Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИССИПАТИВНОГО РАЗОГРЕВА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ДЛЯ ЖИДКОСТИ С ЭФФЕКТОМ «ОТВЕРДЕВАНИЯ» ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ТРЕТЬЕЙ СХЕМЫ ТЕЧЕНИЯ

Колодежнов В.Н. 1 Веретенников А.С. 1
1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий»
Рассмотрена третья схема течения в цилиндрическом канале для жидкости, реологическая модель которой учитывает проявление упрочнения при сдвиге или эффекта «отвердевания». В соответствии с реологической моделью для такой схемы течения канал разбивали на три зоны. В первой и второй зонах жидкость демонстрирует соответственно псевдопластическое и дилатантное поведение. Третья зона оказывается заполненной материалом «отвердевшей» жидкости. Для такого варианта течения рассмотрена задача установившегося конвективного теплопереноса с учетом диссипации механической энергии. При этом на стенке канала ставились температурные граничные условия первого рода. Конвективный теплоперенос вдоль оси канала определяли по средней скорости потока. Диссипативную составляющую принимали с учетом точного распределения скорости в поперечном сечении канала. Получено выражение для распределения температуры во всех зонах канала. Проведены численные эксперименты и анализ влияния параметров модели на характеристики процесса диссипативного разогрева. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании течения неньютоновских жидкостей такого рода в проточных элементах технологического оборудования.
диссипация
неньютоновская жидкость
температура
эффект «отвердевания»
упрочнение при сдвиге
1. Колодежнов В.Н. Математическое моделирование реологического поведения нелинейно-вязких жидкостей, которые демонстрируют проявление эффекта «отвердевания» // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. – 2012. – № 4. – С. 35–38.
2. Колодежнов В.Н. Математическое моделирование течения в цилиндрическом канале жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта «отвердевания» // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2013. – Т. 9. – № 2. – С. 118–122.
3. Колодежнов В.Н., Капранчиков С.С., Веретенников А.С. Математическое моделирование диссипативного разогрева в цилиндрическом канале для жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», при реализации первой схемы течения // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10. – С. 21–24.
4. Колодежнов В.Н., Капранчиков С.С., Веретенников А.С. Моделирование диссипативного разогрева в цилиндрическом канале для жидкости с эффектом «отвердевания» при реализации второй схемы течения // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 11. – С. 179–183.
5. Фройштетер Г.Б., Данилевич С.Ю., Радионова Н.В. Течение и теплообмен неньютоновских жидкостей в трубах. – Киев: Наукова думка, 1990. – 216 с.

В [1–4] представлен обзор публикаций, в которых приводятся результаты исследования реологических свойств некоторых видов суспензий на основе мелкодисперсных частиц, демонстрирующих проявление эффекта «отвердевания». В [1] предложена реологическая модель жидкостей такого рода, а в [2] с привлечением этой реологической модели решена задача о течении в цилиндрическом канале. При этом показано, что в зависимости от перепада давления на длине канала возможны три схемы течения. В [3, 4] для первых двух схем течения проведено математическое моделирование конвективного теплопереноса в цилиндрическом канале с учетом диссипации механической энергии. В данной работе приводятся результаты моделирования конвективного теплопереноса с учетом диссипации для третьей схемы течения.

В работе [2] было показано, что третья схема течения реализуется при выполнении следующего условия

kolodeg001.wmf,

где Δp – перепад давления на длине канала; p0, pL – давление на входе и выходе из канала; τ2 – параметр реологической модели суспензии, представляющий собой предельное значение касательного напряжения; L – длина канала; R – радиус канала.

Особенностью такой схемы является формирование в канале трех зон. Первые две из них представляют собой зоны соответственно псевдопластического и дилатантного течения. Третья же зона оказывается заполненной «отвердевшей» жидкостью. Границами раздела между этими зонами являются цилиндрические поверхности с радиусами [2]

kolodeg002.wmf

kolodeg003.wmf kolodeg004.wmf

где G, La – геометрический критерий подобия и критерий подобия Лагранжа соответственно; B – параметр реологической модели.

