При разработке имитаторов различных мобильных систем актуальным является решение задач формирования у операторов необходимых навыков управления, оценки стиля управления, классности оператора, оценки оператором технических характеристик объекта с точки зрения управляемости и т.д. [1–3]. Традиционно эти вопросы решаются с привлечением экспертов. Чтобы избежать присущих при этом элементов субъективности, в работе рассматривается объективизация указанных оценок. Полученные результаты могут использоваться как при разработке технических требований, так и проектировании и оценке имитационных характеристик тренажеров мобильных систем.
Ограничимся рассмотрением систем, описываемых в виде:
(1)
где 
– выходной вектор; 
– вектор управления; f(t) – вектор-столбец случайных возмущений, внешних по отношению к объекту управления (известны лишь некоторые статистические характеристики); A = (aij) – матрица (основная) системы размерности n×n; B = (bij) – матрица управления размерности n×m.
Предполагается, что матрицами A, B полностью определяется объект управления, а также возможность достижения эталонным (идеальным) оператором необходимых параметров управления. В качестве основного режима функционирования системы (1) рассматривается x(t) ≡ 0. Управляющий сигнал u(t) формируется на основе наблюдений отклонений xi(t) от основного режима. Для реальных систем энергия управляющих воздействий ограничена и достаточно мала (норма вектора управления 
). Для каждой конкретной системы δ задается, исходя из технических возможностей системы, a priori. Величина отклонений ε от основного режима предполагается также малой (
) и задается a priori. Для линейных стационарных эргатических систем u(t) = Px(t), P = (pij) – матрица обратной связи размерности m×n.
Ретроспективный анализ данных нормальной эксплуатации рассматриваемых систем показал [4–6], что управляющие воздействия по каждому из каналов управления сосредоточены около одной характерной частоты (оператор воспринимает объект как усилительное безинерционное звено с чистым запаздыванием (согласуется с полученными по данным нормальной эксплуатации амплитудно- и фазо-частотными характеристиками)). Непосредственно из свойств нормы матрицы следует 
; равенство может достигаться на любом шаре 
. Откуда 
.
Таким образом, линейная стационарная эргатическая система описывается векторным уравнением
(2)
Дадим классификацию систем (1), (2). Для этого прежде всего определим структуру и вид функционала для оценки качества переходных процессов в асимптотически устойчивой линейной системе
(3)
(при u ≡ 0 (1) сведется к (3)). Пусть 
– собственные числа матрицы S. Асимптотическая устойчивость системы (3) эквивалентна выполнению условий: 
. Так как предполагается асимптотическая устойчивость основного режима в системах стабилизации, то и (2) сводится к (3). Нетрудно видеть, что длительность переходных процессов в рассматриваемой системе определяется численным значением 
, а колебательные процессы в системе – 
Поэтому естественно определять качество системы, исходя из численных значений функционала
где k0, ka – весовые константы.
Оптимальная обратная связь в системе определится матрицей Pм, удовлетворяющей условию:
Отметим, качество системы 
характеризуется численным значением KA = Φ(A).
Качество объекта управления в (1) определится значением KAB = Φ(A + BPм).
Взаимодействие оператора и объекта, то есть качество целостной эргатической системы (2), определится по значению
Предполагается, что P удовлетворяет условию 
; идентификацию матрицы P можно произвести по известным методам на основе данных нормальной эксплуатации.
Стиль управления оператора оценивается по разбросу 
значений u(t).
Классность оператора определится численным значением Ku = Kup + KABP. Среднее значение Ku для группы операторов (
) характеризует простоту (сложность) управления объектом. Для объектов с требуемыми характеристиками 
должно быть близким к нулю (усреднение по группе квалифицированных операторов).
Полученные выше классификации систем стабилизации (по KA, KAB); эргатической системы (по KABP, 
); оператора (по Ku; характеризует стиль управления) являются непрерывными. Для реальных систем области значений функций KA, KAB, KABP, Ku, 
ограничены; так что все реальные системы можно разбить на конечное число классов.
