Наука начинается с тех пор, как начинают измерять.
Д.И. Менделеев
Под апериодическим движением рассматривается переходный процесс в динамической системе, при котором выходная величина, характеризующая переход системы от одного состояния к другому, либо монотонно стремится к установившемуся значению, либо имеет один экстремум. Теоретически может длиться бесконечно большое время.
Не только в основе существования и развития самой науки, но и в развитии технологий всех промышленных отраслей лежат измерения, которые в условиях современной конкурентной среды последовательно проходят путь своего развития от исторических технологий до технологий настоящего и будущего, появляющихся в результате современных научных исследований [1–10, 13–16, 18–21].
Актуальной задачей измерений вязкости жидкостей при различных температурах является возможность экспериментального подтверждения теоретических расчетов с высокой степенью точности. Известны [12] и широко применяются стеклянные капиллярные вискозиметры, в расчётную схему которых положена формула Пуазейля, связывающая расход и перепад давления жидкости с её вязкостью в условиях ламинарного течения в круглой трубе известной геометрии.
В подобных приборах о вязкости исследуемой жидкости судят по времени её перетекания из одного сосуда в другой. Внутренний диаметр стеклянного капилляра длиной 100–200 мм такого вискозиметра составляет обычно 0,1 … 0,3 мм, поэтому с его помощью может быть измерена вязкость исключительно чистых и однородных жидкостей, не содержащих включений, соизмеримых с просветом капилляра.
Возможность калибровки по жидкостям с известными значениями плотности и вязкости обеспечила этим конструкциям широкое применение.
Конструкция таких вискозиметров показана на рис. 1.
Рис. 1. Вискозиметры Оствальда (а), Уббелоде или ВПЖ-1 (б) Мартина (в). Микровискозиметр (г) и насадка Эппельбея (д)
Основная идея, лежащая в основе таких конструкций – это нестационарное течение (предположительно «ньютоновской») жидкости в сообщающихся сосудах. Она определяет все достоинства и недостатки схемы.
Подкупающая (внешняя) простота и изя щество конструкции таких вискозиметров, в особенности схемы Оствальда, вызывает желание рассмотреть расчётную схему такого прибора без ограничений, связанных с размерами трубки (уже не капиллярной, а произвольного диаметра), вязкостью и плотностью исследуемой жидкости, её количеством и качеством.
Под качеством здесь следует понимать возможность содержания в жидкости включений, способных легко «проскакивать» в просвет трубки.
В данной работе рассматриваются жидкости, ламинарное течение которых в круглой трубе, так же как в стеклянных вискозиметрах, точно или с некоторым приближением удовлетворяют уравнению Пуазейля.
Расчётная схема, в виде одинаковых сосудов 1 и 2 радиусом R, гидравлически соединённых горизонтальной трубкой 3 длиной L и радиусом r, показана на рис. 2.
Рис. 2. Расчетная схема вискозиметра
На рис. 2 показаны: жидкость, выведенная тем или иным способом из равновесия так, что она из сосуда 1 перетекает в сосуд 2 под действием только силы тяжести; X0 – уровень, соответствующий положению равновесия жидкости в сосудах 1 и 2; X(t) – текущее отклонения уровня жидкости от положения равновесия – понижается в сосуде 1 и повышается в сосуде 2.
Масса жидкости, размещённой в сосудах 1 и 2 и трубке 3, равна
, (1)
где ρ,
– плотность жидкости; R, м – радиус сосудов 1 и 2; r, L, м – радиус и длина трубки.
За координату, характеризующую изменения сил в системе, примем X(t) – текущее отклонение уровня жидкости в сосудах 1 и 2 от положения равновесия.
В неустановившемся движении перетекания участвует вся жидкость массы m0.
Поэтому силу инерции, препятствующую изменению скорости восстановления равновесия жидкости, представим в виде
Н. (2)
Сила, стремящаяся вернуть систему в состояние равновесия, равна всей неуравновешенной части жидкости в виде
Н, (3)
где g,
– ускорение силы тяжести.
Полагаем, что силой, препятствующей перетеканию жидкости их сосуда 1 в сосуд 2, является сила вязкого трения в трубке 3.
Для её аналитического представления рассмотрим уравнение Пуазейля
, (4)
где Q,
– объёмный расход жидкости c вязкостью µ, Па•с;
, Па – перепад давлений жидкости в начале и в конце трубки.
