Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

ABOUT SOLUTION OF ONE-DIMENSIAL INHOMOGENEOUS WAVE EQUATION IN THE FINAL FORM

Larin P.A. 1
1 The Ufa State Petroleum Technical University
В данной работе предложен способ интегрирования одномерного неоднородного волнового уравнения, при котором общее решение содержит четыре произвольные функции. Эта идея реализована при получении формулы (7). Наличие четырёх произвольных функций предоставляет широкие возможности при получении решения, когда имеются какие-либо ограничения на искомую функцию. О том, как можно распорядиться этими функциями, показано на примере задачи с начальными и однородными граничными условиями. Решение, содержащее конечное число членов, названо решением в конечном виде, в отличие от обычного способа решения через бесконечный тригонометрический ряд. Удобство решения в конечном виде проявляется в приближённых расчётах, в которых отпадает необходимость выяснять, сколько членов тригонометрического ряда нужно оставить, чтобы достичь требуемой точности решения.
In the work there has been presented an integration method of one-dimensional inhomogeneous wave equation in which the general solution contains four arbitrary functions. This idea was realized when deducing a formula (7). Availability of four arbitrary functions provides us with an ample opportunity in obtaining the solution when there are some constraints on the sought-for function. The ways of using these functions are explained by illustration of the problem on initial-value and homogeneous boundary conditions. The solution containing the final number of terms was called solution in the final form unlike a common way of solution by infinite trigonometric series. Convenience of solution in the final form is displayed in approximate calculations, in which there can be dropped the necessity of finding out how many members of trigonometric series must be left to attain the solution of desired precision.
differential equation
wave equation
Integration
general solution
trigonometric series
solution in the final form
1. Aramanovich I.G. and Levin V.I. Equations of Mathematical Physics. M.: Science, 1964, p. 288.
2. Corn G., Corn T. Reference Book on Maths for scientific workers and engineers. M.: Science, 1974, p. 832.
3. Koshlyakov N.S., Gliner E.B., Smirnov M.M. Equations of Mathematical Physics Partial derivatives. M.: Higher School, 1970, p. 712.
4. Prudnikov A.P., Brychkov Y.A., Maritchev O.I. Integrals and serits. M.: Science, 1981, p. 800.
5. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of Mathematical Physics. M.: Science, 1966, p. 724.

В статье рассматривается дифференциальное уравнение вида

larin01.wmf larin02.wmf (1)

Оно описывает малые поперечные, продольные и крутильные колебания однородного стержня. Обычный способ решения такого уравнения состоит в отыскании решения в виде бесконечного тригонометрического ряда [1, 3, 5]. В данной работе предлагается метод, дающий решение в конечном виде.

1. Вначале найдём общее решение уравнения (1). Перейдём к новым переменным larin03.wmf larin04.wmf

larin05.wmf larin06.wmf (2)

Функция larin07.wmf перейдёт в функцию larin08.wmf

larin09.wmf,

и уравнение (1) приведётся к виду

larin10.wmf (3)

в котором

larin11.wmf (4)

Интегрирование уравнения (3) по переменной larin12.wmf даст

larin13.wmf (5)

где larin14.wmf larin15.wmf – произвольные функции. Проинтегрировав (5) по larin16.wmf получим

larin17.wmf(6)

где larin18.wmf larin19.wmf – произвольные функции.

Пусть larin20.wmf – первообразная функция от larin21.wmf В этом случае

larin22.wmf

и (6) запишется в виде

larin23.wmf

Введём обозначения

larin24.wmflarin25.wmf

Тогда

larin26.wmf (7)

Заменив larin27.wmf larin28.wmf по формулам (2), получим общее решение исходного уравнения

larin29.wmf

2. В качестве примера применения данного метода решим уравнение (1), в котором положим larin30.wmf взяв область изменения переменных

larin31.wmf larin32.wmf (8)

начальные условия

larin33.wmf larin34.wmf (9)

и однородные граничные условия

larin35.wmf larin36.wmf (10)

Выполнив в (1) замену

larin37.wmf larin38.wmf (11)

получим уравнение вида (3):

larin39.wmf (12)

общее решение которого даётся равенством (7). Представим это равенство в виде

larin40.wmf (13)

где

larin41.wmf (14)

Из (11) следует

larin42.wmf larin43.wmf

Из этих равенств вытекают соответствия:

larin44.wmf (15)

