Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,222

НЕРАВЕНСТВО ПУАНКАРЕ ДЛЯ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ МНОЖЕСТВ

Кулешов П.А. 1 Пенкин О.М. 1
1 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»
Уравнения на стратифицированных множествах являются одним из новейших разделов теории дифференциальных уравнений. Этот раздел имеет непосредственное приложение к моделированию процессов в сильно неоднородных средах, а потому имеет важное практическое значение. К настоящему времени в этой области получен достаточно широкий спектр результатов. Большая часть из них относится к так называемым геометрическим графам – простейшим (в смысле размерности) стратифицированным множествам. Одним из значительных результатов, полученных в общем случае, является аналог неравенства Пуанкаре – Стеклова – Фридрихса для случая пространства . В данной работе мы приводим его обобщение до случая пространства при произвольном p ≥ 1. Основой доказательства служит случай p = 2. Неравенство рассмотрено в двух вариантах – для жесткого лапласиана и для мягкого лапласиана. Для каждого из них указаны необходимые и достаточные условия.
стратифицированное множество
неравенство Пуанкаре
1. Кулешов П.А. Теорема вложения Соболева для стратифицированных множеств // Научные ведомости Белгородского государственного университета, Математика. Физика. – 2013. – № 5 (148). – Вып. 30.
2. Куляба В.В., Пенкин О.М. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах // Докл. РАН. – 2002. – Т. 386, № 4. – С. 453–456.
3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А.. Дифференциальные уравнения на геометрических графах – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
4. Стеклов В.А. О дифференциальных уравнениях математической физики // Математический сборник. – 189619. – Вып. 4. – С. 469–585.
5. Federer H. Geometric Measure Theory. – Reprint of the 1969 Edition. – Springer, 1996.
6. Gavrilov A., Nicaise S., Penkin О. Poincare’s inequality on stratified sets and applications. Rapport de recherche 01.2, Universite de Valenciennes, Fevrier 2001. – P. 1–20.
7. Poincare H., Sur les equations de la physique mathematique, Rendiconti del circolo mathematico di Palermo, 8 (1894), 57–156.
8. Saloff-Coste L. Aspects of Sobolev-type inequalities, volume 289 of London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University, 2002.

Стратифицированные множества в том виде, в котором рассмотрим в данной работе их мы, имеют сравнительно короткую историю. Все полученные к данному моменту результаты можно разделить на две категории: результаты для одномерных стратифицированных множеств, именуемых геометрическими графами, и результаты для стратифицированных множеств более высоких размерностей. Результаты из первой категории уже образуют широкую теорию с большим количеством приложений, тогда как результаты, принадлежащие ко второй, начали появляться лишь менее 30 лет назад и пока что представлены не столь широко. В частности, к последним относится аналог неравенства Пуанкаре – Стеклова – Фридрихса:

kulesh05.wmf

на стратифицированном множестве произвольной размерности. (Всюду далее мы будем называть его неравенство Пуанкаре (см. [7]), при том, что в таком виде данное неравенство было сформулировано Стекловым (см. [4]), а в литературе его нередко называют неравенством Фридрихса.) Доказан он был А.А. Гавриловым и О.М. Пенкиным при p = 2, см. [3, 6]. Однако, что касается случая с произвольным p ≥ 1, то до настоящего времени его доказательство никем сформулировано не было. Именно этот пробел и призвана устранить данная статья.

Чтобы получить достаточно полное представление о стратифицированных множествах и о текущем положении дел в данной области достаточно обратиться к книге [3], которая является главным и фактически единственным собранием результатов по этой теме.

Сразу стоит заметить, что схема доказательства для p = 2, приведенного в упомянутых работах, выглядит применимой и в общем случае. На первый взгляд, единственным фактическим отличием будет использование неравенства Гельдера вместо неравенства Коши – Буняковского – Шварца, которое, впрочем, является частным случаем первого. В то же время это доказательство представляется достаточно громоздким. Поэтому мы пойдем другим путем, используя простую идею, аналогичную одной из идей доказательства неравенства Соболева для произвольного p ≥ 1 на основании случая p = 1, например, см. [8, раздел 1.1.3].

Мы рассмотрим два типа неравенств Пуанкаре на стратифицированном множестве. Первый и основной – неравенство для случая жесткого лапласиана – будет нами рассмотрен относительно подробно. Второй – неравенство для случая мягкого лапласиана – мы лишь сформулируем. Для каждого из них неравенство будет иметь несколько разный вид и будет выполняться при различных условиях.

Далее мы приведем основные необходимые определения. Для справки см. [3, глава 9].

Основные определения

Пусть дано связное замкнутое множество Ω ⊂ Rn и пусть задан набор, который обозначим Σ, открытых подмногообразий σkj ⊂ Ω, называемых стратами, примыкающих друг к другу по типу клеточного комплекса. В обозначении σkj первый индекс означает размерность страта, а второй – его номер при автономной нумерации стратов данной размерности. Будем писать σkj < σli (или σli > σkj) и говорить, что σkj примыкает к σli, если kulesh06.wmf. Страт σkj назовем свободным, если в Ω нет стратов, к которым бы он примыкал. Например, страты максимальной размерности всегда будут являться свободными.

