Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

THE DECISSION OF CONTROL SYSTEM SYNTHESIS PROBLEM BY THE ARTIFICIAL NEURAL NETWORKS’ METHOD

Al-Bareda A.Y.S. 1 Pupkov K.A. 1
1 Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow
1174 KB
The article is devoted to the numerical solution for the problem of control systems synthesis using artificial neural networks. The article discusses the general solution of control synthesis in which you must find the control vector as a function of the coordinates of the state space of the control object. Function after substituting into the right part of the control object should be defined for different initial values to achieve the object of control objectives with the minimum quality criteria. Solution of the problem is done by artificial neural networks. We give example of solving the problem of control synthesis for a nonlinear system of second order. Seeking synthesizing function should ensure getting to the origin of the four initial values for the minimum time. The problem is solved feedforward neural network with three layers. Neural network training was carried out by a variation genetic algorithm.
control systems synthesis
artificial neural network
genetic algorithm
1. Al-Bareda A.Ja.S., Pupkov K.A.Algoritm sinteza sistemy upravlenija metodom nejronnyh setej // Trudy VIII mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj «Inzhenernyj sistemy – 2015», Moskva, 20–22 aprelja 2015 g. M.: RUDN. рр. 224–227.
2. Diveev A.I., Shmalko E.Ju. Variacionnyj geneticheskij algoritm dlja reshenija zadachi optimalnogo upravlenija // Sovremennye problemy nauki i obrazovanija. 2014. no. 1; URL: http://www.science-education.ru/115-11474.
3. Kalackaja L.V., Novikov V.A., Sadov V.S. Organizacija i obuchenie iskusstvennyh nejronnyh setej: Jeksperimentalnoe ucheb. posobie. Minsk: Izd-vo BGU, 2003. 72 р.
4. Kolmogorov A.N. O predstavlenii nepreryvnyh funkcij neskolkih peremennyh v vide superpozicii nepreryvnyh funkcij odnogo peremennogo. Dokl. AN SSSR, 1957. T. 114, no. 5. рр. 953–956.
5. Koljada M.G. Pedagogicheskoe prognozirovanie: teoretiko-metodologicheskij aspekt : Monografija. Doneck: Izd-vo «Noulidzh» (doneckoe otdelenie), 2014. 268 р. ISBN: 978-617-579-830-0.

Метод искусственных нейронных сетей является универсальным методом аппроксимации различных функций. Согласно теореме А.Н. Колмогорова [1], в которой утверждается, что каждая непрерывная функция n переменных, заданная на единичном кубе n-мерного пространства, представима в виде

al-bareda01.wmf (1)

где gi(y) – непрерывная функция; hi,j(xj) – непрерывная и стандартная функция, al-bareda02.wmf, al-bareda03.wmf, не зависящая от выбора аппроксимирующей функции f(x1, ..., xn)», практически любая функция может быть аппроксимирована нейронной сетью. В настоящей работе рассматривается использование метода искусственных нейронных сетей для решения задачи синтеза управления. Решением задачи синтеза управления для любого объекта является многомерная функция, определяющая значение вектора управления в зависимости от значения вектора состояния объекта управления.

Рассмотрим формальную постановку задачи синтеза управления [2].

Задана математическая модель объекта управления

al-bareda04.wmf (2)

где xi – компонента i вектора состояния x = [x1...xn]T; uj – компонента вектора управления u = [u1...um]T, m ? n.

Заданы ограничения на управление

al-bareda05.wmf (3)

Задано множество начальных состояний

al-bareda06.wmf (4)

Задана цель управления в виде терминального n–r-мерного многообразия

al-bareda07.wmf al-bareda08.wmf (5)

где tf – время управления, определяемое выполнением условия

al-bareda09.wmf (6)

t+ – заданное максимальное время процесса управления; ? – заданная малая положительная величина.

Задан критерий качества управления

al-bareda10.wmf (7)

где x(t, x0,j) – решение системы (2) с начальными условиями x0,j, 1 ? j ? M.

Необходимо найти управление с учетом ограничений (3) в виде

al-bareda11.wmf al-bareda12.wmf (8)

где

al-bareda13.wmf al-bareda14.wmf (9)

hi(x1, ..., xn) – искомая функция управления, al-bareda15.wmf al-bareda16.wmf.

Для решения задачи используем аппроксимацию искомой синтезирующей функции (9) многослойной искусственной нейронной сетью

al-bareda17.wmf (10)

al-bareda18.wmf (11)

al-bareda19.wmf (12)

al-bareda20.wmf (13)

…;

al-bareda21.wmf (14)

al-bareda22.wmf (15)

где

al-bareda23.wmf

Q(k) – матрица весовых коэффициентов на слое k размерностью l(k)?p(k); al-bareda24.wmf al-bareda25.wmf al-bareda26.wmf al-bareda27.wmf al-bareda28.wmf N – число слоев в нейронной сети, p(1) = r; al-bareda29.wmf al-bareda30.wmf al-bareda31.wmf – функция активации нейронной сети на выходе i слоя k, al-bareda32.wmf al-bareda33.wmf

Для обучения нейронной сети используем критерий (7). В процессе обучения необходимо найти

al-bareda34.wmf (16)

параметров.