Исследования систем (1)–(3) будут тем проще, чем проще их аналитические структуры. В связи с этим рассмотрим возможности упрощения вычислительных задач при анализе этих систем. Для упрощения структур матриц А и B рассмотрим два преобразования. Первое из них целесообразно использовать при определении оптимальной матрицы обратной связи. С физической точки зрения оно состоит в выборе новых входных каналов (линейная комбинация старых), минимально связанных между собой. Второе преобразование – аналогично первому и состоит в перегруппировке выходных каналов.
Подход проиллюстрируем на примере системы второго порядка (увеличение порядка, не меняя сути, лишь усложняет техническую реализацию). Здесь:
(4)
Первое преобразование можно рассматривать как каноническое по входным переменным (по управлению). Если хотя бы одно из чисел b1, b2 не равно нулю, то матрицу B можно записать виде 
. Действительно, при b1 ≠ 0, b2 = 0 обозначим b1u снова через u; если b1 = 0, b2 ≠ 0, то обозначим b2u через u, перенумеруем уравнения и координаты x1, x2 системы. Каноническим видом матрицы В будет вектор-столбец 
. Изменив масштаб, коэффициент усиления всегда можно привести к 1. Если ни одно из чисел b1, b2 не является нулем, то каноническое по управлению представление можно получить, используя невырожденное линейное преобразование с матрицей С:
(5)
(из невырожденности матрицы С следует наблюдаемость системы).
Вид матрицы C–1B зависит от выбора матрицы С. В частности: 
если 
Произведя масштабирование u, получим канонический вид 
При выборе матрицы С возможен некоторый произвол (два свободных параметра). Таким образом, в общем случае каноническое по управлению представление системы (4) будет иметь вид
(6)
Собственные числа матриц А и D одинаковы (следует из общей теории линейных операторов: матрицы А и D – подобны). Имеем:
(7)
Рассмотрим далее второе преобразование. Возможны три принципиально различных случая.
1. λ1, λ2 – вещественные собственные числа матрицы А и им соответствуют два линейно независимых вектора (в случае λ1 ≡ λ2 ≡ λ имеем 
).
Пусть 
, 
– собственные векторы; 
.
Заменой x = Qy систему (4) приведем к виду
(8)
В (8) возможны случаи:
1) λ1 < 0, λ2 < 0;
2) λ1 < 0, λ2 > 0;
3) λ1 > 0, λ2 < 0;
4) λ1 = 0, λ2 < 0;
5) λ1 = 0, λ2 > 0;
6) λ1 = 0, λ2 = 0
(учтена возможность перенумерации λ1, λ2).
2. Если λ1 ≡ λ2 ≡ λ и 
, преобразование Q определится через собственный вектор e1 и присоединенный e2: 
. При этом матрица (основная) системы преобразуется к виду 
.
Качественно различных систем здесь три:
7) λ < 0;
8) λ < 0;
9) λ = 0;
(6) и (9) отличаются структурой матрицы Λ.
3. λ1, λ2 – комплексно сопряженные. Систему (4) можно записать в виде (8), но уже в комплексифицированном пространстве.
Качественно различных систем здесь три:
10) Reλi < 0;
11) Reλi > 0;
12) Reλi = 0.
Указанные типы систем опишем в терминах коэффициентов матрицы А, точнее, через инварианты σ = a11 + a22 и Δ = a11a22 – a21a12.
В первом случае λ1, λ2 – вещественные (если λ1 = λ2, то должно быть a12 = a21 = 0):
1) λ1 < 0, λ2 < 0 эквивалентно σ < 0, σ2 ≥ 4Δ > 0;
2) λ1 < 0, λ2 > 0 эквивалентно σ < 0, Δ < 0;
3) λ1 > 0, λ2 > 0 эквивалентно σ > 0, σ2 ≥ 4Δ > 0;
4) λ1 = 0, λ2 < 0 эквивалентно σ < 0, Δ = 0;
5) λ1 = 0, λ2 > 0 эквивалентно σ > 0, Δ = 0;
6) λ1 = 0, λ2 = 0 эквивалентно σ = 0, Δ = 0.
