Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,118

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ В ПРИСУТСТВИИ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Крупенин В.Л.

Изучаются сильно нелинейные динамические эффекты в автоколебательных системах с одной степенью свободы, на которые наложены дополнительные условия разрыва производных типа условий удара. В ряде случаев, как правило, неучитываемые случайные возмущающие факторы могут оказать на динамику системы существенное влияние.

1. Рассмотрим динамическую систему с разрывами скорости [1, 2].Пусть соответственно + и - - скорости тела непосредственно после и до разрывов. Легко переписать уравнение (1) в виде

+2x–+3=0, , >0; += -- , |x| (1)

где 2– собственная частота линейного осциллятора, и - параметры «автоколебательного члена», производная решения имеет разрыв при выполнении условия |x|=. отнесенные к массе колеблющегося тела. Пусть величина <<1. В этом случае система оказываются псевдоконсервативной [3] и легко получить точные решения (1). Пренебрегая в сравнении с остальными, членом 2x, понизим порядок системы (2). Пусть z. Тогда

-z+z3=0 , z+= - z- (2)

Отсюда получаем три стационарных решения:

z1=0; z2=-, z3=. (3)

Второе соотношение (3) «сшивает» решения: z2= z- и z3= z+., период колебаний T=.

В результате, при переходе к исходной координате x получается хорошо известное [1, 2] «пилообразное» колебательное решение, «амплитуда», которого определяется величиной 0,5: x(t)=0,5 (t-0,25T), причем при такой записи здесь Т [0, 0,5T[, а далее выражение для x(t) необходимо продолжить на всю числовую ось, исходя из условий периодичности и симметрии: x(t+Т)= x(t); x(t+0,5Т)= - x(t).

2. Рассмотрение задач подобного типа, когда происходит пренебрежение собственной упругостью системы, позволяет изучить их в более общих постановках, например, учесть наличие широкополосных случайных флуктуаций.

Пусть автоколебания осуществляются также при наличии внешней силы, которая может быть описана стандартным белым шумом интенсивности S. Имеем:

-+3=, >0;+= -- , (4)

и положение равновесия здесь снова неустойчиво. Введем новую переменную – (энергию): E=0,5x2. Имеем:

2=.

Стационарное уравнение ФПК для этой задачи имеет вид [1]:

3 + 0,5,

где - искомая плотность вероятностей. Решение:

2), E>0. (5)

Константа C находится из условия нормировки. Принимая во внимание (см. [1, 2]), что

a-1exp(-2-x)dx = ()-a/2 Γ(a)exp(2/8 )D-a(/),

где Γ(a) – Γ-функция Эйлера, а D-a(y) – функция параболическая цилиндра [1 ,2], получаем после преобразований с учетом свойств означенных специальных функций:

С= (4/S)0,25exp[-2/(4] {D-0,5(-)}-1.

Найденная плотность вероятности определяет точное решение задачи.

Отсюда получаем важнейшие характеристики процесса. Для плотности вероятности импульса

J=2|-|; E=1/8 J2

в соответствии с правилами вычисления плотностей вероятностей детерминированных функций случайных процессов, найдем:

J2- J4),

 

Легко показать, что мода этого распределения отвечает устойчивому стационарному виброударному процессу в соответствующей детерминированной системе. Найденные распределения позволяют досконально исследовать задачу.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (Проект 05-08-50183).


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. – 384 с.
  2. V.I. Babitsky, V.L. Krupenin Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems. - Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. – 404 p.p.
  3. Крупенин В.Л К расчету псевдоконсервативных авторезонансных систем // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1993 г., N2, с. 106-114.

Библиографическая ссылка

Крупенин В.Л. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ В ПРИСУТСТВИИ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ // Фундаментальные исследования. – 2007. – № 12-1. – С. 167-168;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=4060 (дата обращения: 21.11.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252