Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,118

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ШАРНИРНЫХ СТЕРЖНЕЙ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Смирнов Д.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
Разработана математическая модель динамики движения незамкнутой кинематической цепи трех шарнирно-соединенных стержней, обладающая тремя степенями свободы. В качестве основы для разработки математической модели служат уравнения Лагранжа второго рода. Полученная математическая модель использована для решения частной задачи при заданных начальных условиях. Решение системы дифференциальных уравнений осуществлено численным методом Рунге − Кутта четвертого порядка. Определен закон движения системы в обобщенных координатах, представлены графики зависимостей углов поворота и угловых скоростей от времени. На основе анализа результатов расчета сделан вывод о наличии двух этапов в движении системы. На этапе установившего движения стержни образуют практически прямую линию. При этом относительное движение второго и третьего стержней носит характер затухающих колебаний. Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики движения незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы.
динамика механических систем
относительное движение
уравнения Лагранжа второго рода
1. Бахвалов С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2006. – 636 с.
2. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 824 с.
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 608 с.
4. Панов Ю.Л., Панов А.Ю. Относительное движение в механике. Инженерные задачи. – Нижний Новгород: НГТУ им. Р.Е. Алексеева, 2008. – 144 с.
5. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы: Динамика и алгоритмы. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
6. Смирнов Д.А., Тежикова Н.П. Исследование динамики механической системы шарнирных стержней с двумя степенями свободы // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10 (15). – С. 3389–3393.

Изучение динамики незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей для различных областей науки и техники, например исследования динамики механических манипуляторов [5].

Целью данной работы является развитие методов исследования динамики незамкнутых кинематических цепей, а также разработка математической модели динамики механической системы шарнирно-соединенных стержней (рис. 1) с тремя степенями свободы. В работе решается частная задача по определению закона движения системы в обобщенных координатах.

Рассматривается механическая система, состоящая из трех абсолютно твердых стержней, длины которых обозначим l1, l2, l3. Стрежни соединены между собой шарнирами O1 и O2. Стержень 1 закреплен при помощи неподвижного цилиндрического шарнира O. На стержень 1 действует момент активных сил M.

pic_33.tif 

Рис. 1. Кинематическая схема:
1, 2, 3 – абсолютно твердые стержни;
О, O1, O2 – идеальные шарниры;
φ1, φ2, φ3 – углы поворота стержней;
M – момент активных сил

Задача решается при следующих предположениях:

– все шарниры являются идеальными (силы трения и их моменты отсутствуют);

– движение происходит в горизонтальной плоскости (силы тяжести не совершают работы);

– момент активных сил является постоянным M = const.

Для решения задачи об определении закона движения механической системы используется метод уравнений Лагранжа II рода [2, 4]. Система имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выбраны углы поворота стержней φ1, φ2 и φ3. Таким образом, уравнения Лагранжа II рода можно записать в виде

768547.jpg (1)

где φi – обобщенные координаты системы; 768555.jpg – обобщенные скорости; Qi – обобщенные силы; T – кинетическая энергия системы.

Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий трех стержней по формуле

T = T1 + T2 + T3, (2)

где T1 – кинетическая энергия стержня 1; T2 – кинетическая энергия стержня 2; T3 – кинетическая энергия стержня 3.

В работе [6] получены выражения для кинетических энергий стержня 1
и стержня 2:

768563.jpg (3)

768571.jpg (4)

где m1 и m2 – массы стержней 1 и 2 соответственно.

Кинетическую энергию стержня 3 определим по формуле [2]

768579.jpg (5)

где mk – масса k-й точки стержня 3; 768587.jpg – вектор скорости k-й точки стержня 3.

Скорость 768599.jpg определяется теоремой сложения скоростей

768608.jpg (6)

где 768619.jpg – вектор скорости шарнира О1, 768626.jpg – вектор относительной скорости шарнира О2; 768633.jpg – вектор относительной скорости k-й точки стержня 3.

Подставляя (6) в выражение (5), получим

768642.jpg 

768650.jpg 

где φ1–φ2 – угол между векторами скоростей 768658.jpg и 768666.jpg; φ1–φ3 – угол между векторами скоростей 768674.jpg и 768687.jpg; φ2–φ3 – угол между векторами скоростей 768696.jpg и 768705.jpg.

Запишем выражения для скоростей 768718.jpg 768725.jpg и 768732.jpg:

768739.jpg 768752.jpg 768760.jpg 

где rk – радиус вектор k-й точки стержня 3 в относительном вращении вокруг полюса O2.