Рассмотрим задачу конвективного теплопереноса в цилиндрическом канале с учетом диссипации механической энергии в случае реализации третьей схемы течения жидкости с эффектом «отвердевания», представленной на рис. 1.

Учитывая разбиение области течения на три зоны, решение задачи по определению распределения температуры в канале будем искать в виде

kolodeg005.wmf

где T(k) (r, z) – распределения температур жидкости в основных зонах, представляющие собой неизвестные функции радиальной r и продольной z координат. Здесь и далее верхний индекс k в круглых скобках принимает значения k = 1, 2, 3 соответственно, для каждой из зон течения с тем же номером.

pic_31.tif

Рис. 1. Третья схема течения: 1, 2, – соответственно первая и вторая зоны течения; 3 – третья зона, заполненная материалом «отвердевшей» жидкости

Решение задачи проводилось в безразмерном виде, с учетом соотношений из [2, 3].

Уравнение конвективного теплопереноса в цилиндрическом канале [5] с учетом диссипации в безразмерном виде для первой и второй зон течения может быть записано следующим образом:

kolodeg006.wmf (1)

kolodeg007.wmf kolodeg008.wmf

где kolodeg009.wmf – температура жидкости в канале, представляющая собой неизвестную функцию радиальной r′ и продольной z′ координат; kolodeg010.wmf – средняя скорость по проходному сечению канала (с учетом наличия третьей зоны); S1, S2 – параметры уравнения, определяемые через основные критерии подобия; kolodeg011.wmf – касательное напряжение; kolodeg012.wmf – скорость сдвига; Pr, Ec, Re – критерии подобия Прандтля, Эккерта и Рейнольдса соответственно.

Здесь и далее верхним штрихом обозначены безразмерные величины.

Решение задачи проводили с учетом следующих граничных условий:

kolodeg013.wmf (2)

kolodeg014.wmf (3)

kolodeg015.wmf (4)

kolodeg016.wmf (5)

kolodeg017.wmf (6)

где T0 – температура жидкости на входе в канал; Tw – принимаемая постоянной температура стенки канала; T*, T** – некоторые характерные значения температуры среды в канале; λ′ – безразмерный параметр, равный отношению коэффициента теплопроводности «отвердевшей» жидкости к коэффициенту теплопроводности среды во второй зоне.

Применяя методику решения аналогичной задачи [3, 4] для первой и второй зон течения с учетом граничных условий (2), (3), функцию распределения температуры можно представить в виде

kolodeg018.wmf k = 1, 2, (7)

где J0j, r′) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Cj – коэффициенты разложения; kolodeg019.wmf – неизвестная пока константа.

Для краткости записи в (7) приняты следующие обозначения:

kolodeg020.wmf

kolodeg021.wmf

kolodeg022.wmf

kolodeg023.wmf

kolodeg024.wmf kolodeg025.wmf kolodeg026.wmf

где wi – коэффициенты интерполирующего, степенного по радиальной координате, полинома порядка I, которым представлена диссипативная функция внутри второй зоны течения.

Распределение температуры в канале для третьей зоны должно удовлетворять уравнению

kolodeg027.wmf (8)

Сделаем следующее допущение относительно соотношения плотностей тепловых потоков в направлениях осей z и r:

kolodeg028.wmf (9)

Решая тогда уравнение (8) с учетом допущения (9) и граничного условия (5), получаем следующее выражение для распределения температуры в третьей зоне:

kolodeg029.wmf (10)

где kolodeg030.wmf – константа интегрирования, представляющая собой неизвестную пока функцию продольной координаты.

Для определения неизвестных констант интегрирования kolodeg031.wmf и kolodeg032.wmf воспользуемся граничными условиями (4).

