Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БРУСА БАТАНА НА ФАЗЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БЕРДА С ОПУШКОЙ ВЫРАБАТЫВАЕМОЙ СЕТКИ

Тувин А.А. 1 Максимов А.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Ивановский государственный политехнический университет»
Разработана математическая и динамические модели задачи вынужденных колебаний батанного механизма с учетом упругой системы заправки станка, необходимой для анализа конструктивных и технологических возможностей батанного механизма при выработке сетки заданных технических характеристик. Решение задачи о вынужденных колебаниях бруса показало, что на фазе движения батана в процессе формирования сетки (взаимодействие берда с опушкой ткани) проявляются вынужденные, свободные (вызванные не­нулевыми начальными условиями) и свободные сопровождающие колебания. Полученные зависимости позволяют определить не только напряже­ния, возникающие в элементах конструкции, но и форму бруса в интересуемый момент времени, например, в момент отхода берда от опушки. При проектиро­вании цикловой диаграммы работы батана, например, с выстоем в переднем положении, возникает необходимость определения времени затухания свобод­ных и свободных сопровождающих колебаний бруса. Для этого необходимо решение задачи о собственных колебаниях бруса по начальным условиям, определяемым при решении задачи о вынужденных колебаниях на фазе движения батана в процессе формирования сетки.
ткацкий станок
батан
брус
форма бруса
опушка ткани
модель
частота колебаний
1. Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия / И.И. Вульфсон. – Л.: Машиностроение. – 1990. – 309 с.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учебное пособие для втузов: В 6 т. Т. 1. / В.И. Смирнов. – М.: Наука. – 1965. – 480 с.
3. Суров В.А. Динамика упругих систем батанных механизмов металло­ткацких станков. / В.А. Суров, А.А. Тувин. – Иваново: ИГТА. – 2004. – 188 с.
4. Тувин А.А. Расчет собственных частот и форм изгибных и крутильных колебаний бруса батана широких металлоткацких станков / А.А. Тувин, А.А. Максимов // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 8–1. – C. 65–70.
5. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. – М.: Машиностроение. – 1970. – 736 с.

Постановка и решение динамической задачи требует соответствующего представления модели батанного механизма. Обратимся к схеме (рисунок). Брус 1 батана жестко закреплен в n лопастях 2, неподвижно соединенных с подбатанным валом 3. Вал 3 расположен в подшипниковых опорах (подшипники качения). Батан получает возвратно-качательное движение от кулачкового привода посредством коромысла 4 и шатуна 5. Соединения вал коромысла – станина, коромысло-шатун и шатун-лопасть выполнены также на подшипниках качения, обладающих радиальной податливостью.

В простейшем случае (техническая теория) уравнение вынужденных колебаний бруса во время движения батана в процессе формирования сетки имеет вид

tuv01.wmf, (1)

где tuv02.wmf – перемещение (кинематическое) бруса на рассматриваемой фазе движения батана (в дальнейшем индекс 1 будем опускать, предполагая начало отсчета времени t c момента подхода берда к опушке сетки).

tuvin1.tif

Схема упругих связей батанного механизма металлоткацкого станка типа СТР

Решение уравнения (1) ищется в виде суммы

tuv03.wmf, (2)

где tuv04.wmf – решение однородного уравнения;

tuv05.wmf – частное решение, соответствующее виду правой части.

Решение tuv06.wmf, согласно [5], можно представить в виде

tuv07.wmf, (3)

где tuv08.wmf – собственные формы; j – номер участка бруса (1…п-1); pi – собственные частоты изгибаемых колебаний бруса в рассматриваемой фазе его движения; tuv09.wmf – постоянные.

На основании (3) можно записать (номер участка бруса опускаем):

tuv10.wmf,

tuv11.wmf, (4)

или

tuv12.wmf. (5)

Учитывая свойство ортогональности нормальных форм колебаний из (5.20) найдем

tuv13.wmf,

tuv14.wmf, (6)

то есть решение (3) определено. Решение tuv15.wmf ищется также в виде разложения в ряд по собственным формам:

tuv16.wmf

и

tuv17.wmf,

где Ti(t) – искомые функции времени.

Учитывая, что

tuv18.wmf,

tuv19.wmf,

получим

tuv20.wmf.

При учете сил неупругого сопротивления уравнение вынужденных колебаний бруса примет вид

tuv21a.wmf

tuv21b.wmf. (7)

Уравнение решается аналогично предыдущему. Решение tuv22.wmf принимается в виде

tuv23.wmf,

tuv24.wmf, (8)

где

tuv25.wmf, tuv26.wmf.

tuv27.wmf – формы и частоты собственных колебаний системы без сопротивлений, рассчитываемые в соответствии с методикой, изложенной в [4]. Частное решение tuv28.wmf ищется в той же форме (2). Подставляя (2) в уравнение (7) и учитывая, что

tuv29.wmf, tuv30.wmf,

получим

tuv31.wmf,

следовательно,

tuv32.wmf. (9)

Обозначив

tuv33.wmf,

будем иметь

tuv34.wmf

Общее решение ищется в виде суммы (2), решение tuv35.wmf однородного уравнения – в виде

tuv36.wmf. (10)

Здесь tuv37.wmf – собственные частоты и формы, а коэффициенты tuv38.wmf и tuv39.wmf определяются из начальных условий. Тогда имеем

tuv40.wmf, tuv41.wmf.

Из (10), учитывая (4), получим

tuv42.wmf, tuv43.wmf.

Для отыскания частного решения tuv44.wmf, возмущающую функцию разложим в гармонический ряд

tuv45.wmf,

где

tuv46.wmf.

