В настоящее время разработано множество методов решения задачи многокритериальной оптимизации. Большая часть этих методов основана на сведении многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной методами свертки частных критериев оптимальности, в частности, методом линейной свертки.
Цель данной работы - указать способ линейной свертки критериев, с помощью которого коэффициенты αi в линейной комбинации критериев определяются путем решения некоторой оптимизационной задачи; использовать предложенный способ в задачах оптимизации портфелей ценных бумаг.
1. Способ оценки коэффициентов в линейной свертке
Рассмотрим многокритериальную задачу оптимизации: пусть функции fi(x), i = 1, 2, ..., m, определены на множестве X, X ⊂ Rn, Rn - n-мерное вещественное пространство, и отображают X соответственно в Yi ⊂ R = (-∞, ∞); требуется найти
(1)
Основные способы решения этой задачи основаны на свертке критериев fi(x) из (1) [2]. Из различных способов свертки критериев на практике наиболее часто используется способ линейной свертки. Он предполагает объединение критериев из (1) путем построения линейной комбинации fi(x), i = 1, 2, ..., m (построению взвешенной суммы частных критериев) и переходу к однокритериальной задаче:
(2)
(3)
где αi определяются экспертами. Однако такой подход определения α i, основанный на субъективном мнении экспертов, приводит в конечном итоге к тому, что решение задачи (2), (3) будет в значительной степени субъективным. В данном пункте предлагается другой способ определения α i, i = 1, 2, ..., m. Вначале будем допускать, что все критерии из (1) не ранжированы. В этом случае предлагается следующий способ свертки критериев f i(x) из (1).
Пусть заданы точки x (1) , x (2) , ..., x (r) ∈ X. Вычислим значения
,
и построим линейную комбинацию
в которой α i, i = 1, 2, ..., m, предлагается выбирать (приближенно) путем решения задачи нелинейного программирования:
(4)
(5)
(6)
Задача (4)-(6) может быть решена методами, описанными в [2]. Для ее численного решения можно использовать различные инструментальные средства, например, офисным приложением электронных таблиц Excel.
Пусть теперь критерии f1(x), i = 1, 2, ..., m, ранжированы следующим образом:
(7)
где соотношение
,
означает что критерий fp(x) не менее предпочтителен, чем критерий f p+1(x). Однако степень предпочтительности fp(x) по отношению к f p+1(x) неизвестна (не указана). В этом случае, очевидно α i, i = 1, ..., m, должны удовлетворять дополнительному условию
. (8)
Тогда задача приближенного вычисления α i, i = 1, 2, ..., m, в случае их ранжирования согласно (7) сводится к решению оптимизационной задачи (4)-(6),(8).
Пример 1. Пусть в модели (4)-(6), i = 1, 2; r = 1, 2, ..., 5, x (1) = 0,5; x (2) = 3; x (3) = 4,5; x (4) = 7; x (5) = 8,5. Тогда, воспользовавшись офисным приложением электронных таблиц Excel, найдем α1 = 0,5; α2 = 0,5.
Если критерии f 1(x), f 2(x), ранжированы 
, то решая эту же задачу при дополнительном условии (8) (т.е. α1 ≥ α2), получим тот же результат: α1 = 0,5; α2 = 0,5.
2. Явные формулы для вычисления коэффициентов в линейной свертке критериев
В задачах (4)-(6), (4)-(7) коэффициенты α i, i = 1, ..., m, как отмечалось в п.1, определяются методами нелинейного программирования. Покажем, что при некоторых дополнительных ограничениях на функции f i(x), i = 1, 2, ..., m, из (1) можно указать явные формулы для вычисления α i, i = 1, ..., m.
Продифференцируем левую часть выражения (4) последовательно по α1, α2, ..., αn. Из необходимого условия экстремума следует, что α1, α2, ..., αn определяются из системы алгебраических уравнений
(9)
которая, после преобразований, принимает вид:
(10)
Согласно правилу Крамера система (10) будет иметь единственное решение, если ее главный определитель
(11)
отличен от нуля: Δ ≠ 0.
Введем вспомогательные определители:
.........................................................................................................
.
Тогда, по теореме Крамера,
(12)
Следовательно, если f i(x), i = 1, 2, ..., n, из (1) непрерывны на X и удовлетворяют в заранее заданных точках x(1) , x (2) , ..., x (r) ∈ X условию Δ ≠ 0, то α1, α2, ..., αn определяются соотношениями (12).
Пример 2. Пусть n = 2, значения x i, f 1(x i), f 2(x i), i = 1, ..., 5 те же, что и в примере 1.