Поэтому из (8) получается следующая область larin45.wmf изменения переменных larin46.wmf larin47.wmf (рисунок):

larin48.wmf

larin163.tif

Неограниченная полоса (D) – область изменения переменных ξ, µ (S) – область, принятая в качестве области интегрирования в двойном интеграле

Внутри larin53.wmf возьмём произвольную точку larin54.wmf и построим участок larin55.wmf как показано на рисунке. Этот участок задаётся системой неравенств

larin56.wmf (16)

В соответствии с (14) значение функции larin57.wmf в точке larin58.wmf равно

larin59.wmf

Область интегрирования определяется системой неравенств

larin60.wmf (17)

В силу произвольности функций larin61.wmf larin62.wmf выберем их такими, чтобы система неравенств (17) совпала с (16): larin63.wmf larin64.wmf Выражение (14) примет вид

larin65.wmf (18)

Из (18) следует

larin66.wmf (19)

Привлечём условия (9) – (10), чтобы найти оставшиеся функции larin67.wmf и larin68.wmf

larin69.wmf (20)

Запишем условия (9)–(10) в переменных larin70.wmf larin71.wmf используя соответствия (15):

larin72.wmf при larin73.wmf (21)

larin74.wmf при larin75.wmf (22)

larin76.wmf при larin77.wmf (23)

larin78.wmf при larin79.wmf (24)

Подставим эти значения в (13):

larin80.wmf при larin81.wmf (25)

larin82.wmf при larin83.wmf (26)

larin84.wmf при larin85.wmf (27)

larin86.wmf при larin87.wmf (28)

При получении (28) учтено равенство (19). Запишем первые два уравнения в виде

larin88.wmf (29)

larin89.wmf (30)

где обозначено

larin90.wmf larin91.wmf (31)

при larin92.wmf Проинтегрировав (30) в пределах от 0 до larin93.wmf будем иметь

larin94.wmf (32)

где

larin95.wmf (33)

Из (29) и (32) находим

larin96.wmf при larin97.wmf (34)

larin98.wmf при larin99.wmf (35)

Получились формулы, определяющие

функции larin100.wmf larin101.wmf при larin102.wmf larin103.wmf larin104.wmf larin105.wmf Они обозначены larin106.wmf larin107.wmfпотому что, опираясь на них, далее будем искать формулы, определяющие larin108.wmflarin109.wmfпри остальных значениях larin110.wmf лежащих в larin111.wmf

Из (27) имеем

larin112.wmf при larin113.wmf (36)

При larin114.wmf правая часть определяется по формуле (35), поэтому

larin115.wmf при larin116.wmf

отсюда

larin117.wmf при larin118.wmf

Таким образом,

larin119.wmf (37)

Мы нашли формулу, задающую larin120.wmf при larin121.wmf По этой формуле получим

larin122.wmf (38)

Из (28) имеем

larin123.wmf при larin124.wmf (39)

Подставим (38) в (39):

larin125.wmf (40)

Подставим (40) в правую часть равенства (36) и заменим larin126.wmf на larin127.wmf

larin128.wmf (41)

Эта формула определяет larin129.wmf при larin130.wmf В (41) заменим larin131.wmf на larin132.wmf и потребуем, чтобы larin133.wmf Будем иметь

larin134.wmf

Подставим это выражение в (39):

larin135.wmf

И так далее. Обнаруживаются следующие закономерности, определяющие larin136.wmf и larin137.wmf

larin138.wmf (42)

larin139.wmf (43)

Формулы (42), (43) дают решение задачи. В них считается, что larin140.wmfпри larin141.wmf Непрерывность этих функций на концах интервалов обеспечивают соотношения

larin142.wmf larin143.wmf

вытекающие из (27) и (28).

3. Итак, задачу

larin144.wmf larin145.wmf larin146.wmf larin147.wmf

larin148.wmf larin149.wmf larin150.wmf larin151.wmf

можно решить последовательным нахождением следующих величин:

larin152.wmf

larin153.wmf

larin154.wmf

larin155.wmf при larin156.wmf

larin157.wmf при larin158.wmf

larin159.wmf

larin160.wmf

larin161.wmf

и находим, наконец,

larin162.wmf (44)

Рецензенты:

Габдрахимов М.С., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Нефтепромысловые машины и оборудование» филиала ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Октябрьский;

Арсланов И.Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Механики и технологии машиностроения» филиала ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Октябрьский;

Шамолин М.В., д.ф.-м.н., профессор ведущий научный сотрудник Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва.

Работа поступила в редакцию 02.09.2014.