Мы предполагаем выполненными следующие два условия для стратов из Σ:

1. Любые два страта не пересекаются, а их замыкания либо не пересекаются, либо пересечение их представимо в виде объединения стратов из Σ. Граница страта σkj является объединением стратов из Σ, размерность которых меньше k.

2. Для любого X ∈ σk–1,i «звезда»

kulesh07.wmf

допускает локальное (вблизи X) выпрямление, что означает существование такой окрестности V точки X в объемлющем пространстве Rn и такого диффеоморфизма Φ:V → W, что образ множества V Ç S представляет собой объединение (k – 1)-мерного шара (образа части σk–1,i, попавшей в V) и примыкающих к нему полушарий (аналогичных образов частей σkj).

Для иллюстрации второго условия приведем следующий рис. 1.

По нашему определению, стратифицированное множество – это тройка (Ω, Φ, φ), где φ – отображение, описывающее «склейку» Ω из стратов семейства Σ), но для простоты будем называть стратифицированным множеством само Ω.

pic_20.tif

Рис. 1

Топология на Ω индуцируется стандартной топологией пространства n, т.е. подмножество Ω0 стратифицированного множества Ω называется открытым, если существует открытое подмножество n, пересечение которого с Ω совпадает с Ω0. Пусть Ω0 – связное и открытое подмножество Ω, составленное из стратов семейства Σ и такое, что kulesh08.wmf.

Тогда разность Ω\Ω0, очевидно, является границей множества Ω0 и будет тоже состоять из стратов, а потому будет обозначаться через ∂Ω0). Под обозначением Ω = (Ω0, ∂Ω0) мы будем понимать, что данное стратифицированное множество Ω разбито на Ω0 и ∂Ω0 указанным способом.

Далее, введем на стратифицированном множестве меру. Подмножество ω Ì Ω назовем измеримым, если измеримы по Лебегу пересечения ω Ç σkj при всех значениях индексов k и j, а его меру определим, как

kulesh09.wmf,

где μk есть – мерная мера Лебега на σkj. Нетрудно заметить, что так определенные измеримые множества образуют σ-алгебру, а функция μ является мерой. Измеримость функции по мере μ определяется точно так же, как и в классическом случае. Меру μ назовем стратифицированной мерой.

Интеграл Лебега суммируемой функции f на Ω оказывается равным сумме интегралов Лебега сужений этой функции на отдельные страты, т.е.

kulesh10.wmf

где суммирование проводится по всем стратам.

Пусть Ω = (Ω0, ∂Ω0), обозначим через kulesh11.wmf множество непрерывных на Ω функций, которые обращаются в нуль на ∂Ω0, и сужения которых на замыкание любого страта из Ω0 являются непрерывно дифференцируемыми функциями. Теперь мы можем определить стратифицированный аналог пространства kulesh12.wmf как пополнение пространства kulesh13.wmf по норме

kulesh14.wmf

где ∇f на каждом k-мерном страте есть классический k-мерный градиент сужения функции f на данный страт. Обозначать полученное пространство будем kulesh15.wmf.

Неравенство Пуанкаре на стратифицированном множестве для жесткого лапласиана

Как уже было сказано, мы будем опираться на случай p = 2, для выполнения которого требуется соблюдение условия «прочности» рассматриваемого стратифицированного множества. Поэтому будет естественным взять то же самое требование за основу и в общем случае. При этом, как покажет доказательство, никаких изменений в связи с переходом к произвольному р данное условие не потребует.

Определение 1. Стратифицированное множество Ω = (Ω0, ∂Ω0) назовем прочным, если для любого страта σki ∈ Ω0 найдется цепочка (упорядоченный набор) стратов kulesh16.wmf такая, что:

1) любые два соседних страта из цепочки примыкают один к другому, а их размерности отличаются друг от друга ровно на единицу;

2) последний страт цепочки входит в ∂Ω0.

Такую цепочку будем называть прочной цепочкой, построенной для страта σki.

В качестве примера рассмотрим рис. 2.

pic_21.tif

Рис. 2

Здесь жирными точками обозначены нульмерные страты. Если граница обоих изображенных на рисунке стратифицированных множеств будет выбрана состоящей лишь из одного страта – σ01, то в этом случае множество, изображенное слева, удовлетворяет условию прочности, а множество справа – нет. Если же к границе множества справа добавить еще и страт σ11 (вместе с его граничными стратами), то оно также станет прочным.

