Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

ПЕРЕСТРОЙКА РЕШЕНИЙ РЕКУРРЕНТНОГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Абакумова С.И. 1 Руденко В.Г. 1 Стригун Н.С. 1
1 ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет» филиал
Введение. В настоящее время хорошо разработаны методы решения линейных рекуррентных соотношений (возвратные уравнения). Нелинейные рекуррентные уравнения, представляющие интерес, решаются численными методами. Цель. Найти аналитические решения нелинейных уравнений. Материалы и методы. Обнаружен особый класс нелинейных рекуррентных соотношений – мультипликативные уравнения, решения которых можно получать в аналитическом виде, что позволяет получать аналитически перестройку решений при изменении параметров. Результаты. Предложен метод решения таких уравнений путем сведения их к системе линейных рекуррентных (возвратных) уравнений. Найдены решения таких уравнений при различных значениях параметров. Получены периодические числовые последовательности с различными значениями периодов. Выводы. В предложенных мультипликативных уравнениях, которые являются сильно нелинейными, можно получать аналитические решения и аналитически проследить перестройку их при изменении параметров, что представляет интерес для различных разделов нелинейной динамики.
рекуррентные
мультипликативные уравнения
перестройка решений
1. Абакумова С.И., Руденко В.Г. Исследование мультипликативного уравнения второго порядка // Состояние и перспективы развития электротехнологии: XVII Международная научно-техническая конференция (Бенардосовские чтения), 29–31 мая 2013, III том «Электротехника». – Иваново: ИГЭУ, 2013. – С. 312–314.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т., т. VI. Гидродинамика – М.: Наука. 1986. – С. 169–183.
3. Руденко В.Г., Тимченко О.В. Эластичность многофакторных экономических показателей // Научные труды № 32 (часть 4) «Дни науки». – Пятигорск: ПГТУ, 2009. – С. 114–119.
4. Фейгенбаум М. Универсальное поведение в нелинейных системах // УФН. – 1983. – Т. 141, Вып. 2. – С. 343–374.
5. Figenbaum M.J. Univercal behaviour in nonlinear systems // Los Alamos Sci. –1980. – № 1. – Р. 4–27.

Рассмотрение различных вопросов нелинейной динамики позволило по-новому посмотреть на соотношение непрерывного и дискретного при описании нелинейных процессов. Обнаруженное в 1980 г. М. Фейгенбаумом [1] сложное поведение сравнительно простого одномерного нелинейного отображения avakum001.wmf, n = 1, 2, ..., дающего при λ < 4 отображение отрезка [0, 1] в себя, было сразу замечено и использовано для разработки различных сценариев поведения нелинейных систем [2, 3], для уточнения таких понятий, как предельный цикл, аттрактор, область притяжения, бифуркации и т.п., универсальное поведение. Бифуркации удвоения периода, обнаруженные Фейгенбаумом стали одним из сценариев развития турбулентности в гидродинамике. Отметим, что исследование проведенное Фейгенбаумом – численное исследование при различных λ этого отображения.

Здесь мы хотели бы привлечь внимание к одному, пока еще не востребованному, классу нелинейных уравнений, в которых регулярным образом можно получать решение в явном виде и тем самым аналитически выяснить зависимость решений от параметров модели, аналитически проследить перестройку решений при их изменении. Речь идет о мультипликативном рекуррентном автономном уравнении k-го порядка вида:

avakum002.wmf, n = 1, 2, ..., (1)

x1 = a1, x2 = a2, …, xk = ak, (1*)

в котором g > 0, ai > 0, i = 1, 2, ..., k, δj Î R, (j = 0, 1, ..., k – 1). Величины ai – начальные данные, а g и δj будем рассматривать как параметры модели (1).

Вид модели (1) с начальными условиями (1*) подсказывает, что решение (1) следует искать в виде

avakum003.wmf, n = 1, 2, ..., при выполнении (1*). (2)

Искомая функция

xn = x(n, a1, a2, …, ak, δ0, δ1, …, δk–1)

будет определяться k + 1 функциями: k функциями αi(n) (i = 1, 2, …, k) и функцией γ(n) натурального аргумента.

Для нахождения функций αi(n) получаем – линейных однородных рекуррентных уравнений k-го порядка

avakum004.wmf (3)

c начальными условиями

avakum005.wmf i, m = 1, 2, ..., k, (3*)

а для γ(n) – линейное неоднородное рекуррентное уравнение k-го порядка

avakum006.wmf (4)

c нулевыми начальными условиями

γ(i) = 0, i = 1, 2, …, k. (4*)

Начальные условия (3*) и (4*) следуют из (2) и (1*).

Общее решение однородного линейного рекуррентного уравнения есть линейная комбинация k его частных линейно независимых решений, для нахождения которых нужно составить и решить характеристическое алгебраическое уравнение k-й степени с коэффициентами δ0, δ1, ..., δk–1.