Из физических соображений (условие неразрывности) объёмный расход жидкости через трубку 3 равен убыли её объёма во времени в сосуде 1 и соответственно увеличению объёма в сосуде 2, то есть характеризует силу вязкого трения, препятствующей перемещению неуравновешенной массы жидкости со скоростью изменения уровня
через трубку 3.
,
. (5)
Произведение
, H. (6)
Из уравнения (4) с учётом (5) и (6) следует выражение для силы вязкого трения, препятствующего достижению положения равновесия в виде
, H. (7)
Таким образом, сумма выражений (2), (3) и (7) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний уровня жидкости в сообщающихся сосудах в виде
+ ?
+
. (8)
Разделив слагаемые уравнения (8) на m0, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы в стандартном виде
= 0. (9)
Коэффициент n, характеризующий диссипативные свойства колебательной системы выражается через вышеуказанные параметры и имеет вид
. (10)
Коэффициент ω характеризует собственную частоту колебаний недемпфированной колебательной системы (µ = 0) в виде
,
. (11)
В соответствии с [11], для случая 
и начальных условий при t = 0, X (0) = h0 и
(0) = 0 решение уравнения (9) имеет вид затухающих колебаний
, (12)
где h0 –высота начального подъёма уровня жидкости в сосуде 1;
.
Выражение для скорости изменения уровня жидкости для тех же начальных условий имеет вид
. (13)
Для случая
и начальных условий при t = 0, X (0) = h0 и
(0) = 0 решение уравнения (9) имеет апериодический характер
(14)
где
– действительные отрицательные корни характеристического уравнения, вычисляемые по формуле
. (15)
Выражение для скорости изменения уровня жидкости для тех же начальных условий в этом случае имеет вид
. (16)
Из соотношения величин (10) и (11) может быть составлено условие, например, отсутствия периодических движений жидкости в сообщающихся сосудах в виде неравенства
. (17)
В левой части неравенства (17) отношение динамической вязкости µ к плотности ρ представляет собой кинематическую вязкость жидкости, а правая часть содержит размеры r, L, X0, R, соответствующие рис. 2.
Полученные выше аналитические зависимости могут быть использованы при проектировании технологических установок и измерительных приборов, в которых используется принцип сообщающихся сосудов.
Эффективность применения неочевидного условия (17) можно показать на примере выбора конструктивных размеров устройства по схеме рис. 2, в которой для одной и той же жидкости при разных температурах возможны как апериодическое, так и колебательное движение.
Покажем это на примере этиленгликоля (HO-CH2CH2-OH), широко используемого в качестве антифриза.
На основании табличных данных, приведенных в [17], зависимость кинематической вязкости этиленгликоля от температуры показана на графике рис. 3.
Рис. 3. Зависимость кинематической вязкости этиленгликоля от температуры
Как видно из графика на рис. 3, при увеличении температуры от 0 до + 100 °С кинематическая вязкость этиленгликоля уменьшается в 33 раза.
Выберем значения размеров, показанных на рис. 2, R = 0,02 м, r = 0,02 м, X0 = 0,1 м, h0 = 0,05 м, L = 0,07 м, удовлетворяющие условиям
,
и 
,
где крайние значения соответствуют кинематической вязкости этиленгликоля при + 5 °С и + 100 °С соответственно.
Для «холодного» этиленгликоля апериодический закон изменения уровня и скорости его изменения во времени показан на рисунках 4 и 5.
Для «горячего» этиленгликоля колебательный закон изменения уровня и его скорости во времени показан на рис. 6 и 7.
Рис. 4. График изменения уровня жидкости в сосуде во времени
Рис. 5. График скорости изменения уровня жидкости в сосуде во времени
Рис. 6. График изменения уровня жидкости в сосуде во времени
Рис. 7. График скорости изменения уровня жидкости в сосуде во времени
Полученные выше аналитические зависимости, подтвержденные опытным путем, могут быть использованы при проектировании технологических установок и измерительных приборов, в которых используется принцип сообщающихся сосудов, а рассмотренный пример с колебаниями этиленгликоля в сообщающихся сосудах представлен в учебном пособии по изучению основ гидравлики и теории колебаний для студентов, магистрантов, аспирантов и докторантов.