Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,118

SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR SYSTEM OF EQUATIONS NERNST – PLANK AND POISSON IN THE SPACE CHARGE

Kovalenko A.V. 1
1 Kuban State University
При моделировании переноса в мембранных системах в сверхпредельных токовых режимах обычно используются краевые задачи для системы одномерных уравнений Нернста, Планка и Пуассона. Использование приближенных решений краевых задач для одномерных, а не двумерных уравнений объясняется математическими сложностями исследования. В данной работе приводится асимптотическое представление решения краевой задачи для системы двумерных уравнений Нернста, Планка и Пуассона в области пространственного заряда. Рассмотрены различные численные методы решения систем уравнений асимптотического представления, в том числе метод простой итерации и метод линеаризации (Ньютона – Канторовича или Ньютона – Рафсона). При моделировании различных явлений, например электроконвекции, в первую очередь важно знать решение в области пространственного заряда. Полученные в данной статье результаты могут быть использованы при решении подобных задач.
When modeling transport in membranous systems of to overlimiting current modes are typically used boundary value problems for a system of one-dimensional equations of Nernst, Planck and Poisson. Use of approximate solutions of boundary value problems for one-dimensional explained by mathematical complexity of the study. In this paper the asymptotic representation of the solution of the boundary value problem for the two-dimensional equations of Nernst, Planck and Poisson in the space charge region. Various numerical methods for solving systems of equations of the asymptotic representation, including the method of simple iteration and linearization method (Newton – Kantorovich or Newton – Raphson). When the simulation of various phenomena, such as electroconvection primarily important to know the solution to the space charge region. The results obtained in this paper results can be used to solve similar problems.
mathematical modeling
2D – simulation
equations Nernst
Planck
Poisson
1. Grafov B.M. Prohozhdenie postojannogo toka cherez rastvor binarnogo jelektrolita / B.M. Grafov, A.A. Chernenko // Zhurnal fizicheskoj himii. 1963. T.37. рр. 664.
2. Grafov B.M. Teorija prohozhdenija postojannogo toka cherez rastvor binarnogo jelektrolita/ B.M. Grafov, A.A. Chernenko // Dokl. AN SSSR. 1962. T. 146. no. 1. рр. 135–138.
3. Duhin S.S. Ischeznovenie fenomena predelnogo toka v sluchae granuly ionita / S.S. Duhin, N.A. Mishhuk// Kolloidnyj zhurnal 1989. T.51. no. 4. рр. 659.
4. Kovalenko A.V. 2D modelirovanie perenosa 1:1 jelektrolita v jelektromembrannyh sistemah pri vypolnenii uslovija jelektronejtralnosti // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal KubGAU Krasnodar: KubGAU, 2015. no. 06(110).
5. Kovalenko A.V. Kraevye zadachi dlja sistemy jelektrodiffuzionnyh uravnenij. Chast 1. Odnomernye zadachi. / A.V. Kovalenko, M.H. Urtenov Germany, Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG. 2011. 281 р.
6. Listovnichij A.V. Prohozhdenie tokov bolshe predelnogo cherez sistemu jelektrod-rastvor jelektrolita // Jelektrohimija. 1989. T.25. no. 12. рр. 1651.
7. Nikonenko V.V. Jelektroperenos ionov cherez diffuzionnyj sloj s narushennoj jelektronejtralnostju / V.V. Nikonenko, V.I. Zabolockij, N.P. Gnusin // Jelektrohimija. 1989. T.25. no. 3. рр. 301.
8. Njumen Dzh. Jelektrohimicheskie sistemy. M.: Mir, 1977, 463 р.
9. Urtenov M.H. Analiz reshenija kraevoj zadachi dlja uravnenij Nernsta-Planka-Puassona. Sluchaj 1:1 jelektrolita / M.H. Urtenov, V.V. Nikonenko // Jelektrohimija. 1993. T.29. no. 2. рр. 239.
10. Urtenov M.H. Asimptoticheskij i chislennyj analiz uravnenij Nernsta-Planka-Puassona // Dep. no. 6968-V86.M.: VINITI, 1986. 18 р.
11. Urtenov M.H. Matematicheskie modeli jelektromembrannyh sistem ochistki vody (monografija) / M.H. Urtenov, R.R. Seidov Krasnodar: KubGU, 2000. 140 р.
12. Urtenov M.H. Matematicheskoe modelirovanie jelektrokonvekcii v kanale obessolivanija jelektrodializatora s uchetom vynuzhdennoj konvekcii / M.H. Urtenov, A.V. Kovalenko, V.V. Nikonenko, A.M. Uzdenova // Jekologicheskij vestnik nauchnyh centrov ChJeS. Krasnodar: KubGU. no. 4. 2011. рр. 68–74
13. Belashova E.D. Overlimiting mass transfer through cation-exchange membranes modified by Nafion film and carbon nanotubes / E.D. Belashova, N.A. Melnik, N.D. Pismenskaya, K.A. Shevtsova, K.A. Lebedev, V.V. Nikonenko // Electrochim. Acta 59 (2012) рр. 412.
14. Dukhin S.S. Unlimited increase in the current through an ionite granule / S.S. Dukhin, N.A. Mishchuk // Kolloid. Zh. 49 (8) (1987) рр. 1197.
15. Kwak R. Shear flow of an electrically charged fluid by ion concentration polarization: scaling laws for convection vortices / R. Kwak, V.S. Pham, J. Han// Phys. Rev. Lett. 110 (2013) R. 114501.
16. Rubinstein I. Role of the membrane surface in concentration polarization at ion-exchange membrane / I. Rubinstein, E. Staude, O. Kedem, // Desalination 69 (1988) R.101.
17. Rubinstein I. Voltage against current curves of cation-exchange membranes / I. Rubinstein, L. Shtilman // J. Chem. Soc., Faraday Trans. 1979 (75) рр. 231.
18. Urtenov M.K. Basic mathematical model of overlimiting transfer enhanced by electroconvection in flow-through electrodialysis membrane cells / M.K. Urtenov, A.M. Uzdenova, V.V. Nikonenko, N.D. Pismenskaya, A.V. Kovalenko, V.I. Vasileva, P. Sistat, G. Pourcelly // Journal of Membrane Science 447. USA. ELSEVIER. 2013. рр. 190–202
19. Zabolotsky V.I. Coupled transport phenomena in overlimiting current electrodialysis / V.I. Zabolotsky, V.V. Nikonenko, N.D. Pismenskaya, E.V. Laktionov, M.Kh. Urtenov, H. Strathmann, M. Wessling, G.H. Koops // Separ. Purif. Technol. 14 (1998) рр. 255.

При моделировании переноса в мембранных системах в сверхпредельных токовых режимах обычно используются краевые задачи для системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона [1–3, 5–10, 17].

В своих работах С.С. Духин и Н.А. Мищук [14], И. Рубинштейн [16] первыми дали теоретическое объяснение сверхпредельного тока электроконвекцией. Для этого они использовали двумерные уравнения Навье – Стокса для расчета течения раствора электролита и одномерные уравнения Нернста – Планка и Пуассона для расчета величины электрической силы. Аналогичные модели развивались в работах [11, 13, 19].

Использование приближенных решений краевых задач для одномерных, а не двумерных уравнений Нернста – Планка и Пуассона объясняется математическими сложностями исследования двумерных уравнений.

Впервые исследование электроконвекции на основе численного решения двумерной системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона и Навье – Стокса проведено в работах [12, 15, 18] с некоторыми ограничениями на величины начальной концентрации, скорости протока раствора. Таким образом, возникает актуальная проблема асимптотического решения краевых задач для двумерных систем уравнений Нернста – Планка и Пуассона.

В работе [4] нами было получено асимптотическое представление для решения краевой задачи для двумерных систем уравнений НП с условием электронейтральности, удобное для сращивания с асимптотическим представлением в области пространственного заряда путем введения промежуточного слоя. В данной работе предлагается асимптотическое представление решения краевой задачи для двумерных систем уравнений Нернста – Планка и Пуассона в области пространственного заряда (ОПЗ).

Постановка задачи

1. Исходная система уравнений

Безразмерная система уравнений Нернста – Планка и Пуассона:

kovalenko001.wmf i = 1, 2; (1)

kovalenko002.wmf i = 1, 2; (2)

kovalenko003.wmf (3)

kovalenko004.wmf (4)

Асимптотическое представление в области пространственного заряда

1. Преобразование уравнений

Положим kovalenko005.wmf kovalenko006.wmf тогда

kovalenko007.wmf i = 1, 2;

kovalenko008.wmf i = 1, 2;

kovalenko009.wmf

kovalenko010.wmf

2. Асимптотическое упрощение

Полагаем kovalenko011.wmf kovalenko012.wmf в преобразованных уравнениях, тогда получим

kovalenko013.wmf i = 1, 2; (5)

kovalenko014.wmf i = 1, 2; (6)

kovalenko015.wmf (7)

kovalenko016.wmf

Из уравнения (6) следует, что потоки kovalenko017.wmf, i = 1, 2, и, соответственно, плотность тока kovalenko018.wmf, соленоидальные вектора. Кроме того, поскольку в уравнения (5)–(7) время явно не входит, процесс переноса в ОПЗ в первом приближении является стационарным.

3. Преобразование системы упрощенных уравнений

Поделим уравнения (5) на Di, i = 1, 2, умножим на zi, i = 1, 2 и сложим, тогда

kovalenko019.wmf (8)

где kovalenko020.wmf – некоторый соленоидальный вектор.

Уравнение (8) с учетом (7) примет вид

kovalenko021.wmf (9)

Уравнения для kovalenko022.wmf, kovalenko023.wmf, не зависящие от неизвестных соленоидальных векторов kovalenko024.wmf, i = 1, 2, kovalenko025.wmf и kovalenko026.wmf, можно получить, применив операцию div к обеим частям (5), (9):

kovalenko027.wmf i = 1, 2; (10)

kovalenko028.wmf (11)

При решении системы уравнений (10), (11) возникают трудности в нахождении дополнительных краевых условий, т.к. порядок этих уравнений повысился. В связи с этим возникает проблема непосредственного решения уравнения (9).

Вывод уравнения для функции η

Рассмотрим условие разрешимости уравнения kovalenko029.wmf где kovalenko030.wmf является соленоидальным вектором. Так как kovalenko031.wmf, соленоидальный вектор (т.е. kovalenko032.wmf), то существует такая функции η, что kovalenko033.wmf kovalenko034.wmf

Введем оператор kovalenko035.wmf который является двумерным аналогом оператора rot, называется завихренностью и обладает следующими свойствами:

а) kovalenko036.wmf

б) kovalenko037.wmf

в) здесь kovalenko038.wmf – кососимметричное скалярное произведение.

kovalenko039.wmf (12)

С другой стороны, с учетом kovalenko040.wmf получим

kovalenko041.wmf

Так как kovalenko042.wmf и kovalenko043.wmf, то kovalenko044.wmf. Следовательно, для функции η получаем уравнение

kovalenko045.wmf (13)

Уравнение (13) является условием разрешимости уравнения (9).

Таким образом, уравнение (9) эквивалентно системе уравнений

kovalenko046.wmf

kovalenko047.wmf

где kovalenko048.wmf kovalenko049.wmf

Преобразование системы уравнений (9), (13)

Из уравнения kovalenko050.wmf следует, что kovalenko051.wmf где u некоторая скалярная функция. Тогда

kovalenko052.wmf

следовательно, kovalenko053.wmf Так как

kovalenko054.wmf

то для u получим уравнение kovalenko055.wmf или kovalenko056.wmf. Обозначим u2 = w, тогда для w получим уравнение kovalenko057.wmf.

Преобразуем теперь уравнение

kovalenko058.wmf

Заменим в уравнении kovalenko059.wmf с учетом kovalenko060.wmf kovalenko061.wmf Кроме того, из

kovalenko062.wmf

следует, что

kovalenko063.wmf

Таким образом, получаем уравнение

kovalenko064.wmf

С учетом kovalenko065.wmf получим, что это уравнение запишется в виде

kovalenko066.wmf или kovalenko067.wmf.

С учетом замены u2 = w получаем для функций w и η систему уравнений

kovalenko068.wmf (14)

kovalenko069.wmf (15)

Замечание 1. Система уравнений (9), (13) может быть преобразована к виду (14), (15) и несколько другим способом.

