Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,222

МНОГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Мухамбетова А.А. 1 Сартабанов Ж.А. 1
1 Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова
Объектом исследования настоящей работы являются квазилинейные системы уравнений с линейными дифференциальными операторами в частных производных первого порядка и с коэффициентами, зависящими от характеристик. Ставится задача об исследовании существования и единственности многопериодического решения квазилинейной системы. Для решения данной задачи используется метод приведения к каноническому виду матрицы системы на основе линейного преобразования. В работе устанавливаются условия, при которых собственные функции матрицы системы обладают свойствами многопериодичности и гладкости, получены условия приводимости дифференциальной системы к каноническому виду, условия существования и единственности многопериодического решения квазилинейной системы уравнений в частных производных первого порядка, в терминах собственных значений и функции Грина. Доказательство существования многопериодического решения уравнения канонического вида приводится на основе принципа неподвижных точек для оператора, определенного в пространстве непрерывно дифференцируемых функций, ограниченных по норме. Записано интегральное представление решения.
квазилинейные уравнения
собственные значения
матрица преобразования
каноническая форма
периодическое решение
1. Вазов В.А. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1968. – 464 с.
2. Мухамбетова А.А. Устойчивость линейных уравнений в частных производных второго порядка с колебательными коэффициентами. Международный журнал экспериментального образования. – 2013. – № 4. – С. 120–124.
3. Мухамбетова А.А., Сартабанов Ж.А. Об ограниченности решений линейных D-уравнений второго порядка с многопериодическим потенциалом //Математический журнал. – Алматы, 2003. – Т. 3, № 1 (7). – С. 68–73.
4. Самойленко А.М., Лаптинский В.Н., Кенжебаев К.К. Конструктивные методы исследования периодических и многоточечных краевых задач. – Киев: ИМ НАН Украины, 1999. – 220 с.
5. Сартабанов Ж.А. О краевой задаче для D-уравнений второго порядка. Известия АН КазССР, сет. физ-мат, 1992. – № 3. – С. 59–64.
6. Mukhambetova A.A., Sartabanov Zh.A. Stability of solutions the system of differential equations with multivariate time. Aktobe: Print A, 2007. – 168 p.
7. Mukhambetova A.A., Sartabanov Zh.A. Research of multiperiodic solutions of quasi-linear system in the first order partial derivatives. Bulletin d’Eurotalent-Fidjip, 2014. – № 4. Р. 33–37.
8. Sibuya Y. Some global properties of matrices of functions of one variable. Math. Ann. 161 (1969), 67–77.
9. Vejvoda O. Partial differential equations: time periodic solutions. The Hague/ Boston/ London, 1982. – 357 p.

Рассмотрим систему квазилинейных уравнений вида

much01.wmf (1)

с дифференциальным оператором

much02.wmf, (2)

где А(σ) – гладкая и периодическая по σ∈Rm с вектор-периодом ω = (ω1,…, ωm) n×n – матрица

much03.wmf, much04.wmf, (3)

k = (k1,…, km)∈Z×…×Z = Zm, Z – множество целых чисел, kω = (k1ω1,…, kmωm) – кратный вектор-период, τ∈(– ∞, + ∞) = R, t = (t1,…, tm)∈R×…×R = Rm, much05.wmf – символический вектор, e = (1,…,1) – m – вектор, much06.wmf – знак скалярного произведения векторов, σ = t – eτ – базовая характеристика оператора De.

Предполагается, что вектор-функция f(τ, t, σ, x) обладает свойствами:

much07.wmf (4)

much08.wmf (5)

При условиях (3)–(5) начальная задача Коши имеет единственное решение с глобальной продолжительностью.

Ставится задача об исследовании существования и единственности (Ɵ, ω, ω) – периодических решений x = x(τ, t, σ) квазилинейной системы (1) в терминах собственных значений матрицы A(σ) путем приведения к каноническому виду.

Линейной неособенной заменой:

much10.wmf (6)

с (n×n)-матрицей B(σ) из такого же класса что и A(σ) систему (1) приводим к системе:

much11.wmf, (7)

где much12.wmf.

Очевидно, что если возможно выбрать матрицу B(σ) так, чтобы матрица подобия

much13.wmf (8)

имела жорданову каноническую форму, то поставленная задача для системы (1) решалась бы довольно просто. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения вопроса о приведении гладкой многопериодической матрицы (3) к жордановой канонической форме I(σ) преобразованием подобия (8).

Задача такого характера рассматривалась в связи с различными проблемами теории дифференциальных уравнений в работах [1]–[9].

В дальнейшем точки t∈Rm и t + kω, k∈Zm рассматриваются как идентичные. Совокупность таких точек Tm называется m – мерным тором. Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Если уравнение much14.wmf при условии (3) имеет l различных собственных значений λα(t), much16.wmf с независящими от t∈Rm кратностями nα, то собственные функции λα(t) обладают свойствами многопериодичности и гладкости.

Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1 и ранг rα матрицы λα(t)E – A(t) не зависит от t∈Tm при каждом much17.wmf, то матрица A(t) подобна матрице

much18.wmf (9)

с некоторой неособенной матрицей преобразования much19.wmf, где λ1(t) – собственная функция матрицы A(t), 0 – нулевая строка, b(t) – вектор-функция, B0(t) – квадратная матрица порядка (n – 1), причем much20.wmf и much21.wmf.

Далее, предположим, что матрица B0(t) из (8) приводится к ω – периодической гладкой жордановой канонической форме much23.wmf периодическим гладким преобразованием подобия:

much24.wmf, (10)

где much25.wmf, much26.wmf, t∈Tm, much28.wmf – жорданова форма с nα – клетками вида

much29.wmf, much30.wmf,

Hα – матрица, у которой поддиагональные элементы – единицы, а остальные – нули, Eα – единичная матрица.

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 2 и условие (9), тогда матрица A(t) ω – периодическим гладким преобразованием подобия приводится к виду

much31.wmf, (11)

где

much32.wmf.

Рассмотрим матрицу

much33.wmf, (12)

где λ1(t), λ2(t) – скалярные функции, a(t) = (a1(t),…, an(t)) – столбцовая вектор-функция, J2(λ2(t)) – жорданова n×n – клетка, соответствующая λ2(t), t∈Tm.

Лемма 3. Если λ1(t) ≠ λ2(t), much35.wmf, то матрица (11) ω–периодической гладкой матрицей Q(t) приводится к жордановой канонической форме:

much37.wmf, (13)

где J(t) = diag[λ1(t), J2(t) λ2(t))] и Q(t) – матрица преобразования вида:

much40.wmf (14)

с единичной n – матрицей E и неизвестной столбец-функцией much43.wmf.

Далее, для обобщения леммы 3 рассмотрим матрицу

much44.wmf, (15)

где λ1(t) – скалярная функция, J(t) = diag[J2(λ2(t)),..., Js(λs(t))] – Jα(λα(t)) – nα×nα  – клетки Жордана, a(t) = (a2(t),...,as(t)) – much50.wmf – заданные вектор-функции, much51.wmf.

Лемма 4. Если λ1(t) ≠ λα(t), much53.wmf, much54.wmf, то матрица (16) подобна матрице:

much55.wmf (15)

с некоторой неособенной матрицей

much56.wmf, (17)

где p(t) = (p2(t),...,ps(t)), pα(t) = pα1(t),...,much58a.wmf – вектор – функции, much59.wmf.

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2 и матрица A(t) имеет различные собственные значения, тогда существует неособенная матрица преобразования much61.wmf такая, что

much62.wmf, (18)

где J(t) – жорданова каноническая матрица.

Для доказательства теоремы используем метод математической индукции.

Таким образом, на основе лемм 1–4 и теорем 1, 2 система (1) приводится к каноническому виду

much64.wmf, (19)

Матрица J(σ) имеет диагональный вид

much66.wmf,

причем предположим, что все собственные значения much67.wmf действительно значные различные и спектр не содержит нуля:

much68.wmf (20)

При условии (20) система (19) дихотомична и задача о ее многопериодическом решении имеет функцию Грина much69.wmf которая обладает свойствами :

10. much70.wmf

20. much71.wmf

30.G(τ – s, σ + qω) = G(τ – s, σ), τ – s∈R, σ∈Rm, q∈Zm,

40. much73.wmf,

где E – единичная матрица, Г ≥ 1, γ > 0 – некоторые постоянные.

Тогда задача о многопериодическом решении системы (19) имеет единственное решение much76.wmf. Это решение определяется из интегрального уравнения:

much77.wmf. (21)

Тогда в силу замены (5) система (1) имеет единственное (θ, ω) решение.

Таким образом, имеем основную теорему.

Теорема 3. Пусть наряду с условиями теоремы 2 выполнены условия (4), (5) и (20). Тогда система (1) при достаточно малом L > 0 имеет единственное (τ, ω, ω) –периодическое решение

much81.wmf

где much82.wmf есть решение системы (19), определяемое интегральным уравнением (21).

Заметим, что доказательство существования решения уравнения (21) приводится на основе принципа неподвижных точек для оператора

much83.wmf

определенного в пространстве непрерывно дифференцируемых функций much84.wmf, ограниченных по норме: much85.wmf положительным числом ∆, где much87.wmf – знак нормы, максимизирующей модуль вектор-функции.

Рецензенты:

Бержанов А.Б., д.ф.-м.н., профессор, директор института прикладной математики Актюбинского регионального государственного университета им. К. Жубанова, г. Актобе;

Тасмамбетов Ж.Н., д.ф.-м.н., профессор, Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, г. Актобе.

Работа поступила в редакцию 05.12.2014.


Библиографическая ссылка

Мухамбетова А.А., Сартабанов Ж.А. МНОГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 12-1. – С. 95-98;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=36076 (дата обращения: 25.04.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252