Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТОЛБА ЖИДКОСТИ, ОКРУЖАЮЩЕЙ ДЛИННОЕ ПОРИСТОЕ ЯДРО. СЛУЧАЙ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ВОЛН

Миронова С.М. 1
1 ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева»
Построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей коаксиально расположенное, бесконечно длинное пористое ядро. Найдены условия, при которых возмущения жидкого столба становятся неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку из соединенных капель. Показано, что длина этих капель уменьшается с возрастанием электрического поля. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиального цилиндрического конденсатора, к электродам которого приложена разность потенциалов. Радиус внешнего электрода предполагается произвольным. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, θ, z), в которой жидкий столб покоится. Ось z направлена по оси пористого цилиндра. Записаны уравнения движения электропроводной жидкости внутри и вне пористой среды, а также уравнения для электрического поля в воздухе. Сформулированы граничные условия для гидродинамических и электрических величин на поверхностях раздела сред. Найдено полное решение краевой задачи для электрогидродинамических величин. Проведен численный анализ полученного дисперсионного уравнения, описывающего распространение поверхностных волн. Рассмотрены различные частные случаи. Найдены условия, при которых возмущения жидкого столба устойчивы (затухающие волны), либо неустойчивы (что приводит к нарастанию возмущений и распаду цилиндра на цепочку капель). Показано, что размер образующихся капель уменьшается с ростом электрического поля.
цилиндрический столб жидкости
пористая среда
затухание волн
распад на капли
электрическое поле
1. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. – М.: Физматлит, 2005. – 287 с.
2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975. – 431 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. – М.: Физматлит, 2006. – 736 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. – М.: Физматлит, 2005. – 651 с.
5. Миронова С.М., Тактаров Н.Г. Распространение волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2012. – № 4. – С. 110–116.
6. Миронова С.М. Гидродинамические неустойчивости и волны на заряженной поверхности цилиндрической конфигурации электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны: тезисы докл. Междунар. конф. «XV Харитоновские тематические научные чтения» (Саров, 18–22 марта, 2013). – Саров, 2013. – С. 335–337.
7. Миронова С.М. Математическое моделирование поверхностных волн в слое жидкости с поверхностным зарядом на пористом основании // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. – Сер. физико-математические науки. – 2011. – № 2. – С. 41–48.
8. Слезкин Н.А. О влиянии пористости дна на плоскую стоячую волну тяжелой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1984. – № 4. – С. 160–163.
9. Столяров И.В., Тактаров Н.Г. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1987. – № 5. – С. 183–186.
10. Тактаров Н.Г. Распад струи магнитной жидкости // Магнитная гидродинамика. – 1975. – № 2. – С. 35–38.
11. Huebner A.L., Chu H. N. Instability and breakup of charged liquid jets // J. Fluid Mech. – 1971. – Vol. 49. – Pt. 2. – P. 361–372.

Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании рассмотрено в работах [8, 9]. Исследование математической модели распространения волн на поверхности слоя электропроводной жидкости с поверхностным электрическим зарядом, находящейся на слое пористой среды, проведено в [7]. Классическая задача о волнах на поверхности струи жидкости впервые была решена Релеем [1]. Волны на заряженной поверхности струи жидкости исследованы в [11]. Задача о волнах на поверхности струи магнитной жидкости рассмотрена в [10]. Задача о распространении волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро, решена в [5] для случая электрода достаточно большого радиуса.

Предполагается, что внутри цилиндрического объема электропроводной несжимаемой жидкости находится ядро из пористого материала в форме коаксиально расположенного круглого цилиндра. Влиянием окружающего воздуха на распространение волн пренебрегается. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести отсутствует. Ось пористого цилиндра направлена по оси коаксиального цилиндрического конденсатора, к электродам которого приложена разность потенциалов V. В качестве внутреннего электрода конденсатора используется поверхность проводящей жидкости. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, θ, z), в которой жидкий столб покоится. Ось z направлена по оси пористого цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и внешнего электрода обозначим a, a0 и b соответственно. Предположение о том, что величина b достаточно велика, далее не делается. Заряд будет сосредоточен на поверхности электропроводной жидкости [4]. Внутри жидкости и пористой среды напряженность электрического поля Eqn35.wmf и будет отлична от нуля в промежутке между электродами. На поверхности проводника выполняется соотношение

Eqn36.wmf

где Eqn37.wmf – единичная внешняя нормаль к поверхности; σ  – плотность поверхностного заряда. Величины, относящиеся к пористой среде и свободной жидкости, в необходимых случаях обозначаются индексами 1 и 2 соответственно.