Рассмотрим пример синтеза управления для нелинейной системы управления

al-bareda35.wmf (17)

al-bareda36.wmf (18)

Для системы (17), (18) задано множество начальных значений:

al-bareda37.wmf (19)

Заданы ограничения на управление:

–1 ? u ? 1. (20)

Задана цель управления в виде терминального многообразия:

al-bareda38.wmf (21)

al-bareda39.wmf (22)

где al-bareda40.wmf al-bareda41.wmf

Задан критерий качества управления:

al-bareda42.wmf (23)

где al-bareda43.wmf j = 1, 2, 3, 4, t+ = 3 с, ? = 0,01. (24)

pic_1.tif

Рис. 1. Параметры вариационного генетического алгоритма для обучения нейронной сети

Для обучения нейронной сети используем вариационный генетический алгоритм [3]. Параметры генетического алгоритма приведены на рис. 1.

В результате была получена трехслойная нейронная сеть со следующими параметрами:

al-bareda44.wmf

al-bareda45.wmf

al-bareda46.wmf

al-bareda47.wmf al-bareda48.wmf

al-bareda49.wmf al-bareda50.wmf

al-bareda51.wmf al-bareda52.wmf

al-bareda53.wmf al-bareda54.wmf

al-bareda55.wmf

al-bareda56.wmf al-bareda57.wmf

al-bareda58.wmf

В процессе поиска нейронной сети при каждом вычислении функционала модель объекта управления (16), (17) интегрировалась улучшенным методом Эйлера второго порядка с шагом интегрирования 0,001 с.

На рис. 2 приведены решения замкнутой системы управления с полученной нейронной сетью в обратной связи и с учетом ограничений (8), (20).

На рис. 3 приведены решения замкнутой системы управления с полученной нейронной сетью в обратной связи для новых начальных условий, не используемых на этапе синтеза: x0,5 = [0  –1]T; x0,6 = [0 1]T; x0,7 = [1 0]T; x0,8 = [–1 0]T.

На рис. 4 приведены решения замкнутой системы управления с полученной нейронной сетью в обратной связи для начальных условий, расположенных дальше от терминальных условий, чем условия, используемые при синтезе: x0,9 = [–2  –2]T, x0,10 = [2  –2]T, x0,11 = [–2 2]T, x0,12 = [2 2]T.

На рис. 5 приведены решения замкнутой системы управления с полученной нейронной сетью в обратной связи для начальных условий, расположенных дальше от терминальных условий, чем условия, используемые при синтезе: x0,13 = [–2 0]T, x0,14 = [2 0]T, x0,15 = [0  –2]T, x0,16 = [0 2]T.

pic_2.tif

Рис. 2. Решения замкнутой системы Дуффинга для четырех начальных условий

pic_3.tif

Рис. 3. Решения замкнутой системы Дуффинга для четырех не используемых при синтезе начальных условий

pic_4.tif

Рис. 4. Решения замкнутой системы Дуффинга для четырех не используемых при синтезе начальных условий: x0,9 = [–2  –2]T, x0,10 = [2  –2]T, x0,11 = [–2 2]T, x0,12 = [2 2]T

Как видно из графиков, представленных на рис. 2–5, полученная функция управления, аппроксимированная нейронной сетью, обеспечивает достижение терминального состояния из различных начальных условий.

pic_5.tif

Рис. 5. Решения замкнутой системы Дуффинга для четырех не используемых при синтезе начальных условий: x0,13 = [–2 0]T, x0,14 = [2 0]T, x0,15 = [0  –2]T, x0,16 = [0 2]T

В таблице приведены значения времени и точности достижения терминального состояния для различных начальных условий модели объекта.

Параметры качества управления

x1(0)

x2(0)

tf

al-bareda59.wmf

–1

–1

2,346

0,009253

–1

1

2,585

0,009776

1

1

2,346

0,009253

1

–1

2,585

0,009776

0

–1

2,254

0,009293

0

1

2,254

0,009293

1

0

2,481

0,009246

–1

0

2,481

0,009246

–2

–2

5,73

0,009905

2

–2

5,805

0,009868

–2

2

5,805

0,009868

2

2

5,73

0,009905

–2

0

5,901

0,009408

2

0

5,901

0,009408

0

–2

3,205

0,009114

0

2

3,205

0,009114

Значения в таблице показывают, что объект управления достигает терминального состояния с заданной точностью, не превышающей 0,001.

На рис. 6–9 приведены графики значений управления для различных начальных состояний.

pic_6.tif

Рис. 6. Значение управления при начальных условиях: x0,3 = [1 1]T

pic_7.tif

Рис. 7. Значение управления при начальных условиях: x0,2 = [–1 1]T

pic_8.tif

Рис. 8. Значение управления при начальных условиях: x0,7 = [1 0]T

pic_9.tif

Рис. 9. Значение управления при начальных условиях: x0,6 = [0 1]T

Из рис. 6–9 видно, что управление носит обычный для задач быстродействия переключающий характер между предельными значениями.

Рецензенты:

Беляев В.В., д.т.н., профессор, начальник отдела развития науки, Московский государственный областной университет, г. Москва;

Прокопьев И.В., д.т.н., старший научный сотрудник федерального исследовательского центра «Информатика и управление», г. Москва.