Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,074

О ДВУХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Волынская А.В. 1
1 ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения»
Большинство современных систем передачи информации используют широкополосные сигналы. В теории информации показано, что если спектр помех не белый, то повысить пропускную способность можно путем адаптации спектра полезного сигнала к неравномерному спектру помех. Также теория информации говорит о том, что наиболее информативным будет такой сигнал, закон распределения плотности вероятности которого дополняет закон распределения помех до нормального закона. В связи с этим встает задача преобразования закона распределения сигнала под заданный закон, определяемый, в свою очередь, помехой. Задача мониторинга спектра помех в реальном времени решена, например, в стандарте IEEE 802.22. В данной статье показана принципиальная возможность преобразования закона распределения широкополосного сигнала с помощью нелинейного оператора и предложены два способа нахождения такого оператора: метод изоклин и метод кусочно-линейной аппроксимации.
каналы телемеханики
шумоподобные сигналы
адаптация к помехам
закон распределения плотности вероятности
1. Волынская А.В., Сергеев Б.С. Предпосылки применения псевдослучайных сигналов-переносчиков в каналах телемеханики железнодорожного транспорта // Транспорт: наука, техника, управление: Научный информационный сборник РАН ВИНИТИ, 2011. – Вып. 6. – С. 39–41.
2. Волынская А.В. Пробные эксперименты по изучению спектральных и статистических характеристик электромагнитных помех в каналах телемеханики железнодорожного транспорта // Семинар докторантов УрГУПС: сб. науч. докл. / под науч. ред. С.П. Баутина. – Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2012. – С. 29–40.
3. Волынская А.В. Интеллектуальный канал телемеханики // Транспорт: наука, техника, управление: Научный информационный сборник РАН ВИНИТИ, 2013. – Вып. 4. – С. 13–16.
4. Волынская А.В. Исследование способов адаптации сигналов к помехам в интеллектуальном канале телемеханики железнодорожного транспорта // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды XV Международной конф. – Самара: Самарский научный центр РАН, 2013. – С. 577–581.
5. Голдман С. Теория информации. – М.: Изд. иностранной литературы, 1957. – 446 с.

В работах автора [1, 2, 3] приведены результаты исследований по повышению надежности каналов телемеханики за счет адаптации управляющих сигналов к характеристикам канала, прежде всего к помехам.

В классической литературе по теории информации, например в [5], показано, что для извлечения максимального количества информации из сигнала на входе приемника (сигнал + помеха) необходимо полезный сигнал формировать таким, чтобы его закон распределения дополнял закон распределения помехи до нормального (гауссового) распределения.

Пусть сигнал х0(t) имеет закон распределения р0(x). Этот сигнал необходимо преобразовать в у1(t) с законом распределения р1(y). Характеристику преобразования обозначим некоторым оператором D:

volyn01.wmf (1)

Линейный оператор обладает ограниченными возможностями преобразования, поэтому будем искать его в классе нелинейных преобразователей. При любом нелинейном однозначном преобразовании некоторому участку dx оси x соответствует некоторый участок dy оси y так, что

volyn02.wmf

или

volyn03.wmf (2)

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделёнными переменными. Задача состоит в отыскании закона преобразования y = y(x).

Запишем уравнение (2) в виде

volyn04.wmf (3)

и для нормального распределения

volyn05.wmf (4)

Смысл выражения (3) следующий: при заданных законах p0 и p1 зависимость y = y(x) должна быть подобрана так, чтобы интегральные функции их распределений совпадали.

В работе [4] приведены три примера, когда уравнение (3) может быть разрешено явно относительно y.

1. Сигнал x0(t) преобразуется к равномерному распределению

p1(y) = A; –a ≤ y ≤ a; x0 = 0.

Решение дает

volyn06.wmf; –a ≤ y ≤ a.

2. Сигнал x0(t) преобразуется к релеевскому распределению

volyn07.wmf

Решение дает

volyn08.wmf

3. Сигнал x0(t) преобразуется к распределению гармонического колебания со случайной равномерно распределенной начальной фазой

volyn09.wmf x0 = 0.

