Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,252

DETERMINATION OF STRESS IN THE SHELL OF REVOLUTION JOINTS BASED ON THE METHOD OF FINITE ELEMENTS AT ARBITRARY LOADING

Nikolaev A.P. 1 Kiselev A.P. 1 Gureeva N.А. 1 Kiseleva R.Z. 1 Leonteva V.V. 1
1 Volgograd state agricultural academy
Для определения напряженно-деформированного состояния в зонах пересечения произвольно нагруженных оболочек вращения на основе метода конечных элементов используется ранее разработанный объемный шестигранный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных. Для конечных элементов, примыкающих к границе сочленения оболочек вращения из однородного материала, получены соотношения между узловыми неизвестными одной оболочки, принятой за основную, и узловыми неизвестными другой оболочки, примыкающей к основной. На основе полученных соотношений выполнены преобразования матриц жесткости и векторов узловых нагрузок конечных элементов, примыкающих к границе сочленения оболочек вращения. На основе анализа результатов расчета можно сделать вывод о корректности алгоритма определения напряженно-деформированного состояния в зонах сочленения оболочек вращения при произвольном нагружении.
To determine the stress-strain state in the areas of intersection of arbitrarily loaded shells of revolution based on the finite element method used previously developed three- dimensional octagonal finite element with nodal unknowns in the form of displacement and its derivatives. For the finite element adjacent to the border junction of shells of revolution, obtained the relation between the nodal unknowns one shell, adopted for the main and the nodal unknowns another shell adjacent to the main one. On the basis of these relations made ​​the transformation matrix stiffness and load vectors of nodal finite elements adjacent to the boundary junction of shells of revolution. Based on the analysis of the calculation results can be concluded about the correctness of the algorithm for determining the stress-strain state in the areas sochlineniya shells of revolution under arbitrary loading.
finite element method
arbitrarily loaded shells of revolution
surrounds hexagonal finite element
the nodal unknowns
the conditions at the border crossing membranes
1. Golovanov A.I., Tuleneva O.N., Shigabudinov A.F. The finite element method in statics and dynamics of thin-walled structures. M.: FIZMATLIT, 2006. 392 p.
2. Gureeva N.A. Octagonal in the mixed finite element formulation based on the Reissner functional // MBTU Bauman of Education News: Mechanical Engineering, M.: no. 5, pp. 23–28.
3. Gureeva N.A., Kiselev A.P., Kiseleva R.Z. Calculation of multilayer cladding surround the finite element a News VolgGTU. Volgograd, 2010. no. 4, pp. 125–128.
4. Kiselev A.P., Gureeva N.A., Kiseleva R.Z. Calculation of multilayer shells of revolution and plates surround the finite element. Math. Universities, Ser. «Construction». 2010. no.1, pp. 106–112.
5. Kiselev A.P. Vector approximation of displacement fields surround hexagonal finite element Scientific and Technical journal «Structural Mechanics engineering structures and buildings». no. 1, People’s Friendship University, Moscow, 2007.
6. Nikolaev A.P., Klochkov Yu.V., Kiselev A.P., Gureeva N.A. Calculation of shells on the basis of a two-dimensional finite element formulation. Volgograd, 2009. 194 p.

Из-за сложности решения дифференциальных уравнений, описывающих деформированное состояние оболочек вращения, большое распространение получили численные методы определения их напряженно-деформированного состояния. Среди численных методов особое место занимает метод конечных элементов (МКЭ) в различных формулировках: в формулировке метода перемещений разрабатывались конечные элементы в двумерной постановке [1, 6] и в трехмерной постановке [4]; в смешанной формулировке использовались объемные конечные элементы [2]. Объемные конечные элементы в формулировке метода перемещений успешно использовались для расчета слоистых конструкций [3, 5].

В настоящей работе объемный конечный элемент в форме шестигранника адаптирован к расчету сочлененных оболочек вращения.

Матрица жесткости объёмного шестигранного конечного элемента. Для расчета произвольно нагруженной оболочки вращения в координатной системе s, θ, ζ используется шестигранный восьмиузловой конечный элемент с узлами i, j, k, l на нижней грани по координате ζ и узлами m, n, p, h по верхней грани [4].

Используемая в настоящей работе матрица жесткости объёмного шестигранного конечного элемента, формируемая на основе равенства работ внешних и внутренних сил [3, 4, 5], представляется выражением

Eqn1.wmf (1)

где Eqn2.wmf – вектор узловых неизвестных в криволинейной системе координат s, θ, ζ;

Eqn3.wmf

Eqn4.wmf

Eqn5.wmf

[K] – матрица жесткости элемента в глобальной системе координат; {f} – вектор узловых нагрузок элемента в глобальной системе координат.

Геометрия произвольно нагруженной оболочки вращения. Положение произвольной точки М срединной поверхности произвольно нагруженной оболочки вращения в декартовой системе координат xуz определяется радиус-вектором (рис. 1)

Eqn6.wmf (2)

где i = r(x) – радиус вращения точки М относительно оси ox; Eqn7.wmf – орты декартовой системы координат; θ – угол, отсчитываемый от вертикального диаметра против часовой стрелки.

pic_1.tif

Рис. 1. Перемещение точки в результате деформирования оболочки из положения Mζ в положение Mζ*

Векторы локального базиса точки М определяются дифференцированием выражений (2)

Eqn8.wmf

Eqn9.wmf (3)

где r,s = r,xx,s – производная радиуса вращения по дуге меридиана s.

