отсюда следует, что оператор ортогонального проектирования Π из Rd на является гомеоморфизмом Σ на ΠΣ. Ясно, что ΠΣ есть выпуклый компакт. Поэтому Σ обладает свойством неподвижной точки [5]. Пусть xtодна из неподвижных точек. В силу компактности Σ существует последовательность {tn} такая, что tn ↓ 0 и , x* ∈ Σ при n → +∞ Далее, аналогично теореме [7] доказывается, что x* – точка покоя системы (4), т.е. Таким образом, единичный вектор является собственным для матрицы A. Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, если матрица A не имеет действительных собственных чисел, то является линейным подпространством Rd.

Легко убедиться, что если G = G0 + G1 где G0 –линейное подпространство Rd и G1выпуклый компакт, то является максимальным подпространством G0, инвариантным относительно A и = G0.

Теорема 1. Пусть есть линейное подпространство Rd. Тогда для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство теоремы. Достаточность. Доказательство достаточности теоремы вытекает из леммы 1.

Необходимость. Предположим, что . Введем обозначения: J – ортогональное дополнение к в Rd; Π – оператор ортогонального проектирования из Rd на J;

Из (3) следует, что Ω есть выпуклое компактное подмножество J и .

Далее, рассмотрим управляемую систему

(5)

где y ∈ Rd – фазовый вектор, u ∈ P – параметр управления.

Множество Ω является слабо инвариантным относительно системы (5). Действительно, пусть y0 ∈ Ω т.е. y0 = Πx0 для некоторого Согласно определению 3 найдется такое, что

(6)

для всех t ≥0 где Так как инвариантно относительно A, то

(7)

Следовательно, функция является решением задачи Коши , y(0) = y0. Из (6) следует, что y(t) ∈ Ω для всех t ≥ 0. Таким образом, Ω – слабо инвариантно относительно системы (5).

Далее, по теореме [7] существует точка покоя y* системы (5), принадлежащая Ω. По определению точки покоя найдется u* ∈ P такое, что

Следовательно, и включение y* ∈ G очевидно. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть есть линейное подпространство Rd и detA ≠ 0. Тогда в том случае, если

Доказательство. В соответствии с леммой 1 и теоремой 1 достаточно показать, что если то

Предположим, что Поскольку detA ≠ 0 и подпространство инвариантно относительно A, то

Значит,

(8)

Так как – линейное подпространство Rd, содержащееся в , то из (8) вытекает, что Теорема доказана.

Заключение

В статье приведены условия для существования ядра выпуклого множества G, слабо инвариантного относительно линейной управляемой системы. Основными результатами статьи являются:

• Теорема 1. Пусть есть линейное подпространство Rd. Тогда для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

• Теорема 2. Пусть есть линейное подпространство Rd и detA ≠ 0. Тогда в том случае, если

Рецензенты:

Нысанов Е.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Теория и методика преподавания информатики» Южно-Казахстанского государственного университета им. М.Ауэзова, г. Шымкент;

Шалданбаев А.Ш., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Математические методы и моделирование» Южно-Казахстанского государственного университета им. М.Ауэзова, г. Шымкент.

Работа поступила в редакцию 04.04.2012