Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,222

Крупенин В.Л.

1. Рассмотрим семейство стационарных склерономных линейных упруго-вязких систем с полной диссипацией энергии [1], обозначаемое далее A={A0;A1,..AN}. Каждой из систем Ar семейства A отвечает поле перемещений ur(xr,t)∈R3, причем вектора xrXr ⊂R3 - суть векторные координаты точек систем Ar; t∈R; r=0,1,..,N.

Динамика всех членов семейства А определяется системами матричных операторов динамической податливости [1] L(r)(yr,xr;p), где p - оператор дифференцирования. Указанные операторы имеют размерность [3x3] и ставят в соответствие силовым полям fr(xr,t) [xrXr] поля перемещений

ur(xr,t)= L(r)(yr,xr;p) fr(yr,t).                                   (1)

Физический смысл каждой компоненты симметричной матрицы L(r)(yr,xr;p)=||L(r)kl|| (k,l=1,2,3) следующий.

Скалярный оператор L(r)kl(yr,xr;p) ставит в соответствие k-й компоненте распределения силы f (fkr(yr,t)) l-ю компоненту перемещения ulr(xr,t).

Каждый оператор L(r) является, вообще говоря, интегро-дифференциальным оператором и строится либо при посредстве исходной системы уравнений движения и необходимых дополнительных (например, граничных) условий, либо - на основании обработки экспериментальных данных [2]. Отметим, что присутствие нелинейных сил обращает представление (1) в нелинейное операторное уравнение.

Предположим теперь, что каждая из систем Ar (r=1,...,N) соударяется с системой A0 следующим образом.

Пусть при xr=xr0 в каждой из систем Ar сосредоточено по одному включению, содержащему точечные тела с сосредоточенными массами mr0, и в то же время система A0 содержит N подобных включений при x0=x0r, в которых сосредоточены точечные тела с массами m0r; r=1,...,N. Пусть далее тела с массами mr0 могут соударятся с телами, обладающими массами m0r соответственно, так что объединенная система (семейство) A содержит N сосредоточенных ударных пар. Введем относительные координаты

ur(t)=u0(x0r,t)-ur(xr0,t).                     (2)

и обозначим Фr[ur(t),urt(t)] силу удара в r-й ударной паре, причем здесь и далее индексация по времени обозначает дифференцирование. Теперь можно записать систему из (N+1)-го операторного уравнения движения объединеннной виброударной системы А (ср.[1]):

u0(x0,t)=L(0)(y0,x0;p){f0(y0,t) -∑Фr[ur(t),urt(t)] δ (y0-x0r)};     (3)

ur(xr,t)=L(r)(yr,xr;p){fr(yr,t)+Фr[ur(t),urt(t)] δ (yr-xr0)},

где d(x) - d-функция Дирака; суммирование ведется для r=1,...,N. При помощи (2) можно понизить размерность анализируемой системы. Проведя N вычитаний второго уравнения (3) из первого уравнения (3), получаем для относительных координат (2) при r=1,...,N

 ur(t)=Ur0(t)-L(0)(x0r,x0;p)Фr[ur(t),urt(t)]-L(r)(xr0,xr;p)Фr[ur(t),urt(t)],                        (4)

где обозначено: Ur0(t)=L(0)(y0,x0;p)f(y0,t)-L(r)(yr,xr;p)f(yr,t) - изменение относительных координат (2) в отсутствии ударов и введены операторы

Lk(0,r)(p)=L(0)(x0r,x0r;p); L0r(p)=L(0)(x0r,x0r;p)+L(r)(xr0,xr0;p).

Таким образом, соотношения (3) можно для удобства переписать и так:

ur(t)=Ur0(t)-L0r(p)Фr[ur(t),urt(t)] - L(0)(x0r,x0;p)Фk[uk(t),ukt(t)],                                (5)

причем суммирование осуществляется при k≠r.

Выведенные соотношения - весьма общи, так как носят универсальный характер и описывают поведение представительного класса линейных между ударами систем. Если необходимые системы операторов динамической податливости и распределения внешних сил заданы, а гипотеза удара, определяющая функции Фk - конкретизирована, то, найдя из системы уравнений (4) представления относительных координат ur0, можно при помощи соотношений (3) найти перемещения любой точки семейства А.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-01-00181 и 08-08-00220).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Babitsky V.I., Krupenin V.L. Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems. - Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. - 404 pp.
  2. Широкополосные виброударные генераторы механическтх колебаний.// Веприк А.М., Вознюк А.Д., Крупенин В.Л., Чирков И. М.- Л: Машиностроение, 1987.-72 с.