Решение дает

volyn10.wmf

Маловероятно, что на практике мы встретим эти ситуации, они приведены скорее как иллюстрация того, как можно реализовать статистическое согласование законов распределения сигналов и помех. Однако ясно, что такое согласование в принципе возможно. Поскольку законы распределения – неотрицательные функции, то и производная от характеристики преобразования закона распределения будет неотрицательной, следовательно, и сами характеристики преобразования всегда монотонные однозначные функции. Для них обратные преобразования тоже однозначные и монотонные.

Рассмотрим два способа приближенного построения характеристик преобразования.

Если законы распределения заданы аналитически, то можно применить метод изоклин. Для этого уравнение (3) перепишем иначе

volyn11.wmf (5)

Придавая y/ различные постоянные значения k в интервале 0...∞, это уравнение можно разрешить относительно y. Кривые y(x, k) называются изоклинами. Данная кривая во всех точках может пересекаться искомой характеристикой под одним и тем же углом, тангенс которого равен k.

Для примера рассмотрим случай преобразования сигнала к нормальному распределению. Уравнение изоклины будет иметь следующий вид:

volyn12.wmf

volyn13.wmf

Придавая различные значения k, получим семейство изоклин. На каждой изоклине можно указать наклон характеристики в виде черточек, проведенных под углом, тангенс которого равен значению k для данной изоклины.

На рис. 1 изображено семейство изоклин с нанесенными на них наклонами для некоторого закона распределения p0(x).

Если семейство достаточно полное, то по нему нетрудно провести характеристику преобразования. Одна из них показана на рис. 1.

Когда законы распределения заданы графически, удобней применить метод кусочно-линейной аппроксимации.

На рис. 2 построена характеристика преобразования равномерно распределенного процесса к нормально распределенному процессу. Первую точку выберем на пересечении средних линий распределений (точка 0).

В пределах кривой p0(x) разбиваем ось х на малые отрезки, не обязательно равные. После выбора первой точки характеристики мы можем найти по формуле (5) касательную

volyn14.wmf

В числителе стоит ордината кривой в точке х0 , а в знаменателе – ордината кривой p1(y) в точке y0 , которые берем из рис. 2. Действительную кривую y = y(x) на участке 0...1 заменяем отрезком прямой, проведенным под углом, тангенс которого равен найденному значению volyn15.wmf. Из точки 1 проводим прямую, параллельную оси абсцисс, и находим точку y1. Далее измеряем ординаты p0(x1) и p1(y1) и находим

volyn16.wmf

а по volyn17.wmf находим угол наклона касательной в точке 1 и проводим ее до точки 2. Затем из точки 2 проводим линию, параллельную оси абсцисс, и находим точку y2, равную y2 = y(x2). Далее измеряем ординаты p0(x2) и p1(y2) и находим соответствующее значение volyn18.wmf и так далее. Левую ветвь характеристики строим аналогично, двигаясь от точки 0 влево.

pic_1.wmf

Рис. 1. Построение характеристики преобразования методом изоклин

pic_2.wmf

Рис. 2. Построение характеристики преобразования процесса с равномерным законом к нормальному закону

В сущности, этот метод есть тоже метод изоклин, но он не требует построения самих изоклин. Важно заметить, что при построении каждого отрезка мы используем действительные ординаты кривых в выбранной точке, поэтому не происходит накопление ошибок, допущенных на предыдущих отрезках характеристики.

Если теперь сместить p0(x) влево на величину х0, а p1(y) – вниз на величину y0, то характеристика без изменения наклона сместится так, что точка 0 совпадет с началом координат, и мы получим действительную характеристику.

Рецензенты:

Сергеев Б.С., д.т.н., профессор кафедры «Электрические машины», Уральский государственный университет путей сообщения, г. Екатеринбург;

Иванов В.Э., д.т.н., профессор Института радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург.

Работа поступила в редакцию 06.03.2015.


Библиографическая ссылка

Волынская А.В. О ДВУХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 2-7. – С. 1383-1386;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=37158 (дата обращения: 13.12.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074