Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

ОБЗОР МОДИФИКАЦИЙ МЕТОДА КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

Абакумова С.И. 1
1 Институт сервиса туризма и дизайна (филиал) ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет»
Разыскание систем основных единиц произвольного алгебраического числового поля есть одна из важных и старых задач. Сами основные единицы используются при вычислении числа классов идеалов и решений многих частных типов и классов диофантовых уравнений. Цель. Сравнить конструкции Золотарева и Успенского, применяемые для разыскания основной единицы чисто кубического поля. Материалы и методы. Используются бинарные и тернарные квадратичные формы для разыскания основной единицы чисто кубического поля. Результаты. В результате сравнительного анализа выявлены достоинства и недостатки исследуемых конструкций. Найдены основные единицы конкретных чисто кубических полей. Выводы. Анализ метода квадратичных форм, представленный вариантами его модификаций, позволяет применять удобные конструкции для нахождения основных единиц конкретных чисто кубических полей.
основная единица
квадратичные формы
кубические поля
1. Абакумова С.И. Исследование некоторых диофантовых уравнений // Вестник Ессентукского института управления, бизнеса и права. – 2014. – № 8. – С. 200–202.
2. Абакумова С.И., Аванесов Э.Т., Гусев В.А. Развитие методов вычисления основных единиц: монография. – Пятигорск: РИА-КМВ, 2008. – 144 с.
3. Абакумова С.И., Гусева А.В. Диофантовы уравнения // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. – 2014. – Т.1, № 6. – С. 133–137.
4. Золотарев Е.И. Об одном неопределенном уравнении третьей степени: дисс. – СПб., 1869. – 67 с.
5. Uspensky J.V. A method for finding units in cubic orders of negative discriminant // Trans. Amer. Math. Soc. – 1931. – Vol. 33. – Р. 1–22.

Впервые Эрмит ввел положительные формы вида

abakum001.wmf (1)

где х, y, z – тройки возможных целых рациональных чисел; φ и ψ – кубические иррациональности; ∆ – переменный параметр. Изменяя последовательно значения параметра ∆, можно получать системы (х, y, z), которые определяют минимумы квадратичных форм. Так как такая конструкция приводит к анализу выражений (форм), имеющих квадраты компонент элементов кубических полей, то естественно назвать ее методом квадратичных форм (МКФ).

Алгоритм (принцип) Эрмита представляет собой одну из разновидностей МКФ как совокупность действий, позволяющих находить последовательные минимумы квадратичных форм с переменным параметром.

Е.И. Золотарев использовал алгоритм Эрмита для разыскания основной единицы чисто кубического поля. Его идея основана на изучении последовательных минимумов некоторых положительных тернарных квадратичных форм с непрерывным параметром и последующем сведении этой задачи к аналогичной проблеме применительно к бинарным формам.

Предварительно Е.И. Золотарев [4] рассматривает задачу разыскания представлений последовательных минимумов для бинарной квадратичной формы

abakum002.wmf (2)

которая содержит непрерывный параметр ∆, являющийся инвариантом формы и принимающий различные значения от 1 до ∞. Эти представления (х′, y′) для ∆, ∆′ ≤ ∆ ≤ ∆″, (х″, y″) для ∆, ∆″ ≤ ∆ ≤ ∆‴ связаны соотношениями:

1) х, y – возрастают;

2) х′y″ – х″y′ = ±1; х″y‴ – х‴y′′ = ±1;

3) abakum003.wmf

abakum004.wmf

4) φ′ > φ″ > φ‴ > …

1) abakum005.wmf abakum006.wmf

abakum007.wmf

2) первый минимум: ∆ = 1, х′ = 0, y′ = 1;

второй минимум: х″ = 1, y″ = m0,

где abakum008.wmf,

для третьего минимума

abakum009.wmf

здесь m1 таково, что |y‴ – ах‴| < y″ – ах″ и т.д.

Далее Золотарев переходит к тернарной квадратичной форме

abakum010.wmf (3)

и представления минимумов определяются тройками

(х′, y′, z′) для ∆, ∆′ ≤ ∆ ≤ ∆″;

(х″, y″, z″) для ∆, ∆″ ≤ ∆ ≤ ∆‴.

Анализ уравнений (2) и (3) позволяет Золотареву перейти к решению главной задачи – разысканию основной единицы чистого кубического поля abakum011.wmf.

Пусть abakum012.wmf – единица abakum013.wmf, тогда

abakum014.wmf (4),

где ρ3 = 1.

Полагаем abakum015.wmf, а произведение двух последних скобок дает союзную форму F(х, y, z), причем

abakum016.wmf

В соответствии с этим составим квадратичную форму

abakum017.wmf (5)

с инвариантом abakum018.wmf.

Как известно, при любом ∆ найдется тройка (х, y, z) такая, что abakum019.wmf откуда abakum020.wmf.

Увеличиваем ∆ и для каждого ∆ найдем тройки (х′, y′, z′) и (х″, y″, z″), дающие min f, получим

abakum021.wmf

abakum022.wmf

и соответственно 2φ′ и 2φ″.