Производные векторов локального базиса определяются дифференцированием (3) и представляются в матричном виде

Eqn10.wmf (4)

где

Eqn11.wmf

Радиус-вектор произвольной точки оболочки Mζ, отстоящей на расстоянии ζ от срединной поверхности, можно представить выражением

Eqn12.wmf (5)

Базисные векторы точки Mζ определяются дифференцированием (5)

Eqn13.wmf

Eqn14.wmf (6)

Eqn15.wmf (7)

Произвольная точка Mζ оболочки под действием заданной нагрузки займет положение Mζ*, которое определяется вектором Eqn16.wmf с компонентами в базисе точки M срединной поверхности

Eqn17.wmf (8)

Производные вектора перемещения по координатам s, r, θ, ζ с учётом (4) имеют вид

Eqn18.wmf

Eqn19.wmf

Eqn20.wmf (9)

Геометрия в зоне пересечения произвольно нагруженных оболочек вращения из однородного материала. Рассматриваются две произвольно нагруженные оболочки вращения в координатах xyz и x′y′z′. Связь между ортами этих систем считается известной (рис. 2)

Eqn21.wmf (10)

pic_2.tif pic_3.tif

Рис. 2. Оболочки вращения в декартовых системах координат xoz и x′o′z′

На основании (10) определяется соотношение между векторами локальных базисов в граничной точке сочлененных оболочек

Eqn22.wmf (11)

В узлах, расположенных в плоскости пересечения оболочек, узловые неизвестные одной оболочки (элемент I) принимаются за основные (рис. 2), узловые неизвестные примыкающей оболочки (элемент II) должны быть выражены через узловые неизвестные основной оболочки. В дальнейшем величины, относящиеся к примыкающей оболочке, будут отмечаться штрихами.

Для конечных элементов, примыкающих к плоскости сочленения оболочек, выполняются перенумерации неизвестных и рассматриваются следующие векторы узловых неизвестных для основной и примыкающей оболочек

Eqn23.wmf (12)

Eqn24.wmf (13)

где

Eqn25.wmf

Соотношения между компонентами векторов(12) и (13) определяются с использованием следующих условий:

1. Векторы перемещений в точке, расположенной в плоскости пересечения двух оболочек, равны

Eqn26.wmf

откуда с учётом (21) получается

Eqn27.wmf

Eqn28.wmf

Eqn29.wmf (14)

Зависимости между производными компонент вектора перемещений для двух оболочек на линии пересечения можно получить, используя выражения производной вектора по направлению

Eqn30.wmf (15)

где

Eqn31.wmf

Используя (15), можно записать соотношения

Eqn32.wmf (16)

Eqn33.wmf (17)

Eqn34.wmf (18)

Равенство (16) с использованием (9) запишется в виде

Eqn35.wmf

откуда получаются выражения

Eqn36.wmf

Eqn37.wmf

Eqn38.wmf (19)

Используя выражение (9), можно выразить из (19) производные компонент вектора перемещений Eqn39.wmf примыкающей оболочки через узловые неизвестные основной оболочки, например,

Eqn40.wmf (20)

Аналогично из равенства (17), (18) с использованием (9), получая соответствующие выражения Eqn41.wmf можно выразить

Eqn42.wmf Eqn43.wmf.

На основании полученных выражений зависимость между векторами (12) и (13) запишется матричным выражением

Eqn44.wmf (21)

С использованием (21) формируется матрица [Т] для преобразования матриц жесткости и векторов узловых нагрузок конечных элементов, примыкающих к плоскости пересечения оболочек

Eqn45.wmf (22)

Пример расчета: Определялось напряженнo-деформированное состояние цилиндра с эллиптическим днищем, находящегося под действием давления интенсивности q (рис. 3). Цилиндр и эллиптическое днище из однородного материала.

pic_4.tif

Рис. 3. Цилиндр с эллиптическим днищем, находящийся под действием давления интенсивности q

Были приняты следующие исходные данные: b = 0,2 м, i= 0,01 м, lц = 0,2 м, а = 0,4 м, lк = 0,392 м, z = 0,04 м, q = 1 Н, E = 2∙106 МПа, ν = 0,3.

По толщине цилиндр и эллиптическое днище разбивались на 2 равных дискретных элемента.

По длине цилиндр разбивалась на 10 одинаковых элементов, а эллиптическое днище – на 50 одинаковых элементов.

По полученным результатам построена эпюра нормальных напряжений σss в сечении 1–1 (рис. 3).

Для контроля точности вычислений выполнена проверка Eqn46.wmf, которая дает ошибку:

Eqn47.wmf

где Eqn48.wmf – равнодействующая внешних сил; Qвнутравнодействующая внутренних сил в сечении 1–1.

Результаты проверки свидетельствуют о корректности разработанного алгоритма расчета оболочек вращения в зоне соединения при произвольном нагружении.

pic_5.tif

Рис. 4. Эпюра нормальных напряжений σss в сечении 1–1 цилиндра с эллиптическим днищем

Рецензенты:

Беликов Г.И., д.т.н., профессор кафедры «Сопротивление материалов», ФООГУ «Волгоградский архитектурный университет» Министерство образования и науки, г. Волгоград;

Ахмедов А.Д., д.т.н., профессор кафедры «Кадастр недвижимости и геодезии», ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный аграрный университет», г. Волгоград.

Работа поступила в редакцию 03.09.2013.