Подставляя эти выражения в формулу для кинетической энергии стержня 3, раскрывая суммы и учитывая что 768768.jpg – масса стержня 3, 768776.jpg – статический момент стержня 3 относительно точки O2, 768784.jpg – момент инерции стержня 3 относительно точки O2, окончательно для кинетической энергии стержня 3 получим выражение

768793.jpg (7)

Подставляя (3), (4) и (7) в выражение (2) для кинетической энергии системы, получим

768804.jpg (9)

где коэффициенты ai, характеризующие инерционные свойства системы, определяются выражениями

768819.jpg

768826.jpg 768833.jpg 

768840.jpg 768850.jpg

768858.jpg 

Правые части уравнений Лагранжа представляют собой обобщенные силы [2], определяемые выражением

768867.jpg 

где 768875.jpg – сумма работ активных сил, действующих на систему на ее возможном перемещении.

Учитывая, что на систему действует только момент активных сил M, получим

Q1 = M; Q2 = 0; Q3 = 0. (10)

После определения производных от кинетической энергии системы (9), образующих левые части уравнений Лагранжа, получим дифференциальные уравнения второго порядка:

768883.jpg (11)

768893.jpg (12)

768902.jpg (13)

Система уравнений (11), (12) и (13) представляет собой математическую модель динамики исследуемой механической системы с тремя степенями свободы.

Представим систему нелинейных дифференциальных уравнений (11), (12) и (13) в виде удобных для практического решения задач:

768913.jpg (14)

768924.jpg (15)

768931.jpg (16)

где Aij и Bk определяются выражениями

768938.jpg 768946.jpg 768954.jpg 

768962.jpg 

768972.jpg

768981.jpg 

768990.jpg 

769014.jpg 

769003.jpg 

Решение системы уравнений (14), (15) и (16) может быть осуществлено различными численными методами [1, 3].

Рассмотрим результаты решения, полученные при реализации метода Рунге – Кутта четвертого порядка. На рис. 2 представлены зависимости углов поворота стержней φ1, φ2 и φ3 от времени, а на рис. 3 показаны зависимости угловых скоростей 769021.jpg 769031.jpg и 769038.jpg от времени. Представленные зависимости получены при следующих исходных данных и начальных условиях:

m1 = m2 = m3 = 1 кг; l1 = l2 = l3 = 1 м;

M = 1 Нм; t = 0;

769046.jpg 

769054.jpg 

pic_34.tif 

а

pic_35.tif 

б

Рис. 2. Зависимость углов поворота стержней от времени:
а – зависимость углов поворота стержней от времени на этапе неустановившегося движения;
б – зависимость углов поворота стержней от времени на этапе установившегося движения

pic_36.tif 

а

pic_37.tif 

б

Рис. 3. Зависимость угловых скоростей от времени:
а – зависимость угловых скоростей от времени на этапе неустановившегося движения;
б – зависимость угловых скоростей от времени на этапе установившегося движения

Анализ результатов решения показывает, что движение системы можно разделить на этапы неустановившегося и установившегося движений. На этапе неустановившегося движения стержни 2 и 3 поворачиваются в направлении, противоположном вращению стержня 1 (рис. 2, a и 3, a), после чего меняют направление вращения. Через небольшой промежуток времени (при φ1 ≈ φ2 ≈ φ3 ≈ 2π) можно говорить о начале установившегося движения. Все стержни вращаются в одном направлении, образуя практически прямую линию (рис. 2, б, 3, б). Стержень 3 опережает стержни 1 и 2 на один оборот φ1 ≈ φ2, φ3 ≈ φ1 + 2π.

Заключение

Анализ графиков углов поворота и угловых скоростей на этапе установившегося движения системы показывает, что движение стержней 1, 2 и 3 обладает признаками периодичности. Движение стержней можно рассматривать как сложное, состоящее из переносного и относительного движений. За переносное движение можно принять равноускоренное вращение стержней вокруг неподвижного центра О с равными угловыми скоростями и угловыми ускорениями. В этом случае относительные движения стержней будут представлять собой затухающие колебания с возрастающими частотами.

Результаты решения, полученные при других исходных данных и начальных условиях, позволяют сделать следующие выводы:

– длительность неустановившегося движения зависит от момента активных сил М, при увеличении момента активных сил время неустановившегося движения уменьшается;

– минимальное значение углов поворота второго и третьего стержней не зависит от величины момента активных сил, а зависит только от начальных условий.

Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики незамкнутых кинематических цепей.

Рецензенты:

Панов А.Ю., д.т.н., заведующий кафед­рой «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет»,
г. Нижний Новгород;

Кретинин О.В., д.т.н., профессор кафедры «Автоматизация машиностроения», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», г. Нижний Новгород.

Работа поступила в редакцию 28.11.2014.


Библиографическая ссылка

Смирнов Д.А. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ШАРНИРНЫХ СТЕРЖНЕЙ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11-12. – С. 2620-2624;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=36033 (дата обращения: 16.08.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252