Уравнения движения электропроводной жидкости в пористой среде при условии Eqn35.wmf имеют вид [9]:

Eqn38.wmf Eqn39.wmf (1)

где ρ – плотность жидкости; Γ – пористость (отношение объема пор ко всему элементарному объему среды); η – вязкость; K – коэффициент проницаемости пористой среды; p1 – давление; Eqn40.wmf – макроскопическая скорость фильтрации, связанная со средней скоростью v1 жидкости в порах соотношением Eqn41.wmf

Уравнения движения свободной жидкости при и в предположении, что амплитуда волны значительно меньше ее длины [3], запишем в линейном приближении

Eqn42.wmf Eqn43.wmf (2)

где Eqn44.wmf – скорость свободной жидкости. Ограничиваемся случаем волн достаточно большой длины λ, существенно превышающей радиус a0 жидкого столба, с тем, чтобы пренебречь слагаемыми, содержащими Eqn45.wmf и Eqn46.wmf в уравнениях (1) и (2).

Уравнения для электрического поля в воздухе [4]

Eqn47.wmf Eqn48.wmf (3)

где ε = const – диэлектрическая проницаемость.

Из уравнений (1)–(3) следует

Eqn49.wmf Eqn50.wmf Eqn51.wmf (4)

Eqn52.wmf Eqn53.wmf

ΔΦ(r, θ, z, t) = 0.

Потенциал Φ запишем в виде

Φ = Φ0(r) + Φw(r, θ, z, t),

где Φw – малое возмущение, связанное с волной; Φ0 – невозмущенный потенциал, который находится из уравнения ΔΦ0 = 0 с граничными условиями Φ0(a0) = V, Φ0(b) = 0, и имеет вид:

Eqn54.wmf

Справедливы равенства

Eqn55.wmf E0(a0) = 4πσ0, (5)

где E0(r) – невозмущенное поле. Возмущенное поле записываем в виде

Eqn56.wmf

где Eqn57.wmf и ΔΦw = 0.

Система граничных условий имеет вид:

на поверхности пористой среды (r = a)

1) u1r = u2r;

2) p1 = p2; (6)

на свободной поверхности жидкости (r = a0 + ξ(θ, z, t))

3) Eqn58.wmf

4) Φ0(a0 + ξ) + Φw = V = const;

5) Eqn59.wmf

на внешнем электроде (r = b)

6) Φw(b) = 0.

Здесь pa – атмосферное давление; α – коэффициент поверхностного натяжения; H – средняя кривизна поверхности,

Eqn60.wmf

Давления запишем в виде

p1 = p10 + p1w, p2 = p20 + p2w,

где p10, p20 – равновесные давления.

В равновесии выполняются граничные условия

Eqn61.wmf

Eqn62.wmf (7)

Для возмущений давления из (1) и (2) следует

Eqn63.wmf

Eqn64.wmf (8)

С учетом выражений для Eqn37.wmf и H [1]

Eqn65.wmf

Eqn67.wmf

а также (4)–(8), линеаризованные граничные условия

1) Eqn68.wmf (9)

2) Eqn69.wmf

3) Eqn70.wmf

4) Φw – E0ξ = 0 (r = a);

5) Eqn71.wmf

6) Φw(b) = 0.

Здесь E0 ≡ E0(a0), а также учтено, что

Eqn72.wmf Eqn73.wmf

Математическая модель является, таким образом, краевой задачей, состоящей из уравнений Лапласа (4) и граничных условий (9).

Решение уравнений (4) с граничными условиями (9) ищем в виде

Eqn74.wmf

Здесь, например,

Eqn75.wmf

где Eqn76.wmf – амплитуда; k = 2π/λ – волновое число; m = 0, 1, 2, …; γ = β + iω; ω – частота; β – коэффициент, который может быть как положительным (при затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к нарастанию возмущения).

Уравнение ∆φ1 = 0 принимает вид модифицированного уравнения Бесселя порядка m

Eqn77.wmf

Общее решение этого уравнения

Eqn78.wmf

где Im и Km – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка m. Аналогично:

Eqn79.wmf

Eqn80.wmf

Следует положить C2 = 0, т.к. Km(kr) → ∞ при r → 0.

Граничные условия (9) для амплитуд

1) Eqn81.wmf (10)

2) Eqn82.wmf

3) Eqn83.wmf

4) Eqn84.wmf

5) Eqn85.wmf

6) Eqn86.wmf

Из пяти равенств (исключая предпоследнее) (10) можно найти выражения коэффициентов C1, C3, C4, C5, C6 через величину ξ*, которую считаем малой первого порядка. В связи с рассмотрением длинных волн необходимо учесть физическое ограничение (k2K)/(Γ⟨⟨1), что приводит к ограничению интервала рассмотрения k (k ∈ [0; 2]). Подставляя найденные коэффициенты в предпоследнее равенство системы (10), получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, кубическое относительно γ

Eqn87.wmf (11)

Eqn88.wmf

Eqn89.wmf

Eqn90.wmf

Eqn91.wmf

Eqn92.wmf

Eqn93.wmf

Eqn94.wmf

Уравнение (11) – кубическое и может быть приведено к так называемому неполному кубическому уравнению [2] с дискриминантом

Eqn95.wmf

где p и q выражаются через коэффициенты уравнения (11). При выполнении условия Q > 0 существует волновое движение, поскольку при этом уравнение (11) имеет два комплексно сопряженных корня. При Q ≤ 0 волновых движений нет, так как все три корня уравнения (11) действительные.