Таким образом, аналитическое решение уравнения (1) с начальными условиями (1*) возможно в той мере, в какой возможно найти решение соответствующего характеристического алгебраического уравнения. В этой связи особое место среди мультипликативных уравнений (1) занимают уравнения второго и третьего порядков. Исследуем подробно уравнение второго порядка этого вида:

avakum007.wmf, n = 1, 2, ...; (5)

x1 = a > 0, x2 = b > 0, δ0, δ1 ∈ R.

Решение его ищем в виде (здесь a1 = a, a2 = b)

avakum008.wmf. (6)

Для показателей αn и βn получаем линейные однородные рекуррентные уравнения второго порядка

αn+2 = δ1αn+1 + δ0αn, α1 = 1, α2 = 0; (7)

βn+2 = δ1βn+1 + δ0βn, β1 = 0, β2 = 1. (7*)

Их частные решения ищем в виде αn = βn = qn, n = 1, 2, ..., и для q получаем характеристическое уравнение

avakum009.wmf.

Его решение

avakum010.wmf.

Случай 1. Корни действительные, различные,

avakum011.wmf

и

avakum012.wmf

avakum013.wmf.

Общее решение тогда запишется в виде

avakum014.wmf

avakum015.wmf (8)

Для нахождения постоянных линейной комбинации имеем системы

avakum016.wmf

и

avakum017.wmf

Решая, находим

avakum018.wmf

avakum019.wmf

avakum020.wmf

avakum021.wmf

С учетом этого получаем

avakum022.wmf n = 2, 3, ...; (8*)

avakum023.wmf n = 1, 2, ... (8**)

Случай 2. Корни комплексные,

avakum024.wmf, avakum025.wmf.

Тогда

avakum026.wmf;

avakum027.wmf. (9)

Запишем корни в виде

avakum028.wmf и avakum029.wmf, (9*)

где avakum030.wmf (10)

Если δ1 > 0, то

avakum031.wmf (10*)

Если δ1 < 0, то

avakum032.wmf (10**)

Общее решение αn и βn дается формулами (8), постоянные линейных комбинаций легко находятся, получаем

avakum033.wmf, n = 1, 2, ...; (11)

avakum034.wmf, n = 1, 2, ... (11*)

Значения ϖ и avakum035.wmf определяются комбинацией avakum036.wmf с учетом требований avakum037.wmf и δ0 < 0; «амплитуды» колебаний αn и βk меняются по закону avakum038.wmf с изменением n и при δ0 = –1 от n не зависят. Зафиксировав значение avakum039.wmf, мы тем самым фиксируем ϖ и T. Другими словами, если avakum040.wmf, то

α n+T = αn, β n+T = βn, n = 1, 2, ...,

если avakum041.wmf, то

avakum042.wmf, avakum043.wmf, n = 1, 2, ...,

Случай 3.

avakum044.wmf avakum045.wmf

В этом случае

avakum046.wmf

avakum047.wmf n = 1, 2, ...,

avakum048.wmf avakum049.wmf avakum050.wmf

avakum051.wmf avakum052.wmf

avakum053.wmf n = 1, 2, ... (12)

Для нахождения γn получаем неоднородное линейное рекуррентное соотношение второго порядка с нулевыми начальными условиями

avakum054.wmf, n = 1, 2, ..., (13)

γ1 = 0, γ2 = 0, схема решения которого хорошо известна. При рассмотрении конкретного вида (5) удобнее все выкладки проводить с самого начала, а не пользоваться готовыми формулами.

Рассмотрим случай с δ0 = –1, δ1 = 1. Непосредственно легко убедиться, что уравнение

avakum055.wmf, n = 1, 2, ...,

x1 = a, x2 = b (14)

задает периодическую последовательность с периодом Т = 6 и частотой avakum056.wmf.

(xn): avakum058.wmf (15)

Члены этой последовательности имеют вид avakum059.wmf и с учетом (15) находим, что показатели γn, αn, βn – периодические, с периодом Т = 6

n): 0, 0, 1, 2, 2, 1; 0, 0, 1, 2, 2, 1;…

n): 1, 0, –1, –1, 0, 1; 1, 0, –1, –1, 0, 1; … (16)

n): 0, 1, 1, 0, –1, –1; 0, 1, 1, 0, –1, –1; …

Для любого n имеет место равенство

γn + αn + βn = 1, n = 1, 2, ...

Найдем аналитическую запись решения (15). Имеем

avakum060.wmf. (17)

Получаем для определения показателей линейные рекуррентные уравнения

α n + 2 = α n + 1 – αn, α1 = 1, α2 = 0;

β n + 2 = β n + 1 – βn, β1 = 0, β2 = 1;

γ n + 2 = γ n + 1 – γ n + 1, γ1 = 0, γ2 = 1.

Характеристическое уравнение для этих уравнений имеет вид: avakum061.wmf, а его корни:

avakum062.wmf;

avakum063.wmf

дают два частных решения avakum064.wmf и avakum065.wmf. Запишем общие решения этих уравнений и начальные условия:

avakum066.wmf α1 = 1, α2 = 0;

avakum067.wmf β1 = 0, β2 = 1;

avakum068.wmf, γ1 = 0, γ2 = 0.

