Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,222

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR MIXED EQUATIONS IN LIMITED AREA

Zheldasheva A.O. 1 Lesev V.N. 1
1 Kabardino-Balkarian State University
В работе сформулирована и исследована краевая задача для смешанного уравнения второго порядка в ограниченной области с локальными краевыми условиями. На линии изменения типа уравнения применены разрывные условия сопряжения для следа функции и следа производной. В качестве основного метода доказательства разрешимости поставленной задачи был использован метод конечных интегральных преобразований. При этом вопрос разрешимости задачи был эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствующих частях смешанной области. В частности, в области параболичности исходного уравнения было получено обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого представлено в виде комбинации общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Определив коэффициенты в полученных общих интегралах дифференциальных уравнений, решение исследуемой задачи можно найти после применения обратного интегрального преобразования.
The paper was formulated and studied a mixed boundary value problem for second-order equations in a bounded domain with local boundary conditions. In the Line of changing the type of equation used explosive coupling conditions for the following functions and the following derivatives. As the main method of proof of the solvability of the problem, we used the method of integral transformations. At the same time, the question was equivalent to the solvability of the problem is reduced to the question of the solvability of ordinary differential equations in the relevant parts of the mixed area. In particular in the field of parabolic initial equation was obtained ordinary differential equation of the first order, the solution of which is represented by a combination of the general solution of the homogeneous equation and a particular solution of inhomogeneous. Determine the coefficient obtained in the general integrals of differential equations, the solution of the problem can be found after the application of the inverse integral transform.
partial differential equation
boundary value problem
discontinuous coupling conditions
the Fourier integral
1. Eleev V.A., Guchaeva Z.H. Ob odnoj kraevoj zadache dlya uravneniya giperbolo-parabolicheskogo tipa vtorogo poryadka v pryamougolnoj oblasti. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo centra RAN. 2011. no. 6. рр. 34–40.
2. Eleev V.A., Zhemuhova Z.H. O nekotoryh kraevyh zadachah dlya odnogo smeshannogo uravneniya s razryvnymi koehfficientami v pryamougolnoj oblasti. Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal. 2002. T. 4. no. 4. рр. 8–18.
3. Lesev V.N. Issledovanie razreshimosti kraevyh zadach dlya uravneniya chetvertogo poryadka metodom konechnyh integralnyh preobrazovanij. Materialy mezhdunarodnoj konferencii: Sovremennye problemy matematiki. Mahachkala: DGTU, 2006. рр. 44–46.
4. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Neklassicheskaya kraevaya zadacha dlya smeshannogo uravneniya vtorogo poryadka s integralnymi usloviyami sopryazheniya. Izvestiya smolenskogo gosudarstvennogo universiteta, 2013. no. 3 (23). рр. 379–386.
5. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Nelokalnaya kraevaya zadacha dlya uravneniya smeshannogo tipa vtorogo poryadka v harakteristicheskoj oblasti.Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki, 2012. no. 3 (106). рр. 52–56.
6. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Ob odnoj kraevoj zadache dlya smeshannogo uravneniya s razryvnymi usloviyami sopryazheniya. Izvestiya smolenskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012. no. 3 (19). рр. 392–399.
7. Lesev V.N., Shardanova M.A. O razreshimosti kraevyh zadach dlya neodnorodnogo uravneniya vysokogo poryadka s peremennymi koehfficientami. Theoretical & Applied Science, 2014. no. 12 (20). рр. 101–103.
8. Lesev V.N., Shardanova M.A. Primenenie metoda konechnyh integralnyh preobrazovanij k issledovaniyu kraevoj zadachi dlya uravneniya vysokogo poryadka. Theoretical & Applied Science, 2014. no. 5 (13). рр. 1–4.
9. Farlou S. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov: Per. s angl. M.: Mir, 1985.
10. Ehlsgolc L.EH. Differencialnye uravneniya i variacionnoe ischislenie. M.: Nauka, 1969.

Исследование разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных является одним из основных разделов обширной теории дифференциальных уравнений. Особое место в подобных исследованиях занимают задачи для смешанных и смешанно-составных уравнений. Это обусловлено непосредственными связями уравнений смешанного типа с теорией интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, а также их прикладной значимостью в математической физике и биологии.

В настоящей работе в ограниченной односвязной области исследована классическая краевая задача для линейного неоднородного смешанного уравнения с переменными коэффициентами. Помимо классических краевых условий в постановке использованы разрывные условия сопряжения на линии изменения типа уравнения и условия согласования. Доказательство разрешимости задачи проведено методом конечных интегральных преобразований.

Постановка задачи

В области Ω = {z: 0 < x < ℓ, –t2 < t < t1} евклидовой плоскости точек z = (x, t) рассмотрим уравнение

geldash01.wmf (1)

где ℓ, t1, t2 – const > 0, ai, bi, ci, di – достаточно гладкие функции (i = 1, 2).