Из условия «сшивания» температур на границе второй и третьей зон получаем

kolodeg033.wmf

Выполнение условия «сшивания» тепловых потоков на этой же границе раздела зон приводит к следующему соотношению:

kolodeg034.wmf

Поскольку это соотношение должно выполняться для любых значений kolodeg035.wmf, приходим отсюда к уравнениям

kolodeg036.wmf (11)

kolodeg037.wmf (12)

Соотношение (11) представляет собой характеристическое уравнение для рассматриваемой краевой задачи и позволяет определить набор значений εj. Решение этого характеристического уравнения проводили численно с привлечением ЭВМ.

Второе же соотношение (12) позволяет найти еще одну константу задачи:

kolodeg038.wmf (13)

Используя условие ортогональности базисных функций, можно показать, что оставшиеся пока неизвестными коэффициенты разложения Cj определяются в виде

kolodeg039.wmf j = 1, 2, ...

Таким образом, все константы интегрирования в выражениях (7), (10) для распределения температуры по основным зонам оказываются определенными.

Для оценки влияния параметров математической модели на характеристики диссипативного разогрева среды были проведены численные эксперименты. В ходе расчетов в качестве базовых значений принимался следующий набор безразмерных параметров: B = 0,752; G = 0,133; Pr = 2,476·105; Ec = 1,731·10–6; λ′ = 1; kolodeg040.wmf; kolodeg041.wmf; при следующих значениях, определенных в [1–4], параметров реологической модели n1 = 0,7; kolodeg042.wmf; n2 = 0,233, а также пороговых значениях критерия подобия Лагранжа Lacrit1 = 34,247; Lacrit2 = 60. При этом отдельные базовые параметры допускали варьирование своих значений в ходе выполнения численных экспериментов.

Для примера на рис. 2 представлено распределение безразмерной температуры в различных поперечных сечениях канала.

pic_32.wmf

Рис. 2. Распределение безразмерной температуры в различных поперечных сечениях канала при La = 100; Re = 2,07·10–3; для z′ = 0,05 (1); 0,15 (2); 0,3 (3); 0,5 (4); 1 (5)

Штриховыми линиями на этом и следующем рисунках отмечены границы раздела kolodeg043.wmf первой и второй зон течения, а также kolodeg044.wmf второй зоны течения и третьей зоны, заполненной материалом «отвердевшей» жидкости. Как следует из представленных зависимостей, распределение температуры в поперечном сечении не является монотонным. При этом температурный профиль имеет экстремум типа максимума, который по мере удаления от входного сечения смещается к центру канала.

Кривые на рис. 3 иллюстрируют влияние критерия подобия Лагранжа на распределение температуры в выходном сечении канала.

pic_33.wmf

Рис. 3. Распределение безразмерной температуры в выходном сечении канала при Re = 0,01; La = 70 (1); 80 (2); 90 (3); 100 (4); 120 (5)

На рис. 4 для того же, что и на рис. 3, набора числовых значений исходных параметров представлена зависимость радиусов границы раздела первой и второй зон течения, а также границы раздела второй зоны течения и третьей зоны «отвердевшей» жидкости от величины критерия подобия Лагранжа.

pic_34.wmf

Рис. 4. Влияние критерия подобия Лагранжа на величину радиусов kolodeg045.wmf и kolodeg046.wmf

Как видно из представленных на этом рисунке зависимостей, по мере увеличения в указанном диапазоне значений критерия La третья зона расширяется, а соответственно, проходное сечение уменьшается, демонстрируя тем самым проявление эффекта «запирания» канала.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 12-08-00629.

Рецензенты:

Шашкин А.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Математический и прикладной анализ», ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», г. Воронеж;

Буховец А.Г., д.т.н., профессор кафедры «Прикладная математика и применение математических методов в экономике», ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет им. императора Петра I», г. Воронеж.

Работа поступила в редакцию 05.08.2014.


Библиографическая ссылка

Колодежнов В.Н., Веретенников А.С. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИССИПАТИВНОГО РАЗОГРЕВА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ДЛЯ ЖИДКОСТИ С ЭФФЕКТОМ «ОТВЕРДЕВАНИЯ» ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ТРЕТЬЕЙ СХЕМЫ ТЕЧЕНИЯ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 9-7. – С. 1446-1451;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=35082 (дата обращения: 23.02.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074