Теорема 1

Пусть дано прочное стратифицированное множество Ω = (Ω0, ∂Ω0) и p ≥ 2. Тогда найдется константа C > 0, зависящая только от Ω и p, такая, что для любой функции kulesh17.wmf выполнено неравенство

kulesh18.wmf (1)

Доказательство: Возьмем произвольную функцию kulesh19.wmf и положим kulesh20.wmf. Легко видеть, что kulesh21.wmf. В самом деле, v дифференцируема почти всюду (относительно стратифицированной меры) и в точках дифференцируемости мы имеем kulesh22.wmf, а тогда

kulesh23.wmf

Далее применим к центральной части неравенство Гельдера с показателями kulesh24.wmf. В результате получим

kulesh25.wmf (2)

С другой стороны, так как kulesh26.wmf, то в силу неравенства Пуанкаре на стратифицированном множестве для p = 2 будем иметь

kulesh27.wmf (3)

Собрав вместе неравенства (2) и (3), мы получим требуемое неравенство (1) для функций из kulesh28.wmf.

Что касается произвольной функции w из kulesh29.wmf, то здесь достаточно заметить, что, по определению, найдется последовательность kulesh30.wmf, что

kulesh31.wmf

Вернемся к множеству, изображенному на рис. 1 справа. Для него, как нетрудно убедиться, теорема 1 выполняться не будет. Действительно, рассмотрим функции из kulesh32.wmf (классическое пространство), которые обращаются в нуль только в одной точке (в качестве таковой выберем точку, составляющую страт σ02). Известно, что для такого класса функций классическое неравенство Пуанкаре

kulesh33.wmf

выполняться не будет. Продолжив каждую из них нулем на страты σ12 и σ01, мы получим подмножество kulesh34.wmf, для которого утверждение теоремы 1 неверно. В общем случае, в работе [2] приводится доказательство необходимости условия прочности в неравенстве Пуанкаре на стратифицированном множестве для жесткого лапласиана. И хотя там оно сформулировано для случая p = 2, убедиться в его справедливости при произвольном p не представляет из себя никакой сложности. Таким образом, условие прочности является необходимым и достаточным для выполнения неравенства (1).

Неравенство Пуанкаре на стратифицированном множестве для мягкого лапласиана

Неравенство Пуанкаре для мягкого лапласиана существенным образом отличается от рассмотренного выше случая. В нем не учитываются значения функции на стратах, не являющихся свободными, т.е. на тех, которые содержатся в границе какого-либо иного страта из Ω. Другими словами, неравенство Пуанкаре на стратифицированном множестве для случая мягкого лапласиана имеет вид:

kulesh36.wmf (4)

где q ≡ 1 на свободных стратах и равно нулю на остальных. В результате это приводит к некоторому изменению требований, предъявляемых к стратифицированному множеству, в сравнении со случаем жесткого лапласиана. Во-первых, к стратам, не являющимся свободными, более не предъявляются никакие требования. Это выглядит естественным, если учесть, что они никак не влияют на неравенство (4). В то же время к свободным стратам, наоборот, предъявляются существенно более жесткие условия. А именно: для каждого из них должна существовать прочная цепочка, причем такая, что размерности стратов в ней должны чередоваться, а все страты той же размерности, что и исходный, должны быть свободными. То есть, прочная цепочка, построенная для свободного страта размерности k, должна содержать только страты размерностей k и k – 1, причем страты размерности k должны быть также свободными. Так, например, множество, изображенное на рис. 1 слева, не удовлетворяет описанным требованиям, если его граница состоит только из σ01, но будет удовлетворять, если граница будет состоять из объединения страта σ01 и замыкания σ11.

Необходимость и достаточность приведенных условий практически очевидны. Для иллюстрации необходимости подойдет пример, аналогичный тому, который приведен в конце предыдущего пункта и показывает необходимость условий теоремы 1. А по поводу достаточности мы лишь отметим, что в этом случае ситуация ничем не отличается от классической.

В заключение стоит сказать об аналоге неравенства Соболева на стратифицированном множестве, который, несомненно, представляет большой интерес и который включает в себя приведенные в данной работе результаты. К данному моменту этот вопрос полностью не решен. Частичный результат можно найти в [1], где приведены чрезмерно грубые требования к рассматриваемому стратифицированному множеству, а само доказательство громоздко и достаточно примитивно. В общем случае требования к множеству, по-видимому, будут очень близки к тем, что мы имеем здесь, но само доказательство должно отличаться куда большей тонкостью, нежели доказательство неравенства Пуанкаре.

Рецензенты:

Каменский М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой функционального анализа и операторных уравнений, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», г. Воронеж;

Новиков И.Я., д.ф.-м.н., профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», г. Воронеж;

Кульбачинский В.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры физики низких температур и сверхпроводимости, физический факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва.

Работа поступила в редакцию 05.02.


Библиографическая ссылка

Кулешов П.А., Пенкин О.М. НЕРАВЕНСТВО ПУАНКАРЕ ДЛЯ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ МНОЖЕСТВ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-1. – С. 49-53;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34107 (дата обращения: 25.04.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252