Во втором случае λ1 ≡ λ2 ≡ λ; 
σ2 = 4Δ:
7) λ < 0 эквивалентно σ < 0;
8) λ > 0 эквивалентно σ > 0;
9) λ = 0 эквивалентно σ = 0.
В третьем случае λ1, λ2 – комплексно-сопряженные, σ2 < :
10) Reλi < 0 эквивалентно σ < 0;
11) Reλi > 0 эквивалентно σ > 0;
12) Reλi = 0 эквивалентно σ = 0.
Отметим, что приведенная классификация систем по матрице А хоть и грубая, но связана с устойчивостью и неустойчивостью нулевого решения (принципиальная и важная классификация) системы 
.
Для иллюстрации приведем алгоритм построения оптимальной матрицы обратной связи для системы уравнений второго порядка. Аналогична и общая схема построения таких матриц для произвольных конечномерных систем (технические трудности при этом, естественно, возрастают). После преобразования, канонического по управлению, от системы (4) (общего вида) приходим к системе
Справедливо:
b1 ≠ 0. (9)
При b1 = 0: d11 = a22, d12 = a21, d21 = a12, d22 = a11.
Параметры p и q оптимальной матрицы обратной связи 
должны выбираться из условий минимума функционала 
(собственные числа матрицы 
подставляются в функционал Ф, а затем p и q выбираются из условия минимума Ф).
Имеем:
(10)
– собственные числа матрицы 
(σ и Δ – след и определитель матрицы А совпадают со следом σ1 и определителем Δ1 матрицы D, как инварианты при невырожденных преобразованиях координат).
Приходим к задаче минимизации функции 
при ограничениях на координаты 
и энергию управляющих воздействий 
:
(11)
При выборе р и q величины σ + p и 
предполагаются наименьшими. Задача легко решается для систем, если коэффициент d22 по абсолютной величине мал по сравнению с 
. Алгоритм минимизации функции F(p, q) при условии (11) значительно упрощается: σ + p минимизируется при 
; если при выбранном q значение d(p, q) можно сделать равным нулю, то задача решена, если нет, то выбрав шаг 
, следует минимизировать d(p, q), осуществляя выбор q для значений
k = 0, 1, 2, …,
.
Наконец, приведем методику объективизации оценки оператором характеристик объекта управления. Ясно, что имеет смысл рассматривать лишь экспоненциально устойчивые системы с инвариантами, удовлетворяющими условиям 
(из двенадцати типов систем второго порядка их будет три). Непосредственно из физического смысла функционала Φ(S) следует: система S тем лучше, чем меньше Φ(S). Тогда в N-балльной шкале система (3) отнесется к классу k с оценкой Φ(S), если k – 1 < Φ(S) ≤ k, 
.
Области
будут областями равных оценок системы S (оценка объекта управления – по S = A + BPм; целостной эргатической системы (взаимодействие оператора и объекта управления) – по S = A + BPм и S = A + BP и т.д.). Оценку имитационных характеристик тренажных и обучающих комплексов целесообразно производить на основе сравнения областей равных оценок двух систем «оператор – транспортное средство» и «оператор – имитатор».
Приведенные методики использовались при разработке авиационных тренажеров и могут использоваться при решении и других задач управления в сложных технических системах [7–9].
Рецензенты:Родионов Ю.В., д.т.н., профессор кафедры «Эксплуатация автомобильного транспорта», директор автомобильно-дорожного института Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, г. Пенза;
Кошев А.Н., д.т.н., профессор кафедры информационно-вычислительных систем Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, г. Пенза.
Работа поступила в редакцию 18.04.2014.