Решение tuv28.wmf ищется в виде tuv48.wmf. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь

tuv49a.wmf

tuv49b.wmf

или

tuv50.wmf, (11)

где

tuv51.wmf; tuv52.wmf.

Введем новую переменную tuv53.wmf. Тогда уравнение (5.39) можно представить в виде

tuv54.wmf. (12)

Полагая tuv55.wmf, получим характеристическое уравнение

tuv56.wmf,

откуда

tuv57.wmf,

так как в данном случае tuv58.wmf и tuv59.wmf, то tuv60.wmf, tuv61.wmf, tuv62.wmf, tuv63.wmf,

где

tuv64.wmf, tuv65.wmf. (13)

Тогда

tuv66.wmf,

и будем иметь

tuv67.wmf (14)

Постоянные коэффициенты Ai, Bi, Ci, Di определяются из граничных условий. Подставляя (14) в граничные условия, придем к системе линейных алгебраических уравнений вида

tuv68.wmf. (15)

Тогда

tuv69.wmf; tuv70.wmf; tuv71.wmf; tuv72.wmf, (16)

где Δ, Δa, Δb, Δc, Δd – соответствующие определители системы (5.44).

Исключая угол β сдвига, получим

tuv73.wmf

tuv74.wmf

tuv75.wmf

tuv76.wmf (17)

Пренебрегая двумя последними членами в левой части данного уравнения, будем искать его решение в форме (2). Решение tuv77.wmf однородного уравнения можно представить в виде разложения в ряд по собственным формам:

tuv78.wmf,

tuv79.wmf.

где Xi(x) – собственные формы колебаний бруса на второй фазе движения батана.

Величины qi и ni определены в работе [4]. Для определения коэффициентов tuv80.wmf и tuv81.wmf воспользуемся начальными условиями. Будем иметь

tuv82.wmf откуда получаем tuv83.wmf

tuv84.wmf,

где tuv85.wmf – собственные формы колебаний бруса на первой фазе движения батана;

tuv86.wmf – постоянные, определяемые по методике, изложенной в работе [3].

Далее остановимся на учете только первой гармоники. В предлагаемой постановке это основное допущение при приближенном решении задачи, позволяющее существенно упростить математическую модель. Принимая такое допущение, мы имеем в виду, что амплитуды колебаний системы с неупругим сопротивлением на низшей частоте являются наиболее значимыми. Кроме того, вследствие симметричности конструкции, следовательно, и ее динамической модели, четные формы колебаний не реализуются, поскольку эти формы являются кососимметричными и входящий в выражение интеграл tuv87.wmf для этих форм будет равен нулю. Умножив уравнение (17) на Xi(x) и проинтегрировав результат по всей длине бруса, с учетом принятого допущения это уравнение можно представить в виде

tuv88.wmf, (18)

где ai – постоянные коэффициенты, определяемые по методике, изложенной в работе [3].

Для решения уравнения (18) рассмотрим однородное уравнение

tuv89.wmf,

где tuv90.wmf.

Представляя решение данного уравнения в виде tuv91.wmf, получим характеристическое уравнение tuv92.wmf. Решение этого уравнения можно получить либо по методу Феррари, либо по методу Н.И. Лобачевского [2]. Окончательный вид функции tuv93.wmf будет зависеть от вида четырех корней ki характеристического уравнения [2, 5]. После нахождения функции tuv94.wmf решение уравнения (18) ищется методом вариации произвольных постоянных [2], при этом

tuv95.wmf,

где tuv96.wmf, а функции tuv97.wmf находятся по формуле Крамера [2] из следующей системы уравнений:

tuv98.wmf. (19)

Уравнение вынужденных чисто крутильных колебаний бруса имеет вид

tuv99.wmf. (20)

Имея в виду, что начальные условия в данном случае нулевые, поскольку в принятой постановке задачи крутильные колебания до данной фазы движения батана не возникают, решение уравнения (20) можно представить в виде

tuv100.wmf,

где tuv101.wmf – собственные формы, определяемые по методике [4]. Для определения функции Ti(t) аналогично предыдущему представим возмущающую функцию в виде разложения в ряд по собственным формам:

tuv102.wmf,

tuv103.wmf.

Подставляя найденные выражения в исходное уравнение (20) и учитывая свойство ортогональности нормальных форм, а также то, что tuv104.wmf, получим

tuv105.wmf

где 2ni и tuv106.wmf определяются по методике, изложенной в [3]. Следовательно,

tuv107.wmf, tuv108.wmf,

tuv109.wmf.

Полученные выше зависимости позволяют определить не только напряжения, возникающие в элементах конструкции, но и форму бруса в интересуемый момент времени, например, в момент отхода берда от опушки. При проектировании цикловой диаграммы работы батана, например, с выстоем в переднем положении, возникает необходимость определения времени затухания свободных и свободных сопровождающих колебаний бруса. Для этого необходимо решение задачи о собственных колебаниях бруса по начальным условиям, определяемым при решении задачи о вынужденных колебаниях на второй фазе движения батана.

Выводы

Разработана математическая модель расчета вынужденных колебаний бруса батана широких металлоткацких станков с n лопастями, соответствующая его уточненной динамической модели на фазе взаимодействия берда с опушкой вырабатываемой сетки.


Библиографическая ссылка

Тувин А.А., Максимов А.А. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БРУСА БАТАНА НА ФАЗЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БЕРДА С ОПУШКОЙ ВЫРАБАТЫВАЕМОЙ СЕТКИ // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 9-1. – С. 68-74;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40697 (дата обращения: 03.07.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074