Конкретные числовые расчеты с дисперсионным уравнением (11) проводились для следующих значений параметров: ρ = 1 г/см3, α = 73 г/с2, η = 0,01 г/см∙с, Γ = 0,8, K = 0,02 см2, 0 < k < 2 см–1, ε = 1, 0 ≤ E0 ≤ 40 ед. СГС (1 ед. СГС = 300 вольт/см).

Случай симметричных возмущений (m = 0) был рассмотрен в [6].

Остановимся подробнее на исследовании влияния напряженности электрического поля E и волнового числа k на коэффициент затухания β и частоту колебаний волны для несимметричных возмущений (m = 1, m = 2). Случай m > 2 не рассматривается, поскольку при этом нарушается физическое ограничение (k2K)/(Γ ⟨⟨ 1).

Для значений a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см, 0 < k < 2 см–1, ε = 1, 0 ≤ E0 ≤ 40 ед. СГС, интервал 0 < k < 2 см–1 делится критической точкой kc (λc = 2π/kc), которая находится из условия Q = 0, на два интервала. В интервале 0 < k < kc волны отсутствуют: происходит нарастание возмущений (β < 0). Амплитуда растет с наибольшей скоростью при k = km. Размер образующихся при распаде жидкого столба капель равен λm ≈ 2π/km [1].

В таблице приведены значения kc для случаев m = 1 и m = 2 в зависимости от значений напряженности электрического поля.

Значения kc, см–1, найденные для a = 0,1 см, a0 = 1,1 см,b = 2 см

E0, ед. СГС

0

10

20

30

40

m = 1

0,909

0,970

1,152

1,466

1,957

m = 2

0,909

0,996

1,240

1,632

2,190

pic_75.tif

Рис. 1. Зависимость коэффициента затухания β от волнового числа k; параметр m = 1, a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см. Номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для E0 = 0, 10, 20, 30, 40 ед. СГС

Из рис. 1 видно, что с ростом волнового числа k значения коэффициента затухания волны сначала резко возрастают, а затем, по достижении максимума, монотонно убывают.

С ростом значения напряженности электрического поля графики сдвигаются вправо вдоль оси x. При этом βmax достигается при k ≈ 1,45 c–1.

pic_76.tif

Рис. 2. Зависимость частоты от волнового числа k при m = 1 и фиксированных значениях a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см. Номерами 1–5 обозначены кривые, рассчитанные для E0 = 0; 10; 20; 30; 40 ед. СГС соответственно

Из рис. 2 видно, что с ростом волнового числа значения частоты колебаний увеличиваются. При каждом заданном k частота уменьшается с ростом E.

На рис. 3 представлена зависимость коэффициента затухания β от волнового числа k; параметр m = 2, a = 0,1 см, a0 = 1,1 см, b = 2 см. Номерами 1–4 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для E0 = 0, 10, 20, 30 ед. СГС.

Из рис. 3 видно, что с ростом волнового числа k значения коэффициента затухания возрастают. С ростом значения напряженности электрического поля графики сдвигаются вправо вдоль оси k. Следует отметить, что после резкого возрастания ветви графиков сливаются в одну линию независимо от напряженности электрического поля (см. рис. 3).

При m = 2 графики зависимости от k аналогичны приведенным на рис. 2.

При m = 1 с ростом невозмущенной поверхности жидкости a0 значения коэффициента затухания и частоты колебаний уменьшаются при каждом заданном значении волнового числа k и зафиксированных значениях прочих параметров. С ростом радиуса пористого цилиндра значения коэффициента затухания волны увеличиваются, а частоты колебаний – уменьшаются при каждом заданном значении волнового числа k и зафиксированных значениях прочих параметров.

pic_77.tif

Рис. 3

При m = 1 затухание возмущений сильнее, а частота ω(k) волны меньше, чем при m = 2 при каждом заданном k и одинаковых значениях прочих параметров. В области существования волн частота ω увеличивается, а коэффициент затухания β уменьшается с увеличением радиуса a0 жидкого столба при каждом заданном значении волнового числа k и зафиксированных значениях прочих параметров.

Автор благодарит профессора Н.Г. Тактарова за постановку задачи и ее обсуждение.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.132.21.1353.

Рецензенты:

Тактаров Н.Г., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск;

Малыханов Ю.Б., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск.

Работа поступила в редакцию 09.10.2013.


Библиографическая ссылка

Миронова С.М. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТОЛБА ЖИДКОСТИ, ОКРУЖАЮЩЕЙ ДЛИННОЕ ПОРИСТОЕ ЯДРО. СЛУЧАЙ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ВОЛН // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10-7. – С. 1446-1451;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=32603 (дата обращения: 31.05.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074