Определяя постоянные линейной комбинации, находим явные выражения для функций αn, βn, γn:

avakum069.wmf, n = 1, 2, ...;

avakum070.wmf, n = 1, 2, ...;

avakum071.wmf, n = 1, 2, ... (18)

Решение уравнения (14), задаваемое формулами (17), (18), определяет функцию x = x(a, b, k, n). При фиксированных a, b, k она определяет периодическую числовую последовательность (5). Структура шести членов последовательности, составляющих период avakum072.wmf, такова, что изменение одного из этих трех параметров вызывает изменение только четырех чисел из этой шестерки.

Частные эластичности этой функции по трем переменным будут равны соответствующим показателям:

avakum073.wmf

avakum074.wmf

avakum075.wmf (19)

но полная эластичность этой функции [5]

avakum076.wmf:

изменение всех параметров функции на 1 % вызовет изменение членов ряда (17) тоже на 1 %.

Рассмотренному случаю δ0 = –1, δ1 = 1 отвечает значение avakum077.wmf и согласно (10) avakum078.wmf, так что avakum079.wmf. Но значение avakum080.wmf может достигаться и при других комбинациях δ0 и δ1, так для avakum081.wmf и δ0 = –2 имеем avakum082.wmf, так что avakum083.wmf и Т = 6. В этом случае мы имеем дело с уравнением (k = g = 1)

avakum084.wmf n = 1, 2, …, x1 = a, x2 = b

записано с помощью (11) и (11*):

avakum085.wmf n = 1, 2, ...; (20)

avakum086.wmf n = 1, 2, ... (20*)

Убеждаемся, что

avakum087.wmf , n = 1, 2, ...

В качестве следующего примера рассмотрим случай, когда avakum088.wmf. Тогда при δ1 > 0 tgw = 1, соответственно avakum089.wmf, а avakum090.wmf. Если δ0 = –1, avakum091.wmf, то уравнение

avakum092.wmf, x1 = a, x2 = b (21)

определяет периодическую числовую последовательность с периодом Т = 8, описываемую формулами

avakum093.wmf avakum094.wmf

avakum095.wmf n = 1, 2, ... (22)

В этом случае |δ0| = 1, так что

α n + 8 = αn, β n + 8 = βn, n = 1, 2, ...

Если avakum098.wmf, но δ0 ≠ –1 и δ1 > 0, то

avakum099.wmf n = 1, 2, ...

avakum100.wmf n = 1, 2, ... (23)

Возьмем δ0 = –2, δ1 = 2 > 0, avakum101.wmf, тогда для последовательности

avakum102.wmf, n = 1, 2, ...,

x1 = a, x2 = b. (24)

Получаем

avakum103.wmf

avakum104.wmf n = 1, 2, ...

В этом случае

avakum105.wmf

avakum106.wmf n = 1, 2, ...

Соответственно, xn+8 = (xn)16 – восемь чисел очередного цикла получаются возведением в 16-ю степень чисел предыдущего цикла. Числа первой восьмерки этой последовательности

(xn): avakum108.wmf

Если a = b, то (xn):

avakum110.wmf

Если a ≠ 1, то при n → ∞, три числа из восьмерки цикла стремятся к нулю, три к бесконечности, два остаются равными единице.

Совсем по-другому ведут себя числа восьмерки цикла, если avakum111.wmf, δ1 = 1 > 0 avakum112.wmf.

Имеем

avakum113.wmf, n = 1, 2, ..., x1 = a, x2 = b. (26)

В этом случае

avakum114.wmf, n = 1, 2, ...

avakum115.wmf, n = 1, 2, ... (27)

Находим, что

avakum116.wmf, avakum117.wmf,

avakum118.wmf

Если avakum119.wmf и δ1 > 0, то avakum120.wmf; avakum121.wmf, а T = 12. Но при δ1 = –1, δ1 = –1 имеем avakum122.wmf и Т = 3.

Если δ1 = δ0 = 1, то для уравнения

x n+2 = xnxn+1, n = 1, 2, ..., x1 = a, x2 = b.

Находим avakum123.wmf и

α n+2 = α n+1 + αn, α1 = 1, α2 = 0;

β n+2 = β n+1 + βn, β1 = 0, β2 = 1.

Оба уравнения определяют последовательность Фибоначчи с начальными данными 1,0 для αn и 0,1 для βn.

Проведенный здесь анализ свидетельствует о возможности аналитически изучать перестройку решений этого класса уравнений при изменении параметров модели.

Рецензенты:

Алтухов В.И., д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник отдела стратегического и инновационного развития СКФУ, филиал, г. Пятигорск;

Казуб В.Т., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой физики и математики Пятигорского медико-фармацевтического института, филиал ГБОУ ВПО ВолгГМУ Минздрава РФ, г. Пятигорск.

Работа поступила в редакцию 05.08.2014.


Библиографическая ссылка

Абакумова С.И., Руденко В.Г., Стригун Н.С. ПЕРЕСТРОЙКА РЕШЕНИЙ РЕКУРРЕНТНОГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 9-7. – С. 1483-1488;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=35088 (дата обращения: 23.02.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074