Все произведения φψ – целые числа, и в их ряду φ′ψ′, φ″ψ″… существует хоть одно число abakum023.wmf повторяющееся бесконечное число раз. Тем самым определятся две системы (a, b, g) и (α′, β′, γ′) такие, что

abakum024.wmf

a ≡ α′; β ≡ β′; γ ≡ γ′ (mod T).

Далее полагаем

α′2 – mβ′γ′ = А′; m′γ2 – α′β′ = В′;

β′2 – α′γ′ = С′,

α2 – mβΥ = А; mγ2 – αβ = В; β2 – αΥ = С.

Пусть теперь

abakum025.wmf

а подстановка λ = uT, μ = υT, ν = wT приводит к уравнению

abakum026.wmf

Если abakum027.wmf – основная единица abakum028.wmf, то компоненты αn, βn, λn остальных всех единиц, как известно, выразятся по формулам

abakum029.wmf

abakum030.wmf

abakum031.wmf

Компоненты основной единицы составят тройку, находящуюся в ряду minima квадратичной формы (5) для различных значений параметра ∆. Действительно, если (х, y, z) – основная единица, то х = α2 – mβg; y = mγ2 – αβ; z = β2 – αγ и (х, y, z) дает min формы abakum032.wmf, ε > 1.

В этих условиях ψ обращается в ε, φ – в ε–1.

Последовательность min правой части (5) приведет к условиям

φ0 = 1; ψ0 = 1; φ1 > φ0; ψ1 < ψ0; φ2 > φ1;

ψ2 < ψ1 и abakum033.wmf.

Введем периодически повторяющиеся величины

Lм = φм∙ψм+1; Kм = φм+1∙ψм; Hм = φм∙ψм.

Имеет место очевидное соотношение

Lм∙Kм = Нм + Нм+1,

и для компонент справедливы оценки

abakum034.wmf

Из уравнения

abakum035.wmf

определяем

abakum036.wmf, (6)

и для всех комбинаций (Kм, Lм) выбирают ту, для которой (6) минимально. Тогда если мы дойдем до Нs = 1, то Кs > 1, Ls < 1 и abakum037.wmf даст минимум, далее получаем: Hs + 1 = H1; Hs + 2 = H2, …

Из этих рассуждений очевидно, что требование нахождения всех последовательных минимумов по принципу Эрмита влечет громоздкие и долгие расчеты. В настоящее время подобные и более сложные расчеты не представляют больших сложностей, так как они реализуются с использованием специальных компьютерных технологий.

Приведем пример нахождения основной единицы вручную.

Пример.

m = 11, abakum038.wmf abakum039.wmf

х0 = 1; y0 = 0; z0 = 0; φ0 = 1; ψ0 = 1.

Это даст

z0 = 1; х0 = 0; y0 = 0; М0 = 0; N0 = –1; Р0 = 0,

β = 1; a = 0; γ = 0; β1 = 0; γ1 = 1; α1 = 1.

Далее abakum040.wmf abakum041.wmf abakum042.wmf

Полагая

abakum043.wmf abakum044.wmf

abakum045.wmf

находим:

α′ = α1 + 2a = 0; β′ = β1 + 2β = 2;

γ′ = γ1 + 2γ = 1.

Отсюда

х1 = α′ + m1α = m1; y1 = β′ + m1β = 2;

z1 = γ′ + m1γ = 1,

т.е. m1 = 4 или 5.

При m1 = 4

abakum046.wmf abakum047.wmf

Если же m1 = 5, то

abakum048.wmf abakum049.wmf

Но корень уравнения f1 = f0 для указанных значений m1 будет меньше во 2 случае, и, таким образом, х1 = 5; y1 = 2; z1 = 1.

Унимодулярные преобразования формы F0 и союзной формы F по формулам

abakum050.wmf и abakum051.wmf

приведут к форме

abakum052.wmf

и союзной ей

abakum053.wmf,

где A = A′; B″ = 0,719; B′ ≈ –2,11; abakum054.wmf abakum055.wmf abakum056.wmf abakum057.wmf.

Итак, тройка (x, y, z) = (5; 2; 1) определяет минимум, смежный с f0.

Продолжаем вычисления. Имеем x1 = 0; y1 = 1; z1 = –2, откуда M1 = –1; N1 = 0; P1 = 5.

Дальнейшее вычисление минимумов даёт

x2 = 20; y2 = 9; z2 = 4; M2 = 0; N2 = 4; P2 = –9;

abakum058.wmf

Легко находим: m2 = –2 и компоненты abakum059.wmf abakum060.wmf abakum061.wmf определяют искомую основную единицу abakum062.wmf чисто кубического поля abakum063.wmf

Оставляя основную идею сведения, разработанную Золотаревым, Успенский [5] модифицировал всю конструкцию, распространив ее на кубические поля отрицательного дискриминанта. Такое видоизменение позволило упростить практические расчеты.