Введем обозначения:

J = {z: 0 < x < ℓ, t = 0},

Ω1 = Ω ∩ (t > 0); Ω2 = Ω ∩ (t < 0);

geldash02.wmf geldash03.wmf

причем i = 1 если t → 0+; i = 2 если t → 0–.

Для уравнения (1) в области Ω исследована следующая

Задача A. Найти регулярное в Ω1 ∪ Ω2 решение u(x, t) уравнения (1) из класса

geldash04.wmf

удовлетворяющее краевым условиям

u(0, t) = φ1(t); u(ℓ, t) = ψ1(t), t ≥ 0; (2)

u(0, t) = φ2(t); u(ℓ, t) = ψ2(t), t ≤ 0; (3)

u(x, t1) = f1(x); u(x, –t2) = f2(x), 0 ≤ x ≤ ℓ; (4)

условиям сопряжения

geldash05.wmf

geldash06.wmf (5)

и условиям согласования

f1(0) = φ1(t1); f1(ℓ) = ψ1(t1);

φ1(0) = α1 + α2∙φ2(0); ψ1(0) = α1 + α2∙ψ2(0);

f2(0) = φ2(–t2); f2(ℓ) = ψ2(–t2),

где φi, ψi, fi – заданные функции из C1, а αi, βi – заданные постоянные, такие, что α2∙β2 ≠ 0.

Доказательство разрешимости задачи А проведем методом конечных интегральных преобразований, по аналогии с работами [3, 8, 7].

Заметим, что краевые задачи в характеристических и прямоугольных областях для уравнений, представляющих частный случай уравнения (1), исследовались в работах [1, 2, 4, 5, 6].

Для сформулированной задачи необходимо рассмотреть следующие случаи:

1) ai(t) ≠ 0;

2) ai(t) = 0;

3) a1(t)a2(t) = 0, но geldash07.wmf

Легко видеть, что в случаях (2) и (3) оба или одно из условий (4) являются переопределяющими задачу.

В настоящей работе рассмотрим более подробно последний случай.

Пусть, например, a1(t) = 0, а a2(t) ≠ 0. Тогда уравнение (1) в области Ω1 является уравнением параболического типа и принимает вид:

geldash08.wmf

Далее проведем ряд преобразований пренебрегая первым из условий (4).

Применяя к последнему равенству конечное синус-преобразование Фурье [9]:

geldash09.wmf

n = 1, 2, ... (6)

по переменной x на отрезке [0, ℓ] к уравнению (1) при t > 0, будем иметь

geldash10.wmf

geldash11.wmf geldash12.wmf

где u1 = u1n(t) – результат преобразования функции u(x, t) в Ω1.

Подставляя полученные выражения в уравнение (6), приходим к параметрическому обыкновенному дифференциальному уравнению

geldash13.wmf (7)

Здесь geldash14.wmf geldash15.wmf

geldash16.wmf – результат преобразования функции d1(x, t).

Аналогично при t < 0 получим

geldash17.wmf

geldash18.wmf

geldash19.wmf

geldash20.wmf

где u2 = u2(t) – результат преобразования функции u(x, t) в Ω2,

Подставляя полученные соотношения в уравнение (1) при t < 0, приходим к следующему уравнению:

geldash21.wmf (8)

Здесь

geldash22.wmf geldash23.wmf

geldash24.wmf

geldash25.wmf

δ2 = δ2(t) – результат преобразования функции d2(x, t).

Точно так же из (5) будем иметь

geldash26.wmf

geldash27.wmf (9)

Далее, проинтегрируем уравнения (7), (8). Если b1(t) = 0, то u1(t) сразу определяется из (7), в противном случае, как известно (например [10]), общее решение уравнения (7) имеет вид

geldash28.wmf (10)

где γ1 – произвольная постоянная; F1(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения; F2(t) – частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение уравнения (7) может быть представлено в виде [2, с. 115]:

geldash29.wmf (11)

где γ2, γ3 – произвольные постоянные; Φ1(t) – частное решение неоднородного уравнения; Φ2(t), Φ3(t) – линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Из (10) и (11), с учетом (9), а также принимая во внимание (4), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных γ1, γ2, γ3:

geldash30.wmf (12)

где geldash31.wmf – результат преобразования функции f2(x).

Таким образом, вопрос однозначной разрешимости задачи (1)–(5) редуцирован к вопросу разрешимости системы (12). Применяя обратное преобразование [9]:

geldash32.wmf

к функциям u1, u2, получим решение задачи (1)–(5) в областях Ω1, Ω2 в виде соответствующих рядов Фурье.

В заключение отметим, что случаи (1) и (2) исследуются аналогично.

Рецензенты:

Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой геометрии и высшей алгебры, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик;

Хаширова Т.Ю., д.т.н., профессор, заведующая кафедрой системного анализа и компьютерных технологий управления, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик.