Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,441

NUMERICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL OF BORDER OF PHASE TRANSITION

Gukasov А.К. 1 Gukasova E.V. 2
1 FGEI HPE «Vyatka State University»
2 FGEI HPE «Vyatka state agricultural academy»
В данной работе рассматривается решение задачи оптимального управления границей фазового перехода процессом, описываемым квазистационарной задачей Стефана. Квазистационарная задача Стефана – это задача о стационарных процессах в цилиндрических телах в случае, когда граница фазового перехода движется вдоль образующей, не меняясь, с постоянной скоростью. Задача формулируется следующим образом: управляя тепловым потоком g(x), добиться минимального отклонения границы фазового перехода от заданной границы S. Задача сводится к минимизации функционала . Вводится в рассмотрение оператор А, и доказывается его непрерывность. Приводится формула, определяющая сопряженный оператор. Приводится критерий оптимальности. Для решения аппроксимирующих задач применяется двойственный регуляризованный метод. Приводятся результаты вычислительных экспериментов. Метод Галеркина применяется для решения сопряженной задачи.
The solution of a problem of optimal control by border of phase transition by the process described by a quasistationary problem of Stefan is considered in this paper. Quasistationary problem of Stefan is problem of stationary processes in the cylindrical bodies in the case when the boundary of the phase transition is moving along a generator, without changing a constant speed. The problem is formulated as follows: controlling the heat flow g(x) to achieve a minimum deviation of the phase transition from the fixed boundary S. The problem reduces to minimizing the functional . The operator A is entered into consideration and his continuity is proved. The formula defining the adjoint operator is given. Optimality criterion is given. Dual regularization method is applied for solutions of approximating problems. Results of computing experiments are given. Galerkin method is applied to solve adjoint problem.
quasistationary Stefan problem
optimal control
1. Vasilyev F.P. Optimization methods. Moscow: Science. 2002. 823 p.
2. Vasilyev F.P., Ishmukhametov A.Z., Potapov M.M. The generalized moment method in problems of optimum control. Publishing House of Moscow University. 1989. 142 p.
3. Danilyuk I.I. On the Stefan problem. // Russian Mathematical Surveys. 1985. V. 40. no. 5 (245). pp. 133–185.
4. Ishmukhametov A.Z. A dual regularized method of the solution of one class of convex problems of minimization. // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2000. V. 40. no. 7. рр. 1045–1060.
5. Ladyzhenskaya O.A. Boundary value problems of mathematical physics. Moscow. 1973. 408 p.

Задача о стационарных процессах в цилиндрических телах в случае, когда граница фазового перехода движется вдоль образующей, не меняясь, с постоянной скоростью, называется квазистационарной задачей Стефана. Такие задачи имеют большое прикладное значение, например, в металлургии, сварке и кристаллизации.

Математическая модель

Пусть пластина, имеющая ширину h и бесконечную длину, движется вдоль неподвижного теплового источника, задаваемого функцией g(x), отличной от нуля на отрезке [– α, α]. Направление движения совпадает с осью x. На достаточно большом расстоянии от теплового источника температура принимается равной нулю. Процесс будет описываться следующей квазистационарной задачей Стефана (рис. 1).

guk03.wmf

guk04.wmf guk05.wmf

guk06.wmf

где n – нормаль к S = S1∪S2,V – вектор скорости;

guk07.wmf;

guk08.wmf на guk09a.wmf

guk10.wmf на guk11a.wmf;

guk12.wmf;

guk13.wmf на guk14a.wmf.

gukas1.tif

Рис. 1. G1 – твердая фаза, G2 – жидкая фаза

Рассмотрим следующую задачу: управляя тепловым потоком g(x), добиться минимального отклонения границы фазового перехода от заданной границы S.

Учитывая, что на границе фазового перехода S значение u равно температуре плавления θ, зафиксируем желаемую границу S и рассмотрим задачу минимизации функционала

guk15.wmf

guk16.wmf (1)

где guk17.wmf

Представим функцию u(x,y) в виде суммы

guk18.wmf

где v(x,y) – решение задачи

guk19.wmf;

guk20.wmf;

guk21.wmf;

guk22.wmf на guk23a.wmf; (2)

guk24.wmf на guk25a.wmf;

guk26.wmf

guk27.wmf на guk28a.wmf.

Если задача (2) при g(x) = 0 имеет только нулевое решение, то она однозначно разрешима в пространстве guk29.wmf [5] для любой функции g(x)∈L2(– α,α) и будет выполняться неравенство [5]

guk31.wmf (3)

Рассмотрим оператор guk32.wmf, сопоставляющий функции g след решения v задачи (2) на S.

Теорема. Оператор А является непрерывным. Сопряженный оператор А* определяется равенством

guk33.wmf

где ψ – решение следующей сопряженной задачи:

guk34.wmf,

guk35a.wmf

guk35b.wmf,

guk36.wmf,

guk37.wmf на guk38a.wmf,

guk39.wmf,

guk39.wmf на guk41a.wmf.

Доказательство. Непрерывность оператора A вытекает из неравенства (3) и теорем вложения. Формула для сопряженного оператора получается применением метода интегрирования по частям к равенству

guk43a.wmf

guk43b.wmf.

Теорема доказана.

Положим guk44.wmf. Тогда задачу (1) можно переписать в виде

guk45.wmf,

guk46.wmf.

Пусть {ek} – базис в H, hi = А*ei. Критерий оптимальности будет иметь следующий вид [2]:

guk47.wmf

guk48.wmf

guk49.wmf,

где ψ = Ag – z

Пусть guk50.wmf, guk51.wmf.

Рассмотрим аппроксимирующие задачи:

guk52.wmf

guk53a.wmf

guk53b.wmf,

guk54.wmf

Для решения этих задач можно воспользоваться двойственным регуляризованным методом [4].

Для этого введем регуляризованные задачи

guk55.wmf,

guk56.wmf, guk57.wmf.

Введем функцию Лагранжа

guk58.wmf,

guk59.wmf.

Решая двойственную задачу

guk60.wmf guk61.wmf,

guk62.wmf,

найдем последовательность {gN} приближений оптимального управления g, которая будет в общем случае слабо сходиться к множеству оптимальных решений.

gukas2.tif

Рис. 2. График полученного источника gN

gukas3.tif

Рис. 3. График полученной температуры u (x, 0) на границе y = 0

gukas4.tif

Рис. 4. Температура на S1 и S2: сплошной линией указана температура на S1, точечной линией указана температура на S2, пунктиром – заданная температура θ

Результаты вычислительных экспериментов

При решении задачи использовались следующие данные: S1 – отрезок x = – r, y∈[0, h], S2 – отрезок x = r, y∈[0, h], α = r = 0,002 м, R = 0,5 м, a1 = 155,7 Вт/(м×К) и a2 = 100Вт/(м×К) – теплопроводность в твердой и жидкой фазе соответственно, h = 0,01 м – толщина, θ 1000 °С – температура, b1 = c1ρ1V, b2 = c2ρ2V, где с1 = 1000 Дж/(кг×К) и с2 = 1000 Дж/(кг×К) – удельная теплоемкость в твердой и жидкой фазе соответственно, ρ1 = 2600 кг/(м3) и ρ2 = 2300 кг/(м3) – плотность в твердой и жидкой фазе соответственно, V = 0,001 м/с – скорость, λ = ρ1k, где k = 315000 Дж/кг – теплота плавления, N = 40.

В качестве базиса в пространстве Н использовалась следующая система векторов:

guk65.wmf, guk66.wmf.

Решение сопряженной задачи находилось методом Галеркина как решение, удовлетворяющее соответствующему интегральному тождеству.

Рецензенты:

Чермных В.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры фундаментальной и компьютерной математики, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров;

Шатров А.В., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического моделирования в экономике, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров.

Работа поступила в редакцию 30.12.2014.