Суть его в следующем. Предварительно в кубическом поле Dλ < 0 показывается, что всегда можно выбрать нормальный базис вида {1, α, β}, где α, β – целое рациональное число, причем на базисном элементе α достигается минимум некоторого выражения, а именно: выполняется неравенство

abakum064.wmf

abakum065.wmf

Составим аналогично (5) положительно определенные формы

abakum066.wmf abakum067.wmf

abakum068.wmf

где Δ – непрерывный положительный параметр, и союзную форму

abakum069.wmf

abakum070.wmf

abakum071.wmf

дискриминанта abakum072.wmf

В основе последующего вывода лежит утверждение: для всякого конкретного значения Δ существуют две триады (x, y, z) и (X, Y, Z), не содержащие общих множителей, и такие, что

1) X∙x + Y∙y + Z∙z = 0;

2) выполняются неравенства

abakum073.wmf

abakum074.wmf

Очевидно, если Δ будет расти, то одна из триад должна быть заменена другой по специальным формулам. Это произойдет либо относительно первой триады (x, y, z) при abakum075.wmf либо применительно ко 2-й триаде (X, Y, Z) при условии

abakum076.wmf

Указанное будет иметь место при

1) abakum077.wmf

abakum078.wmf abakum079.wmf

abakum080.wmf

где τ1 – наименьший положительный корень уравнения

τ3 – τ + K = 0; (7)

2) abakum081.wmf

abakum082.wmf,

где τ2 – наибольший положительный корень уравнения (7).

Начальному значению Δ соответствуют триады

abakum083.wmf

Пусть Δ растет. Определив Δ0 и Δ1, сравним их между собой.

Если Δ0 < Δ1, то триада (x0, y0, z0) заменяется новой триадой. При Δ0 > Δ1 аналогичное преобразование выполняется для 2-й триады. Тем самым определяется бесконечная цепочка пар триад

abakum084.wmf

и две серии соответствующих значений Φ и w:

Ф0 = 1, Ф1, Ф2, Ф3, …, w0 = 1, w1, w2, w3, …

Пусть ε > 1 – прямая основная единица, ε–1 – обратная ей единица. Продолжив цепочку триад достаточно далеко, можно получить искомую единицу, а ею будет первая единица в одной из этих последовательностей.

Пример. Чисто кубическое поле abakum085.wmf [2] имеет целый базис

abakum086.wmf

В качестве нормального базиса берем элементы

abakum087.wmf

abakum088.wmf

Для него имеем

f = –3; g = 3; k = 2; ℓ = –1;

α ≈ 1,668; β = 3,596

и

abakum089.wmf

abakum090.wmf abakum091.wmf abakum092.wmf

abakum093.wmf abakum094.wmf abakum095.wmf

abakum096.wmf

Начинаем расчеты с Φ0 = 1, w0 = 1.

Тогда k = 0,04; Γ = Δ = 318,4 и k = 0,12; Γ1 = Δ1 = 13,74.

1 шаг. Пусть M = –1, α = 0, N = 1 откуда

abakum097.wmf

abakum098.wmf

abakum099.wmf

где abakum100.wmf abakum101.wmf abakum102.wmf

abakum103.wmf

abakum104.wmf

abakum105.wmf

Н = Norm(w0)∙h′h″L.

В нашем случае

λ = 1; μ = –1; abakum106.wmf abakum107.wmf

Пусть теперь k = 0,08. Далее находим: Γ1 = 14,83 и Δ1 = 84,35.

Переходим ко второму шагу.

2 шаг. N = 1, L = 0, M = 0 и abakum108.wmf

abakum109.wmf

abakum110.wmf

abakum111.wmf

abakum112.wmf

abakum113.wmf

abakum114.wmf

Отсюда λ = 2; μ = –1 и abakum115.wmf Norm w2 = 1; k = 0,12; Γ1 = 13,74; Δ1 = 970,5.

3 шаг. Из условия Φ = λ – (α + 2β)∙μ имеем λ = 5; μ = –1; Φ1 = 5 + α + 2β; Norm Φ1 = 1.

Таким образом, найдена алгебраическая единица, и так как она не является степенью другой единицы, то она должна быть основной единицей.

Итак,

abakum116.wmf

abakum117.wmf

Рассуждения, опирающиеся на чисто кубические поля и основную единицу в них, используются в доказательствах неразрешимости уравнения Ферма в кубическом случае [3], а сами основные единицы используются при вычислении числа классов идеалов и решений многих частных типов и классов диофантовых уравнений [1].

Рецензенты:

Алтухов В.И., д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник отдела стратегического и инновационного развития, Институт сервиса, туризма и дизайна (филиал), ФГАОУ ВПО СКФУ, г. Пятигорск;

Казуб В.Т., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой физики и математики, Пятигорский медико-фармацевтический институт, филиал ГБОУ ВПО ВолгГМУ Минздрава РФ, г. Пятигорск.


Библиографическая ссылка

Абакумова С.И. ОБЗОР МОДИФИКАЦИЙ МЕТОДА КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 5-3. – С. 465-470;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38283 (дата обращения: 03.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074