Из соотношений (12) следует, что как и ранее (см. пример 1), α1 = 0,5; α2 = 0,5.
3. Оптимизация состава портфелей ценных бумаг
3.1. Оптимизация состава портфеля ценных бумаг Шарпа
Математическая модель портфеля ценных бумаг Шарпа имеет вид [4]:
(13)
где γi, βi, Wi, σri - соответственно избыточная доходность, вес, риск, остаточный риск, Rf - доходность ценных бумаг; Rm - ожидаемая доходность рынка в целом; σm - среднее квадратическое отклонение доходности рынка; σreg - максимально допустимая величина риска портфеля ценных бумаг.
В модели (13) предполагается, что величина σreg заранее задана (например, экспертом).
Перейдем от модели (13) к модели, в которой дополнительно минимизируется величина риска портфеля:
(14)
Модель (14) будем называть моделью оптимизации портфеля Шарпа.
От модели (14) с двумя критериями, путем линейной свертки критериев [3]), перейдем к модели с одним критерием:
(15)
и теми же ограничениями, что и в (14):
(16)
При определении α1, α2 в задаче (15),(16) следует воспользоваться способом решения задачи (2), (3), описанными в п.1. После определения α1, α2 решается задача квадратичного программирования (15), (16).
Пример 3. Пусть: n = 3,
Rf = 4, γ1 = -7,04, γ2 = -10,58, γ3 = -6,17,
σm = 8, β1 = 2,833, β2 = 5,913, β2 = 2,672,
Rm = 3,5, σr1 = 11,89, σr2 = 14,34, σr3 = 11,37,
W1 = -0,25, W2 = 0,74, W3 = 0,51.
Переходя от модели (13) к модели (14) и производя свертку в (14), придем к модели (15), (16), для которой, согласно методике п.1, рассчитаем весовые коэффициенты α1 = 0,3; α2 = 0,7. Воспользовавшись офисным приложением электронных таблиц Excel, найдем решение модели (15), (16): W1 = 0,35, W2 = 0,35, W3 = 0,30.
Следовательно, максимальная средняя эффективность состава портфеля при минимальном риске равна
3.2. Оптимизация состава портфеля ценных бумаг Марковица
Математическая модель портфеля ценных бумаг Марковица имеет вид [2]:
(17)
где mp - выбранное инвестором значение эффективности портфеля; θi - доля i-й ценной бумаги в портфеле; mi - математическое ожидание эффективности Ri i-й ценной бумаги: mi = MRi, i = 1, ..., n. В модели (17) величина mi предполагается заранее заданной (экспертом).
Перейдем от модели (17) к модели, представляющей собой задачу двухкритериальной оптимизации:
(18)
Модель (18) будем называть моделью оптимизации портфеля Марковица.
Как и ранее, методом линейной свертки критериев [3] от модели (18) с двумя критериями можно перейти к задаче с одним критерием:
(19)
Приближенные значения α1, α2 в (19) можно найти способом, описаным в п.1. После определения α1, α2 решается задача квадратичного программирования (19).
Пример 4. Составим портфель Марковица из трех видов ценных бумаг с эффективностями R1, R2, R3, которые являются не коррелированными случайными величинами с заданными математическими ожиданиями и стандартными отклонениями (данные приведены в % к цене покупки): m1 = MR1 = 11, m2 = MR2 = 10, m3 = MR3 = 9;
Перейдем последовательно от модели (17) к моделям (18),(19). Воспользовавшись способом определения α1, α2, описанным в п.1 θ1 = -0,25; θ2 = 0,74; θ3 = 0,51, находим α1 = 0,75; α2 = 0,25.
Решая задачу (19) (при указанных данных, и найденных α1, α2), построим оптимальный портфель Марковица: θ1 = 0,7; θ2 = 0,11; θ3 = 0,82; 
Численные эксперименты показывают, что предложенный и описанный метод в п.1 метод определения αi в задаче (2), (3) является удобным. Предложенный метод определения α i является удобным при использовании его на практике: задача определения αi сводится к решению квадратичных задач программирования (4)-(6) или (4)-(6), (8), каждая из которых может быть решена доступными программными средствами. Данный метод определения α i можно использовать при решении задач об оптимальных портфелях ценных бумаг (Марковица, Шарпа).
Рецензенты:
Копытов Г.Ф., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой радиофизики и нанотехнологий ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар;
Лебедев К.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар;
Усатиков С.В., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры общей математики ГОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет», г. Краснодар.
Работа поступила в редакцию 18.07.2011.