Положим, kovalenko070.wmf, тогда система уравнений запишется в виде

kovalenko071.wmf и kovalenko072.wmf

Здесь опять использовано равенство kovalenko073.wmf

Заменим во втором уравнении kovalenko074.wmf, тогда с учетом kovalenko075.wmf получим, что система этих уравнений запишется в виде

kovalenko076.wmf и kovalenko077.wmf

Для того чтобы вывести уравнение для u, найдем div от обеих частей первого уравнения, тогда

kovalenko078.wmf

Откуда получаем уравнение для u:

kovalenko079.wmf или kovalenko080.wmf

Так как kovalenko081.wmf, то kovalenko082.wmf или, умножая обе части уравнения на u2, получим kovalenko083.wmf. Это уравнение является квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка относительно u.

Таким образом, для двух функций u, η получим систему из двух уравнений:

kovalenko084.wmf kovalenko085.wmf

где kovalenko086.wmf kovalenko087.wmf Систему уравнений

kovalenko088.wmf и kovalenko089.wmf

перепишем в виде

kovalenko090.wmf и kovalenko091.wmf

Полагая w = u–2, снова получим систему уравнений (14)–(15).

Замечание 2. Систему уравнений (9), (13) можно упростить и по-другому, если сделать замену kovalenko092.wmf, тогда система уравнений запишется в виде

kovalenko093.wmf (16)

kovalenko094.wmf (17)

Методы решения системы уравнений (14), (15):

1. Метод простой итерации

Эту систему уравнений (14)–(15) можно решать, например, следующим методом последовательных приближений:

1. Пусть kovalenko095.wmf – некоторое начальное приближение к kovalenko096.wmf.

2. Определим w(0) как решение линейного уравнения переноса: kovalenko097.wmf.

3. Определим η(0) как решение линейного уравнения:

kovalenko098.wmf

4. Определим kovalenko099.wmf по формулам

kovalenko100.wmf kovalenko101.wmf

5. Проверим условие сходимости kovalenko102.wmf, где δ – заданная точность. Если условие сходимости выполняется, то принимаем kovalenko103.wmf, kovalenko104.wmf, kovalenko105.wmf, иначе полагаем kovalenko106.wmf и идем к п. 2

Замечание 3. Систему уравнений (16), (17) можно решать, например, методом последовательных приближений, аналогичным методу 5.1.

Метод линеаризации (Ньютона – Канторовича или Ньютона – Рафсона)

Систему уравнений (14), (15) можно решать методом линеаризации.

1. Пусть η(0), kovalenko107.wmf и w(0) некоторые начальные приближения к η, kovalenko108.wmf и w, причем

kovalenko109.wmf kovalenko110.wmf.

2. Определим η(1), kovalenko111.wmf, w(1) как решения системы линейных уравнений

kovalenko112.wmf

kovalenko113.wmf

причем kovalenko114.wmf kovalenko115.wmf.

3. Проверим условие сходимости

kovalenko116.wmf,

где δ заданная точность. Если условие сходимости выполняется, то принимаем

kovalenko117.wmf, kovalenko118.wmf, kovalenko119.wmf,

иначе полагаем η(0) = η(1), w(0) = w(1) и идем к п. 2.

Замечание 4. Метод линеаризации можно применить и к системе уравнений (16), (17).

Замечание 5. Для конкретной реализации предложенных выше методов решения необходимо определить границы ОПЗ и соответствующие краевые условия. Эти проблемы можно решить путем использования различных физических гипотез, либо с использованием условий сращивания.

Заключение

В работе предлагается асимптотическое представление решения краевой задачи для двумерных систем уравнений Нернста – Планка и Пуассона в области пространственного заряда. Рассмотрены различные численные методы решения уравнений асимптотического представления, в том числе метод простой итерации и метод линеаризации. При моделировании различных явлений, например, электроконвекции, в первую очередь важно знать решение в области пространственного заряда. Полученные выше результаты можно использовать при решении таких задач. В то же время результаты этой работы совместно с результатами работы [4] дают асимптотическое представление решения краевой задачи для системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона в основных областях, а именно в области электронейтральности и пространственного заряда.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и администрации Краснодарского края, гранты: № 13-08-93106-НЦНИЛ_а и 13-08-96525 р_юг_а.

Рецензенты:

Халафян А.А., д.т.н., доцент, профессор, Кубанский государственный университет, г. Краснодар;

Павлова А.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор, Кубанский государственный университет, г. Краснодар.